Linjära ekvationssystem

Lösningen till ett ekvationssystem är ett par värden x och y som löser båda ekvationer samtidigt. Vi ska alltså hitta en ekvation som inte har några gemensamma lösningar med 3x+2y. Ett sätt att göra det är att använda samma vänsterled, men byta ut högerledet, t.ex. 3x+2y=20. Det finns ju inget par av x och y där summan av 3x och 2y blir både 12 och 20.

En lösning på ett ekvationssystem med två variabler betyder att två olika linjer skär varandra i en punkt. I ett ekvationssystem som saknar lösningar skär linjerna aldrig varandra. Vilken linje motsvarar 3x+2y=12? Vi löser ut y.

Vi har nu skrivit linjen på k-form och vi kan läsa av att lutningen är -1.5 och m-värdet är 6. Vi ritar upp denna linje i ett koordinatsystem.

Vi vill hitta en linje som aldrig skär y=-1.5x+6. Linjer som aldrig skär varandra måste vara parallella, dvs. ha samma lutning. Den sökta linjen ska alltså också ha lutningen k=-1.5. Skulle vi välja m=6 får vi exakt samma linje som y=-1.5x+6, vilket innebär att linjerna skär varandra i oändligt många punkter, men alla andra m går, t.ex. m=2.

Ett exempel som gör att ekvationssystemet saknar lösningar är alltså y=-1.5x+2.

För att ekvationssystemet endast ska ha lösningen x=2 och y=3 måste vi hitta ytterligare en ekvation där likheten gäller för dessa x- och y-värden. Detta görs enklast genom att välja ett uttryck med x- och y-termer och sedan räkna ut vad som måste stå på andra sidan likhetstecknet. Vad blir t.ex. x+y om x är 2 och y är 3? x+y=2+3=5 Detta betyder att ekvationssystemet

3x+2y=12 x+y=5

har exakt en lösning. Man bör dubbelkolla så att ekvationen man kommit fram till inte kan skrivas om till 3x+2y=12, eftersom ekvationssystemet då får oändligt många lösningar.

Vi visade i förra deluppgiften att 3x+2y=12 motsvarar den räta linjen y=-1.5x+6. Om ekvationssystemet endast ska ha lösningen x=2 y=3 ska vi hitta en linje som skär y=-1.5x+6 i punkten (2,3) och endast i den punkten. Vi markerar linjen och punkten i ett koordinatsystem.

Vi väljer exempelvis den linje som går genom origo och (2,3) och drar en rät linje mellan dessa punkter. Vi bestämmer sedan ekvationen för denna linje. Vi börjar med lutningen.

Lutningen är 1.5 och linjen går genom origo. Det betyder att m-värdet är 0.

Ett exempel på en ekvation som gör att ekvationssystemet har lösningen x=2 y=3 är alltså y=1.5x.

För tillfället bortser vi från den sista ekvationen, som är en olikhet, och låtsas som att vi bara har de övre två ekvationerna. Vi skriver om linjerna på k-form så att vi kan rita upp dem. Den andra ekvationen saknar dock k-värde, så för denna löser vi bara ut y.

Här har vi två värden på y, ett positivt och ett negativt. Nu måste vi komma ihåg den tredje ekvationen och ta hänsyn till denna, för den säger ju faktiskt att y inte får vara negativ. Alltså kan vi strunta i y=-3 och endast betrakta när y=3. y=4-x y=3 Nu gör vi en grafisk lösning, för hand eller med räknare.

Vi får alltså lösningen x=1 y=3.

Eftersom m är ett godtyckligt tal kommer lutningen bero på m. Linjen går genom (4,1) och (0,m) och vi använder det för att bestämma lutningen.

Lutningen är k= 1-m4 och eftersom linjen skär y-axeln i y=m blir linjens ekvation y=1-m/4* x+m.

Den röda linjen är vinkelrät mot den blå så produkten av deras lutningar är -1. I förra deluppgiften bestämde vi lutningen på den blå linjen till 1-m4. Vi beräknar nu lutningen på den röda linjen.

Lutningen är alltså 4m-1. Vi använder punkten (4,1) för att bestämma m-värdet som vi tillfälligt kallar m_1.

m-värdet är m-17m-1, vilket ger ekvationen y= 4m-1* x+ m-17m-1.

Den kända linjen y=2x+5 har m-värdet 5 vilket betyder att den skär y-axeln i (0,5). Eftersom linjerna skär varandra på y-axeln måste y=kx+m ha samma m-värde. Än så länge har vi alltså y=kx+5. Om linjerna har samma k-värde kommer graferna att vara identiska och sammanfalla som i koordinatsystemet.

Det betyder att linjerna skär varandra i oändligt många punkter, så k får alltså inte vara 2. Den röda linjen går genom (0,5) och olika värden på k kommer att vrida linjen runt denna punkt.

Alla k-värden förutom 2 kommer därför att leda till att linjerna skär varandra i en enda punkt: (0,5). Riktningskoefficienten k kan alltså anta alla värden förutom 2 vilket vi kan skriva k≠ 2.