| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
System kan innehålla många olika typer av ekvationer och kan lösas grafiskt eller algebraiskt.
Ekvationssystem kan klassificeras utifrån deras algebraiska egenskaper, särskilt vilka typer av ekvationer som ingår. Följande är några av de vanligaste typerna.
Typ av System | Beskrivning | Exempel |
---|---|---|
Linjärt system | Innehåller endast linjära ekvationer. | {x+2y=82x−3y=1
|
Linjärt-kvadratiskt system | Inkluderar linjära och kvadratiska ekvationer. | {y=3x+1x2+y2=25
|
Kvadratiskt system | Består enbart av andragradsekvationer. | {x2+y2=16y=x2−4
|
Icke-linjärt system | Innehåller minst en icke-linjär ekvation. | {sinx+y=1x2+y2=4
|
Kom ihåg att linjär-kvadratiska system och kvadratiska system också är icke-linjära system.
I koordinatsystemet visas två räta linjer.
Vad är skärningspunkten mellan båda linjerna?
Eftersom ekvationerna i ekvationssystemet är samma som de i figuren bestämmer vi lösningen till ekvationssystemet genom att läsa av linjernas skärningspunkt.
Man kan antingen rita funktionerna för hand eller med en grafritande räknare.
Nu kan man läsa av skärningspunkten.
För att räknaren ska kunna tolka ekvationerna som linjer måste man först skriva om dem på k-form, alltså på formen y=kx+m. Detta gör man genom att lösa ut y ur ekvationerna, vilket ger funktionerna för två räta linjer.
Dessa funktioner skriver man nu in på räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y1, Y2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n.
När funktionerna skrivits in trycker man på GRAPH för att rita ut dem i ett koordinatsystem.
För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.
Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på CALC
(2ND+TRACE) och sedan välja 5:intersect
i listan.
När man har valt 5:intersect
visas de uppritade graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.
När två linjer ritas på samma koordinatsystem, finns det tre möjliga scenarier: linjerna är parallella, de korsar varandra en gång, eller så ligger de på varandra. Eftersom lösningen till ett system är den punkt där linjerna som representerar ekvationerna korsar varandra, kan ett system av två linjära ekvationer ha noll, en eller oändligt många lösningar.
Om linjerna är parallella, korsar de inte varandra. Detta innebär att ekvationssystemet inte har någon lösning.
I det här fallet har linjerna samma lutning och olika y-intercept. Här är ett exempel på ett sådant system.
Om linjerna korsar varandra exakt en gång, har ekvationssystemet en lösning. Skärningspunkten är systemets lösning.
Om linjerna skär varandra i oändligt många punkter — linjerna ligger ovanpå varandra — har systemet av ekvationer oändligt många lösningar.
Sammanfattning | |||
---|---|---|---|
Linjernas egenskaper | Kännetecken | Exempelsystem | Antal lösningar |
Parallella | Samma lutning Olika y-intercept |
{y=5x−6y=5x+1 | 0 |
Korsar en gång | Olika lutningar | {y=x+2y=3x+1 | 1 |
Sammanfaller | Samma lutning Samma y-intercept |
{y=4x+22y=8x+4 | Oändligt många |
Vilka är k- och m-värdena för två parallella linjer?
Om ekvationssystemet ska ha oändligt antal lösningar måste linjerna sammanfalla, dvs. vara identiska. Då måste linjernas k- och m-värden vara lika. Vi kan sätta k till 2, men linjerna har olika m-värden så de kan inte sammanfalla.
Oavsett k-värde kommer ekvationssystemet alltså aldrig ha oändligt antal lösningar.
Bestäm antalet lösningar för det givna ekvationssystemet.