body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Linjärt ekvationssystem
Grafisk lösning - ekvationssystem
Antal lösningar till ett linjärt ekvationssystem

Förkunskaper

Koncept

Ekvationssystem

Ett ekvationssystem är en uppsättning av två eller fler ekvationer som involverar samma variabler. Lösningarna till ett system är värden för dessa variabler som uppfyller alla ekvationer samtidigt. Ett ekvationssystem skrivs vanligtvis som en vertikal lista med en klammerparentes på vänster sida.

{x + y = 5 x - y = 3

De vanligaste systemen är system av linjära ekvationer, som endast innehåller linjära ekvationer. Grafiskt är lösningarna till ekvationssystem de punkter där graferna för ekvationerna skär varandra. Av denna anledning uttrycks dessa lösningar vanligtvis som koordinater.

System kan innehålla många olika typer av ekvationer och kan lösas grafiskt eller algebraiskt.

Extra

Typer av Ekvationssystem

Ekvationssystem kan klassificeras utifrån deras algebraiska egenskaper, särskilt vilka typer av ekvationer som ingår. Följande är några av de vanligaste typerna.

Typ av System	Beskrivning	Exempel
Linjärt system	Innehåller endast linjära ekvationer.	${x + 2 y = 8 2 x - 3 y = 1$
Linjärt-kvadratiskt system	Inkluderar linjära och kvadratiska ekvationer.	${y = 3 x + 1 x^{2} + y^{2} = 25$
Kvadratiskt system	Består enbart av andragradsekvationer.	${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} - 4$
Icke-linjärt system	Innehåller minst en icke-linjär ekvation.	${sin x + y = 1 x^{2} + y^{2} = 4$

Kom ihåg att linjär-kvadratiska system och kvadratiska system också är icke-linjära system.

Koncept

Linjärt ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem är två eller flera linjära ekvationer som man löser tillsammans och som har en gemensam lösning. För att visa att de tillhör ett ekvationssystem brukar ekvationerna samlas ihop med en klammer och ibland sätter man även ut romerska siffror för att enklare kunna hänvisa till dem.

{x + y = 3 x - y = 1 (I) (II)

Ekvationssystem innehåller oftast mer än en okänd variabel och lösningen till systemet är de värden på variablerna som gör att alla likheter stämmer. I exemplet ovan söks det par av

x -

och

y -

värden som när de sätts in gör att höger- och vänsterleden blir lika stora i båda ekvationerna. Lösningen i det fallet är

x = 2

och

y = 1,

vilket brukar skrivas

{x = 2 y = 1 .

Ekvationssystem kan lösas med någon av de algebraiska metoderna additions- eller substitutionsmetoden. Man kan också lösa dem grafiskt, vilket innebär att man hittar punkten där de räta linjernas grafer skär varandra.

Exempel

Lös ekvationssystemet

I koordinatsystemet visas två räta linjer.

Använd figuren för att lösa ekvationssystemet

{y = 2 x + 5 y = 0, 5 x + 2 .

Ledtråd

Vad är skärningspunkten mellan båda linjerna?

Lösning

Eftersom ekvationerna i ekvationssystemet är samma som de i figuren bestämmer vi lösningen till ekvationssystemet genom att läsa av linjernas skärningspunkt.

Skärningspunkten har

x -

koordinaten

- 2

och

y -

koordinaten

1,

vilket innebär att ekvationssystemet har lösningen

{x = - 2 y = 1 .

Metod

Grafisk lösning - ekvationssystem

Man löser ekvationssystem grafiskt genom att rita upp systemets ekvationer som grafer och läsa av det eller de

x -

och

y -

värden där graferna skär varandra. Exempelvis kan man lösa ekvationssystemet

{2 y = 6 - 2 x x = y - 1

på detta sätt.

Skriv ekvationerna på

k -

form

Börja med att skriva om ekvationerna på

k -

form genom att lösa ut

y

i vänsterledet:

{y = 3 - x y = x + 1 .

Rita funktionerna i ett koordinatsystem

Man kan antingen rita funktionerna för hand eller med en grafritande räknare.

Läs av grafernas skärningspunkt

Nu kan man läsa av skärningspunkten.

Graferna skär varandra i punkten

(1, 2) .

Lösningen till ekvationssystemet är därför

{x = 1 y = 2 .

Ofta är det praktiskt att använda räknaren för att göra en grafisk lösning.

Digitala verktyg

Lös ekvationssystem med räknare

Det är möjligt att använda räknaren för att lösa ekvationssystem. Det gör man genom att tolka lösningen som skärningspunkten mellan två linjer.

Skriv ekvationerna som funktioner på

k -

form

För att räknaren ska kunna tolka ekvationerna som linjer måste man först skriva om dem på $k -$ form, alltså på formen $y = k x + m .$ Detta gör man genom att lösa ut $y$ ur ekvationerna, vilket ger funktionerna för två räta linjer.

Skriv in funktionerna på räknaren

Dessa funktioner skriver man nu in på räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på $Y =$ och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. För att skriva $x$ använder man $X, T, θ, n .$

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in trycker man på $GRAPH$ för att rita ut dem i ett koordinatsystem.

För att ändra de $x -$ och $y -$ värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på $WINDOW,$ där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två utritade graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på CALC $(2 ND + TRACE)$ och sedan välja $5 : intersect$ i listan.

När man har valt $5 : intersect$ visas de uppritade graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

First curve: Välj den första grafen genom att trycka på $ENTER .$ Om det finns fler än två utritade grafer går det att välja mellan dem med pilarna upp och ner.
Second curve: Välj den andra grafen på samma sätt.
Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda pilarna höger och vänster och tryck sedan på $ENTER .$

Skärningspunktens

x -

och

y -

värden skrivs nu ut, vilket är lösningen till ekvationssystemet.

Regel

Antal lösningar till ett system av linjära ekvationer

När två linjer ritas på samma koordinatsystem, finns det tre möjliga scenarier: linjerna är parallella, de korsar varandra en gång, eller så ligger de på varandra. Eftersom lösningen till ett system är den punkt där linjerna som representerar ekvationerna korsar varandra, kan ett system av två linjära ekvationer ha noll, en eller oändligt många lösningar.

Ingen Lösning

Om linjerna är parallella, korsar de inte varandra. Detta innebär att ekvationssystemet inte har någon lösning.

I det här fallet har linjerna samma lutning och olika $y -$ intercept. Här är ett exempel på ett sådant system.

En lösning

Om linjerna korsar varandra exakt en gång, har ekvationssystemet en lösning. Skärningspunkten är systemets lösning.

Till skillnad från parallella linjer måste linjer som korsar varandra en gång ha olika lutningar. Till exempel måste följande system ha exakt en lösning eftersom de två linjerna har olika lutningar.

{y = - x + 5 y = 3 x - 2

Oändligt antal Lösningar

Om linjerna skär varandra i oändligt många punkter — linjerna ligger ovanpå varandra — har systemet av ekvationer oändligt många lösningar.

Dessa linjer sägs vara sammanfallande, och eftersom de har samma lutning och

y -

skärningspunkt, är de olika versioner av samma linje. Här är ett exempel på ett system som har ett oändligt antal lösningar.

{y = 3 x + 1 2 y = 6 x + 2

I det sista fallet, efter förenkling, blir båda ekvationerna desamma. Följande tabell sammanfattar de tre tidigare scenarierna.

Sammanfattning
Linjernas egenskaper	Kännetecken	Exempelsystem	Antal lösningar
Parallella	Samma lutning Olika $y -$ intercept	${y = 5 x - 6 y = 5 x + 1$	$0$
Korsar en gång	Olika lutningar	${y = x + 2 y = 3 x + 1$	$1$
Sammanfaller	Samma lutning Samma $y -$ intercept	${y = 4 x + 2 2 y = 8 x + 4$	Oändligt många

Exempel

Har ekvationssystemet oändligt många lösningar?

Finns det något värde på

k

som gör att ekvationssystemet får oändligt många lösningar?

{y = 2 x + 5 y = k x + 2

Ledtråd

Vilka är $k -$ och $m -$ värdena för två parallella linjer?

Lösning

Om ekvationssystemet ska ha oändligt antal lösningar måste linjerna sammanfalla, dvs. vara identiska. Då måste linjernas $k -$ och $m -$ värden vara lika. Vi kan sätta $k$ till $2,$ men linjerna har olika $m -$ värden så de kan inte sammanfalla.

Oavsett $k -$ värde kommer ekvationssystemet alltså aldrig ha oändligt antal lösningar.

Övning

Bestämning av antalet lösningar till ett ekvationssystem

Bestäm antalet lösningar för det givna ekvationssystemet.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Extra

Ledtråd

Lösning

Ingen Lösning

En lösning

Oändligt antal Lösningar

Ledtråd

Lösning