Linjära ekvationssystem

För att lösa ekvationssystemet behöver vi rita upp graferna som beskrivs. Vi börjar därför med att skriva om den andra ekvationen så att även den står på k-form.

Nu ritar vi upp graferna på räknare genom att trycka på Y=, skriva in funktionerna och därefter trycka på GRAPH.

Linjerna är parallella eftersom de har samma lutning. Det betyder att de aldrig skär varandra, så ekvationssystemet saknar lösningar.

Vi skriver om båda ekvationer till k-form. Sedan ritar vi upp dem och läser av skärningspunkten.

Nu kan vi rita upp linjerna på grafritare. Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi hittar skärningspunkten genom att gå in i CALC-menyn (2nd+Trace) och välja alternativ fem, intersect. Vi anger sedan first curve och second curve samt gör en gissning på var skärningspunkten finns. Då kommer displayen visa grafernas skärningspunkt.

Skärningspunkten, som kan läsas av i displayen, är (-0,5;3) så lösningen till ekvationssystemet är x=-0,5 y=3.

Vi fortsätter på samma sätt och skriver om ekvationerna på k-form för att kunna rita upp linjerna.

Nu kan vi rita upp graferna med räknare, precis som tidigare.

Vi hittar skärningspunkten ännu en gång genom att välja intersect i CALC-menyn samt ange first curve och second curve. Till sist gör vi en gissning på var skärningspunkten finns.

Skärningspunkten är (-10,-5) så ekvationssystemets lösning är x=-10 y=-5.

Grafisk lösning till ett ekvationssystem innebär att vi ritar upp linjerna, för hand eller med grafritande räknare, och avläser x- och y-koordinaten vid skärningspunkten. Men innan vi gör det skriver vi om båda linjerna på k-form.

Ritar vi ut dessa linjer ser vi att de är parallella som inte har någon skärningspunkt, vilket innebär att ekvationssystemet saknar lösningar.

Detta kan vi även se genom att kontrollera ekvationernas k-värden. De är båda 1,2, vilket bekräftar att linjerna är parallella.

Vi skriver om båda linjerna på k-form.

Efter omskrivning ser vi att ekvationssystemet egentligen består av två identiska linjer. Ekvationssystemet har oändligt många lösningar eftersom linjerna skär varandra i varje punkt.

Vi skriver om även dessa linjer.

Ritar vi ut detta par linjer ser vi att även de är parallella, vilket vi kan bekräfta genom att jämföra deras k-värden. Det finns ingen skärningspunkt mellan linjerna och därför saknar ekvationssystemet lösningar.

Ett ekvationssystem har oändligt många lösningar om ekvationerna beskriver samma linje. Vi skriver om den första ekvationen på k-form.

För att den andra ekvationen ska vara likadan som den första måste k vara lika med - 23 och m=3.

Vi utgår från ekvationssystemet vi kom fram till i förra deluppgiften, där båda linjer är skrivna på k-form:

y=- 23x+3 y=kx+m.

För att ekvationssystemet inte ska ha några lösningar ska linjerna vara parallella, men inte identiska. Det betyder att k måste vara - 23, men m får inte vara 3. Det kan vi skriva som k=-2/3 och m≠ 3.

Vi utgår från samma ekvationssystem som i förra deluppgiften:

y=- 23x+3 y=kx+m.

Om ett ekvationssystem ska ha en lösning ska linjerna skära varandra i en punkt. Det gör de om de inte är parallella dvs. k ska inte vara - 23, vilket vi skriver som k≠- 23. Det spelar ingen roll vad m är.

Det enklaste sättet att skapa ett ekvationssystem med en specifik lösning är att ställa upp två valfria uttryck som innehåller x och y och sedan låta konstanttermerna bestämmas av lösningen. Uttrycken kan se ut hur som helst, men vi väljer 7x-2y 3y+x. Nu kan vi sätta in x=-1 och y=4 för att se vad som ska stå på andra sidan likhetstecknet.

Detta betyder att ekvationssystemet

7x-2y=-15 3y+x=11

har den givna lösningen. Detta är dock bara ett av oändligt många ekvationssystem som har den lösningen.

Vi kallar antalet hekto av den dyrare godissorten för x och antalet hekto av den billigare för y. Summan av dessa ska bli 5 hg vilket ger oss den första ekvationen: x+y=5. Vi vet också att priset ska vara 30 kr totalt. Då han köper x hg av det dyrare godiset får han betala 8 kr för varje hg, dvs. 8 * x=8x kr. På motsvarande sätt kan vi uttrycka kostnaden för y hekto av det billigare godiset som 5y. Summan av dessa kostnader ska bli 30 kr: 8x+5y=30. Tillsammans bildar ekvationerna ett ekvationssystem: x+y=5 8x+5y=30, där x är antalet hekto Patrik köper av det dyrare godiset och y är antalet hekto av det billigare godiset. Vi löser nu ekvationssystemet.

Lösningen är alltså x=5/3 y=10/3, vilket innebär att Patrik ska köpa 53 av det dyrare godiset och 103 av det billigare.

Funktionen y=x+2 representeras av den blå grafen och anger ett samband för x- och y-värden som ligger på grafen i koordinatsystemet. Två av punkterna som markerats i koordinatsystemet, dvs. B=(1, 3) och C=(3,5;5,5)

har alltså koordinater som ger VL=HL i funktionen. Vi kan visa detta genom att sätta in punkternas koordinater och pröva om VL och HL blir lika stort.

Punkt B

Ekvationen stämde för punkten då VL = HL.

Punkt C

Båda punkters koordinater löser ekvationen.

Vi letar nu efter punkter som inte ligger på den röda linjen, som är grafen till funktionen y=5-2x. Vi ser att varken A=(-4, -3) eller C=(3,5;5,5)

ligger på den röda linjen. Vi testar dessa.

Punkt A

Punktens koordinater uppfyllde alltså inte ekvationen, eftersom den inte låg på linjen.

Punkt C

Nu sätter vi in punkt B=(1,3) i ekvationssystemet och kontrollerar att den löser båda ekvationerna.

Koordinaterna löser båda ekvationerna samtidigt, vilket är detsamma som att lösa ekvationssystemet. Lösningen till ekvationssystemet är alltså x=1 y=3.

Om x=7 är en del av en lösning till ekvationssystemet ska insättning av x=7 i ekvationerna ge samma y-värde.

Vi får alltså olika y-värden i ekvationerna när man sätter in x=7. Det betyder x=7 inte är en del av lösningen till ekvationssystemet.