3. Linjära ekvationssystem
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Linjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem består av två eller flera linjära ekvationer som löses tillsammans för att hitta en gemensam lösning. Lösningen till systemet är de värden på variablerna som gör att alla likheter stämmer. Ett sätt att lösa dessa system är genom grafisk metod, vilket innebär att man ritar upp systemets ekvationer som grafer och läser av det eller de punkter där graferna skär varandra. Denna metod kan vara särskilt användbar när man har tillgång till digitala verktyg som grafritande räknare. Linjära ekvationssystem är ett viktigt verktyg inom matematiken och används för att lösa en mängd olika problem.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Linjära ekvationssystem
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Linjärt ekvationssystem
- Grafisk lösning - ekvationssystem
- Antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Ekvationssystem
Ett ekvationssystem är en uppsättning av två eller fler ekvationer som involverar samma variabler. Lösningarna till ett system är värden för dessa variabler som uppfyller alla ekvationer samtidigt. Ett ekvationssystem skrivs vanligtvis som en vertikal lista med en klammerparentes på vänster sida. x+y=5 x-y=3 De vanligaste systemen är system av linjära ekvationer, som endast innehåller linjära ekvationer. Grafiskt är lösningarna till ekvationssystem de punkter där graferna för ekvationerna skär varandra. Av denna anledning uttrycks dessa lösningar vanligtvis som koordinater.
System kan innehålla många olika typer av ekvationer och kan lösas grafiskt eller algebraiskt.
Extra
Typer av EkvationssystemEkvationssystem kan klassificeras utifrån deras algebraiska egenskaper, särskilt vilka typer av ekvationer som ingår. Följande är några av de vanligaste typerna.
| Typ av System | Beskrivning | Exempel |
|---|---|---|
| Linjärt system | Innehåller endast linjära ekvationer. | x+2y=8 2x-3y=1 |
| Linjärt-kvadratiskt system | Inkluderar linjära och kvadratiska ekvationer. | y=3x+1 x^2+y^2=25 |
| Kvadratiskt system | Består enbart av andragradsekvationer. | x^2+y^2=16 y=x^2-4 |
| Icke-linjärt system | Innehåller minst en icke-linjär ekvation. | sinx+y=1 x^2+y^2=4 |
Kom ihåg att linjär-kvadratiska system och kvadratiska system också är icke-linjära system.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Linjärt ekvationssystem
Ett linjärt ekvationssystem är två eller flera linjära ekvationer som man löser tillsammans och som har en gemensam lösning. För att visa att de tillhör ett ekvationssystem brukar ekvationerna samlas ihop med en klammer och ibland sätter man även ut romerska siffror för att enklare kunna hänvisa till dem. x+y=3 & (I) x-y=1 & (II) Ekvationssystem innehåller oftast mer än en okänd variabel och lösningen till systemet är de värden på variablerna som gör att alla likheter stämmer. I exemplet ovan söks det par av x- och y-värden som när de sätts in gör att höger- och vänsterleden blir lika stora i båda ekvationerna. Lösningen i det fallet är x = 2 och y = 1, vilket brukar skrivas x=2 y=1.
Ekvationssystem kan lösas med någon av de algebraiska metoderna additions- eller substitutionsmetoden. Man kan också lösa dem grafiskt, vilket innebär att man hittar punkten där de räta linjernas grafer skär varandra.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationssystemet
I koordinatsystemet visas två räta linjer.
Använd figuren för att lösa ekvationssystemet y=2x+5 y=0,5x+2.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-2","text2":"1"}}
Ledtråd
Vad är skärningspunkten mellan båda linjerna?
Lösning
Eftersom ekvationerna i ekvationssystemet är samma som de i figuren bestämmer vi lösningen till ekvationssystemet genom att läsa av linjernas skärningspunkt.
Skärningspunkten har x-koordinaten -2 och y-koordinaten 1, vilket innebär att ekvationssystemet har lösningen x=-2 y=1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Grafisk lösning - ekvationssystem
Man löser ekvationssystem grafiskt genom att rita upp systemets ekvationer som grafer och läsa av det eller de x- och y-värden där graferna skär varandra. Exempelvis kan man lösa ekvationssystemet 2y=6-2x x=y-1 på detta sätt.
1
Skriv ekvationerna på k-form
expand_more 2
Rita funktionerna i ett koordinatsystem
expand_more Man kan antingen rita funktionerna för hand eller med en grafritande räknare.
3
Läs av grafernas skärningspunkt
expand_more Nu kan man läsa av skärningspunkten.
Graferna skär varandra i punkten (1,2). Lösningen till ekvationssystemet är därför x=1 y=2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Lös ekvationssystem med räknare
Det är möjligt att använda räknaren för att lösa ekvationssystem. Det gör man genom att tolka lösningen som skärningspunkten mellan två linjer.
1
Skriv ekvationerna som funktioner på k-form
expand_more För att räknaren ska kunna tolka ekvationerna som linjer måste man först skriva om dem på k-form, alltså på formen y = kx + m. Detta gör man genom att lösa ut y ur ekvationerna, vilket ger funktionerna för två räta linjer.
2
Skriv in funktionerna på räknaren
expand_more Dessa funktioner skriver man nu in på räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n.
3
Rita funktionerna
expand_more När funktionerna skrivits in trycker man på GRAPH för att rita ut dem i ett koordinatsystem.
För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.
4
Hitta skärningspunkten
expand_more Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 
CALC(2ND + TRACE ) och sedan välja
5:intersecti listan.
När man har valt 5:intersect
visas de uppritade graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.
- First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Om det finns fler än två utritade grafer går det att välja mellan dem med pilarna upp och ner.
- Second curve: Välj den andra grafen på samma sätt.
- Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda pilarna höger och vänster och tryck sedan på ENTER.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Antal lösningar till ett system av linjära ekvationer
När två linjer ritas på samma koordinatsystem, finns det tre möjliga scenarier: linjerna är parallella, de korsar varandra en gång, eller så ligger de på varandra. Eftersom lösningen till ett system är den punkt där linjerna som representerar ekvationerna korsar varandra, kan ett system av två linjära ekvationer ha noll, en eller oändligt många lösningar.
Ingen Lösning
Om linjerna är parallella, korsar de inte varandra. Detta innebär att ekvationssystemet inte har någon lösning.
I det här fallet har linjerna samma lutning och olika y-intercept. Här är ett exempel på ett sådant system.
En lösning
Om linjerna korsar varandra exakt en gång, har ekvationssystemet en lösning. Skärningspunkten är systemets lösning.
Till skillnad från parallella linjer måste linjer som korsar varandra en gång ha olika lutningar. Till exempel måste följande system ha exakt en lösning eftersom de två linjerna har olika lutningar. y= -x+5 y= 3x-2
Oändligt antal Lösningar
Om linjerna skär varandra i oändligt många punkter — linjerna ligger ovanpå varandra — har systemet av ekvationer oändligt många lösningar.
Dessa linjer sägs vara sammanfallande, och eftersom de har samma lutning och y-skärningspunkt, är de olika versioner av samma linje. Här är ett exempel på ett system som har ett oändligt antal lösningar. y=3x+1 2y=6x+2 I det sista fallet, efter förenkling, blir båda ekvationerna desamma. Följande tabell sammanfattar de tre tidigare scenarierna.
| Sammanfattning | |||
|---|---|---|---|
| Linjernas egenskaper | Kännetecken | Exempelsystem | Antal lösningar |
| Parallella | Samma lutning Olika y-intercept |
y= 5x - 6 y= 5x + 1 | 0 |
| Korsar en gång | Olika lutningar | y=x+2 y= 3x+1 | 1 |
| Sammanfaller | Samma lutning Samma y-intercept |
y=4x+2 2y=8x+4 | Oändligt många |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Har ekvationssystemet oändligt många lösningar?
Finns det något värde på k som gör att ekvationssystemet får oändligt många lösningar? y=2x+5 y=kx+2
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"k"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":""}],"noSolution":true,"infiniteSolution":false}}
Ledtråd
Lösning
Om ekvationssystemet ska ha oändligt antal lösningar måste linjerna sammanfalla, dvs. vara identiska. Då måste linjernas k- och m-värden vara lika. Vi kan sätta k till 2, men linjerna har olika m-värden så de kan inte sammanfalla.
Oavsett k-värde kommer ekvationssystemet alltså aldrig ha oändligt antal lösningar.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Bestämning av antalet lösningar till ett ekvationssystem
Bestäm antalet lösningar för det givna ekvationssystemet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Linjära ekvationssystem
Uppgift 1.1
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"4"},{"id":1,"text":"8"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"-1"},{"id":1,"text":"5"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"-2"},{"id":1,"text":"-4"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
Att göra en grafisk lösning till ett ekvationssystem innebär att vi ritar ekvationernas grafer för hand eller med en grafritande räknare, och läser av x- och y-koordinaten vid skärningspunkten.
Det här ekvationssystemet har alltså lösningen x=4 y=8.
Vi använder samma metod här, vi ritar upp linjerna och avläser x- och y-koordinaten vid skärningspunkten.
Ekvationssystemets lösning är
x=-1 y=5.
Linjerna i detta ekvationssystem är inte skrivna på k-form. För att rita upp dem måste vi först skriva om dem så att vi kan avläsa k- och m-värde.
Nu kan vi rita linjerna och läsa av lösningen.
Vi ser att lösningen är x=-2 y=-4.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"2"},{"id":1,"text":"1"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":""},{"id":1,"text":""}],"noSolution":true,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om ekvationerna så att de står på k-form.
Nu kan vi rita upp graferna på räknaren.
Lösningen till ekvationssystemet ges av skärningspunkten mellan graferna. För att bestämma den använder vi verktyget intersect.
Efter det väljer man första och andra kurvan och sedan sätter man markören ungefär vid skärningspunkten och trycker på ENTER.
Linjerna skär varandra när x=2 och y=1, så ekvationssystemets lösning är x=2 y=1.
På samma sätt som i förra deluppgiften skriver vi om ekvationerna så att de står på k-form.
Linjerna har samma lutning men olika m-värden. Det betyder att de är parallella och kommer inte att skära varandra. Ekvationssystemet saknar därför lösningar. Om man ändå skulle försöka lösa detta på räknaren kommer man att få ett felmeddelande.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-x+10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"x"},{"id":1,"text":"y"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"8"},{"id":1,"text":"2"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
security
report
code
security
report
code
Vi identifierar två punkter som ligger på linjen i koordinatsystemet.
Vi sätter in dessa punkter i k-formeln och beräknar.
Den okända linjen har lutningen k=- 1. Vi kan även läsa av att den skär y-axeln i y=10, så dess ekvation är y=- x+10.
Ekvationssystemets lösning är där linjerna skär varandra. Om vi tittar i koordinatsystemet ser vi att linjerna skär varandra i punkten (8,2).
Lösningen till ekvationssystemet är alltså x=8 y=2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Koordinatsystemet visar en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen.
Ange ekvationen för den räta linjen L.
Nationella provet VT15 2a/2b/2c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x+2"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma ekvationen för den räta linjen behöver vi bestämma dess k- och m-värde. m-värdet är det y-värde där linjen skär y-axeln och k-värdet är lutningen.
Vi ser att linjen skär y-axeln där y är 2, så m=2. Vi ser också att man går 1 steg uppåt för varje steg man går i x-led. Det betyder att linjens k-värde är 1. Linjens ekvation är alltså y=1* x +2 ⇔ y=x+2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Punkterna (8,4), (4,6) och (1,- 3) är lösningar till de linjära ekvationssystemen nedan. & A: y-3x=- 6 y=- 0,5x+8 & B: y-20=- 2x y-x+4=0 & C: y=2-5x 7x-10=y Para ihop rätt lösning och ekvationssystem.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"}],[{"id":0,"text":"(4,6)"},{"id":1,"text":"(8,4)"},{"id":2,"text":"(1,-3)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
security
report
code
security
report
code
Vi kan pröva om en av punkterna utgör en lösning till första ekvationssystemet genom att sätta in x- och y-värdena i ekvationssystemet, och undersöka om ekvationernas vänster- och högerled blir lika stora. Blir de det har vi hittat en lösning. Vi prövar första punkten.
Likheten stämmer för den andra ekvationen men inte den första. En lösning till ett ekvationssystem gör att alla likheter är uppfyllda. Alltså kan (8,4) inte vara en lösning. Vi prövar andra lösningen, dvs. (4,6).
Likheten gäller för båda ekvationer när vi sätter in (4,6) så detta är en lösning till ekvationssystemet. Vi fortsätter med B och prövar med den första punkten.
Nu ser vi att (8,4) är lösning till det andra ekvationssystemet vilket betyder att (1,- 3) måste vara lösning till C. Vi prövar dock för säkerhets skull.
Ja, det stämmer.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["En l\u00f6sning","Inga l\u00f6sningar","O\u00e4ndligt m\u00e5nga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["En l\u00f6sning","Inga l\u00f6sningar","O\u00e4ndligt m\u00e5nga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"choice","form":{"alts":["En l\u00f6sning","Inga l\u00f6sningar","O\u00e4ndligt m\u00e5nga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Linjerna som beskrivs i ekvationssystemet har samma lutning men olika m-värden. De är alltså parallella och kommer aldrig att skära varandra. Det innebär att ekvationssystemet saknar lösningar som vi ser i nedanstående graf.
Linjerna y=- x+9 och y=5x har olika lutningar så de är inte parallell. Icke-parallella linjer skär varandra en gång, så ekvationssystemet har en lösning.
De räta linjerna y=-3x-13 och y=3x+13 har olika k-värden och kommer därför att skära varandra en gång. Ekvationssystemet kommer alltså ha en lösning.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi kan pröva om x- och y-värdena utgör en lösning genom att sätta in dem i ekvationssystemet och undersöka om ekvationernas vänster- och högerled blir lika stora. Blir de det har vi hittat en lösning.
Likheten stämmer för den första ekvationen men inte den andra. En lösning till ett ekvationssystem gör att alla likheter är uppfyllda, alltså kan x = 5 och y = - 2 inte vara en lösning.
Vi gör samma sak med x = 2 och y = 4.
Eftersom likheten gäller för båda ekvationer när x = 2 och y = 4 måste det vara en lösning till ekvationssystemet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös genom att grafiskt rita. y = - x + 2 y = - 1/2x+1
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2","text2":"0"}}
security
report
code
security
report
code
Genom att rita graferna för de givna ekvationerna kan vi bestämma antalet lösningar till systemet. Detta kommer att vara den punkt där linjerna skär varandra. För att göra detta behöver vi att ekvationerna är i k-form för att hjälpa oss att identifiera lutningen m och y-skärningen b.
Skriv i k-form
Låt oss skriva om var och en av ekvationerna i systemet i k-form och markera värdena för m och b.
| Given ekvation | k-form | Lutning m | y-skärning b |
|---|---|---|---|
| y=- x+2 | y=-1x+ 2 | -1 | (0, 2) |
| y=- 1/2x+1 | y=-1/2x+ 1 | -1/2 | (0, 1) |
Rita systemet
För att rita dessa ekvationer börjar vi med att plotta deras y-skärningar. Sedan använder vi lutningen för att bestämma en annan punkt som uppfyller varje ekvation och förbinder punkterna med en linje.
Vi kan se att linjerna skär varandra i exakt en punkt.
Skärningspunkten vid (2,0) är den enda lösningen till systemet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Linjära ekvationssystem
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll