5. Icke-linjära funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
5.
Icke-linjära funktioner
Denna lektion förklarar konceptet med icke linjära funktioner, specifikt potensfunktioner och exponentialfunktioner. Potensfunktioner är funktioner där variabeln finns i potensens bas, medan i en exponentialfunktion finns variabeln i exponenten. Dessa funktioner används för att beskriva olika typer av tillväxt och minskning, till exempel populationstillväxt eller radioaktivt sönderfall. De kan också användas för att modellera olika fysiska fenomen, till exempel ljudintensitet eller ljusintensitet.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Icke-linjära funktioner
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Potensfunktion
- Exponentialfunktion
- Grafisk lösning
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Potensfunktion
Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen x^a säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient C framför potensen.
y = C* x^a
Graferna för några grundläggande potensfunktioner visas nedan.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vilka är potensfunktioner?
Vilka av dessa funktioner är potensfunktioner?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["y=15^x","y=x^2","y=sqrt(x)","y=1\/x^3"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[1,2,3]}
Ledtråd
Lösning
Potensfunktioner har alltid det okända i basen, dvs. skrivs på formen
y=C * x^a.
Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion.
y=15^x *
Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas.
y = x^2 ✓
Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den enligt följande.
y=sqrt(x) = x^(1/2) ✓
Därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen 1a^b=a^(- b).
y=1/x^3 = x^(- 3) ✓
Alltså är alla utom den första potensfunktioner.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Arbeta med exponentiella funktioner
Den följande appen frågar antingen efter att utvärdera en potensfunktion vid ett givet värde eller att bestämma konstantens värde.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Exponentialfunktion
Funktioner som innehåller uttryck på formen a^x, alltså där variabeln x finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.
y=C * a^x
Koefficienten C anger det y-värde där funktionens graf skär y-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen a i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.
C &- startvärde a &- förändringsfaktor
Koefficienten C får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras a^x med 0 blir ju produkten 0 oavsett potensens värde.
Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt a till x= 12, eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur a, vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret a ≥ 0.
Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionen alltid lika med 0, vilket ger en vågrät linje vid y=0, och när a=1 får man en vågrät linje längs med startvärdet C eftersom 1^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a ≠ 0 och a ≠ 1. Dessa villkor kan sammanfattas som a > 0 och a ≠ 1.
Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av C och a.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Ställ upp en exponentialfunktion
På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1 250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11,5 % varje år.
Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1250*0,885^x"]}}
Ledtråd
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C * a^x.
Lösning
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C * a^x,
där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1 250. Detta ger
y=1250 * a^x.
En minskning på 11,5 % innebär att det varje år finns kvar 100-11,5=88,5 % av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0,885 vilket ger oss funktionen
y = 1 250 * 0,885^x,
där y är antal tofspingviner x år efter idag.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?
Funktionen N(t)=1 200* 2^t, beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter. 
Hur många fanns det från början?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1200"]}}
Ledtråd
I en exponentialfunktion y = C* a^x är koefficienten C startvärdet.
Lösning
Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:
y=C * a^t.
När funktionen står på den här formen är C startvärdet. I vår funktion är C=1 200, så det fanns 1 200 bakterier från början.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Arbeta med exponentialfunktioner
Följande applet visar olika exponentialfunktioner. Hitta den efterfrågade informationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Grafisk lösning
Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen 1,5^x=5,0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.
1
Skriv ekvationens led som funktioner
expand_more 2
Rita graferna till funktionerna
expand_more 
3
Läs av x-värden där graferna skär varandra
expand_more Lösningen till ekvationen 1,5^x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös exponentialekvationen grafiskt
Vi har exponentialfunktionen y=4^x. Vi sätter in y=2,5 och får då exponentialekvationen 2,5=4^x. Lös denna ekvation grafiskt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,66"]}}
Ledtråd
Rita graferna för funktionerna y=2,5 och y=4^x. Leta efter x-koordinaten för skärningspunkten.
Lösning
Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs.
y = 2,5 och y = 4^x.
Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av x-koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.
Vi ser att de skär i x ≈ 0,66, som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in 4^(0,66) på räknaren, vilket ger ca 2,5198.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Icke-linjära funktioner
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["75"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4\\sqrt{5}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,07"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar f(5) genom att ersätta x med 5 i funktionsuttrycket. Kom ihåg att potenser beräknas före multiplikation enligt prioriteringsreglerna.
På samma sätt som i förra deluppgiften ersätter vi x med 5 i funktionsuttrycket.
Vi får alltså f(5) = 4sqrt(5).
Vi ersätter x med 5 i funktionsuttrycket och förenklar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"C=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,25"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6,75"]}}
security
report
code
security
report
code
Ekvationen f(2)=2 innebär att f(x)= 2 när x = 2. Vi sätter in värdena i potensfunktionen och löser ut C.
Konstanten C har alltså värdet 0,25.
I den förra deluppgiften beräknade vi konstanten C, så nu vet vi att potensfunktionen kan skrivas
f(x) = 0,25x^3.
Nu sätter vi in x=3 i denna och beräknar funktionsvärdet.
Svaret är alltså att f(x) blir 6,75 när x är 3.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Identifiera vilken av graferna A, B, C och D som hör till funktionen.
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":3}
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Exponentialfunktionen y = 400 * 0,8^x skär y-axeln vid startvärdet y = 400, och är avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,8 är mindre än 1. Grafen till denna exponentialfunktion måste därför vara graf C.
Exponentialfunktionen
y = 200 * 0,7^x
skär y-axeln vid y = 200 och är också avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,7 är mindre än 1. Graf till denna exponentialfunktion måste vara D.
Exponentialfunktionen
y = 400 * 1,1^x
skär y-axeln vid y = 400 och är växande eftersom förändringsfaktorn 1,1 är större än 1, vilket är graf B.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["20000"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
En exponentialfunktion kan allmänt skrivas på formen y = C * a^x, där C anger funktionsvärdet när x = 0, dvs. år 2016. Vi vet att C = 20 000, vilket innebär att beloppet du investerade var 20 000kr.
En exponentialfunktion f(x) kan allmänt skrivas
f(x)=C* a^x,
där a anger exponentialfunktionens förändringsfaktor. I vår modell är a= 1,02 vilket innebär att investeringen förväntas att öka med 2 % per år.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5\\cdot 1,03^{t}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5\\cdot 0,997^{t}"]}}
security
report
code
security
report
code
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y = C * a^t, där C och a är konstanter, och t är variabeln. Stadens folkmängd från början är 500 000 personer, vilket är en halv miljon. Det innebär att C = 0,5. Folkmängden ska öka med 3 % per år, så förändringsfaktorn a är 1,03. Den sökta exponentialfunktionen är därför y = 0,5 * 1,03^t, där y är folkmängden i miljoner invånare och t är tiden i år.
Startvärdet C är även här 0,5. Denna gång ska folkmängden minska med 0,3 % per år. Det innebär folkmängden ett visst år är 100-0,3=99,7 % av förra årets befolkningsmängd. Förändringsfaktorn a får vi genom att skriva detta i decimalform, dvs 0,997. Vår sökta exponentialfunktion kan därför skrivas
y = 0,5 * 0,997^t,
där y är folkmängden i miljoner och t är tiden i år.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["f(x)","g(x)","h(x)"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["2657"]}}
security
report
code
security
report
code
Alla funktioner utgår ifrån en procentuell värdeminskning, dvs. det är exponentialfunktioner. En exponentialfunktion skrivs på formen y=C* a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. I vårt exempel står x för antal år efter det att datorn köptes. Vi analyserar de olika funktionerna var för sig.
Funktionen f(x)
Denna funktion har en orimlig förändringsfaktor. Förändringsfaktorn 1,08 innebär en ökning med 8 % per år. Eftersom datorn kommer att slitas och bli omodern är det inte rimligt att den skulle öka i värde.
Funktionen g(x)
Funktionen g(x) har en rimlig förändringsfaktor på 0,8. Den minskar alltså med 20 % per år. Den har däremot ett orimligt lågt inköpspris. En ny dator brukar inte kosta endast 49kr!
Funktionen h(x)
h(x) är den funktion som har både ett rimligt startvärde (alltså inköpspris) på 4 999kr och en rimlig förändringsfaktor på 0,81 som innebär en värdeminskning på 19 % per år. Därför måste denna vara det korrekta svaret.
I deluppgift A kom vi fram till att den rimliga modellen är h(x). Värdet på datorn efter 3 år beräknar vi genom att sätta in x= 3 i h(x).
Värdet efter 3 år är alltså 2 657kr.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Adam köper en begagnad moped. Formeln y =10 000 * 0,8^x beskriver mopedens värde y kronor x år senare. Hur stor är värdeminskningen i procent per år?
Nationella provet VT12 1a/1b/1c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"%","answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma värdeminskningen per år kan vi använda oss av förändringsfaktorn. Den allmänna formen för en exponentialfunktion är y=C* a^x, där x är variabeln, C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. För y=10 000* 0,8^x är förändringsfaktorn alltså 0,8. Det betyder att mopedens värde ett specifikt år kommer att vara 80 % av värdet året innan. Om den behåller 80 % av värdet måste 100 % - 80 % = 20 % av värdet ha försvunnit, vilket innebär att värdet alltså minskar med 20 % per år.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Utvärdera funktionen när x=- 2, 0, och 12. Avrunda svaret till fyra decimaler, om det behövs. y=2 * 9^x
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":3,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,0247","2","6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi har fått en funktion och blivit ombedda att utvärdera den för några givna värden. x=- 2, 0, 1/2 Detta betyder att vi ska ersätta - 2, 0, och 12 för x i den givna funktionen och sedan utvärdera. Låt oss börja med - 2.
Låt oss nu göra samma sak för resten av värdena.
| x | Utvärdering | Resultat |
|---|---|---|
| - 2 | 2 * 9 ^(- 2) | ≈ 0,0247 |
| 0 | 2 * 9^0 | 2 |
| 1/2 | 2 * 9^(12) | 6 |
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Icke-linjära funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll