Linjära ekvationssystem

Att göra en grafisk lösning till ett ekvationssystem innebär att vi ritar ekvationernas grafer för hand eller med en grafritande räknare, och läser av x- och y-koordinaten vid skärningspunkten.

Det här ekvationssystemet har alltså lösningen x=4 y=8.

Vi använder samma metod här, vi ritar upp linjerna och avläser x- och y-koordinaten vid skärningspunkten.

Ekvationssystemets lösning är x=-1 y=5.

Linjerna i detta ekvationssystem är inte skrivna på k-form. För att rita upp dem måste vi först skriva om dem så att vi kan avläsa k- och m-värde.

Nu kan vi rita linjerna och läsa av lösningen.

Vi ser att lösningen är x=-2 y=-4.

Vi börjar med att skriva om ekvationerna så att de står på k-form.

Nu kan vi rita upp graferna på räknaren.

Lösningen till ekvationssystemet ges av skärningspunkten mellan graferna. För att bestämma den använder vi verktyget intersect.

Efter det väljer man första och andra kurvan och sedan sätter man markören ungefär vid skärningspunkten och trycker på ENTER.

Linjerna skär varandra när x=2 och y=1, så ekvationssystemets lösning är x=2 y=1.

På samma sätt som i förra deluppgiften skriver vi om ekvationerna så att de står på k-form.

Linjerna har samma lutning men olika m-värden. Det betyder att de är parallella och kommer inte att skära varandra. Ekvationssystemet saknar därför lösningar. Om man ändå skulle försöka lösa detta på räknaren kommer man att få ett felmeddelande.

Vi identifierar två punkter som ligger på linjen i koordinatsystemet.

Vi sätter in dessa punkter i k-formeln och beräknar.

Den okända linjen har lutningen k=- 1. Vi kan även läsa av att den skär y-axeln i y=10, så dess ekvation är y=- x+10.

Ekvationssystemets lösning är där linjerna skär varandra. Om vi tittar i koordinatsystemet ser vi att linjerna skär varandra i punkten (8,2).

Lösningen till ekvationssystemet är alltså x=8 y=2.

Vi bestämmer linjernas k- och m-värden för att ta fram de räta linjernas ekvationer.

Den röda linjen har m-värdet 6 och ökar med 2 steg i y-led för varje steg i x-led, så k-värdet är 2. Den blå linjen har m-värdet 1 och minskar med 3 steg för varje steg i x-led, dvs. k-värdet är - 3. Ett ekvationssystem som beskriver linjerna är alltså y=2x+6 y=-3 x+1.

Först löser vi ekvationssystemet. Sedan prövar vi lösningen.

Lösning av ekvationssystemet.

Ekvationssystemets lösning är x- respektive y-värdet där graferna skär varandra.

Lösningen är alltså x=- 1 y=4. vi går nu vidare och prövar denna.

Prövning

Vad betyder egentligen vår lösning? Jo, att om vi sätter in x=-1 och y=4 i båda ekvationerna i ekvationssystemet ska båda likheterna gälla. Vi testar.

Lösningen stämmer. Just i det här fallet blev det 4=4 i båda ekvationerna, men så måste det inte alltid bli. Det kan bli två olika likheter, det viktiga är att båda är sanna.

Att ekvationssystemet har lösningen x=2 y=4 innebär att linjerna som ingår i systemet skär varandra i punkten (2, 4). Vi utgår därifrån när vi ska rita grafen till den andra ekvationen. Eftersom den har lutningen k=0.5 kommer den att öka med 0.5 steg i y-led för varje steg vi går i x-led. Det motsvarar 1 steg i y-led för 2 steg i x-led, vilket kan vara lättare att markera än halva steg.

Vi drar nu en linje genom punkterna för att rita grafen till den andra ekvationen.

Nu ska vi ange ekvationssystemet som finns avbildat i koordinatsystemet. Vi vet redan att den ena ekvationen är y=- x+6. Den andra har k-värdet 0.5 och dess m-värde får vi genom att läsa av y-värdet där den skär y-axeln: 3. Ekvationen är alltså y=0.5x+3.

Det innebär att koordinatsystemet visar ekvationssystemet y=- x+6 y=0.5x+3.

För att bestämma ekvationen för den räta linjen behöver vi bestämma dess k- och m-värde. m-värdet är det y-värde där linjen skär y-axeln och k-värdet är lutningen.

Vi ser att linjen skär y-axeln där y är 2, så m=2. Vi ser också att man går 1 steg uppåt för varje steg man går i x-led. Det betyder att linjens k-värde är 1. Linjens ekvation är alltså y=1* x +2 ⇔ y=x+2.

Vi kan pröva om en av punkterna utgör en lösning till första ekvationssystemet genom att sätta in x- och y-värdena i ekvationssystemet, och undersöka om ekvationernas vänster- och högerled blir lika stora. Blir de det har vi hittat en lösning. Vi prövar första punkten.

Likheten stämmer för den andra ekvationen men inte den första. En lösning till ett ekvationssystem gör att alla likheter är uppfyllda. Alltså kan (8,4) inte vara en lösning. Vi prövar andra lösningen, dvs. (4,6).

Likheten gäller för båda ekvationer när vi sätter in (4,6) så detta är en lösning till ekvationssystemet. Vi fortsätter med B och prövar med den första punkten.

Nu ser vi att (8,4) är lösning till det andra ekvationssystemet vilket betyder att (1,- 3) måste vara lösning till C. Vi prövar dock för säkerhets skull.

Ja, det stämmer.

Linjerna som beskrivs i ekvationssystemet har samma lutning men olika m-värden. De är alltså parallella och kommer aldrig att skära varandra. Det innebär att ekvationssystemet saknar lösningar som vi ser i nedanstående graf.

Linjerna y=- x+9 och y=5x har olika lutningar så de är inte parallell. Icke-parallella linjer skär varandra en gång, så ekvationssystemet har en lösning.

De räta linjerna y=-3x-13 och y=3x+13 har olika k-värden och kommer därför att skära varandra en gång. Ekvationssystemet kommer alltså ha en lösning.

Vi kan pröva om x- och y-värdena utgör en lösning genom att sätta in dem i ekvationssystemet och undersöka om ekvationernas vänster- och högerled blir lika stora. Blir de det har vi hittat en lösning.

Likheten stämmer för den första ekvationen men inte den andra. En lösning till ett ekvationssystem gör att alla likheter är uppfyllda, alltså kan x = 5 och y = - 2 inte vara en lösning.

Vi gör samma sak med x = 2 och y = 4.

Eftersom likheten gäller för båda ekvationer när x = 2 och y = 4 måste det vara en lösning till ekvationssystemet.