Icke-linjära funktioner

Vi beräknar f(5) genom att ersätta x med 5 i funktionsuttrycket. Kom ihåg att potenser beräknas före multiplikation enligt prioriteringsreglerna.

På samma sätt som i förra deluppgiften ersätter vi x med 5 i funktionsuttrycket.

Vi får alltså f(5) = 4sqrt(5).

Vi ersätter x med 5 i funktionsuttrycket och förenklar.

Ekvationen f(2)=2 innebär att f(x)= 2 när x = 2. Vi sätter in värdena i potensfunktionen och löser ut C.

Konstanten C har alltså värdet 0,25.

I den förra deluppgiften beräknade vi konstanten C, så nu vet vi att potensfunktionen kan skrivas f(x) = 0,25x^3. Nu sätter vi in x=3 i denna och beräknar funktionsvärdet.

Svaret är alltså att f(x) blir 6,75 när x är 3.

Exponentialfunktionen y = 400 * 0,8^x skär y-axeln vid startvärdet y = 400, och är avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,8 är mindre än 1. Grafen till denna exponentialfunktion måste därför vara graf C.

Exponentialfunktionen y = 200 * 0,7^x skär y-axeln vid y = 200 och är också avtagande eftersom förändringsfaktorn 0,7 är mindre än 1. Graf till denna exponentialfunktion måste vara D.

Exponentialfunktionen y = 400 * 1,1^x skär y-axeln vid y = 400 och är växande eftersom förändringsfaktorn 1,1 är större än 1, vilket är graf B.

En exponentialfunktion kan allmänt skrivas på formen y = C * a^x, där C anger funktionsvärdet när x = 0, dvs. år 2016. Vi vet att C = 20 000, vilket innebär att beloppet du investerade var 20 000kr.

En exponentialfunktion f(x) kan allmänt skrivas f(x)=C* a^x, där a anger exponentialfunktionens förändringsfaktor. I vår modell är a= 1,02 vilket innebär att investeringen förväntas att öka med 2 % per år.

En exponentialfunktion kan skrivas på formen y = C * a^t, där C och a är konstanter, och t är variabeln. Stadens folkmängd från början är 500 000 personer, vilket är en halv miljon. Det innebär att C = 0,5. Folkmängden ska öka med 3 % per år, så förändringsfaktorn a är 1,03. Den sökta exponentialfunktionen är därför y = 0,5 * 1,03^t, där y är folkmängden i miljoner invånare och t är tiden i år.

Startvärdet C är även här 0,5. Denna gång ska folkmängden minska med 0,3 % per år. Det innebär folkmängden ett visst år är 100-0,3=99,7 % av förra årets befolkningsmängd. Förändringsfaktorn a får vi genom att skriva detta i decimalform, dvs 0,997. Vår sökta exponentialfunktion kan därför skrivas y = 0,5 * 0,997^t, där y är folkmängden i miljoner och t är tiden i år.

Alla funktioner utgår ifrån en procentuell värdeminskning, dvs. det är exponentialfunktioner. En exponentialfunktion skrivs på formen y=C* a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. I vårt exempel står x för antal år efter det att datorn köptes. Vi analyserar de olika funktionerna var för sig.

Funktionen f(x)

Denna funktion har en orimlig förändringsfaktor. Förändringsfaktorn 1,08 innebär en ökning med 8 % per år. Eftersom datorn kommer att slitas och bli omodern är det inte rimligt att den skulle öka i värde.

Funktionen g(x)

Funktionen g(x) har en rimlig förändringsfaktor på 0,8. Den minskar alltså med 20 % per år. Den har däremot ett orimligt lågt inköpspris. En ny dator brukar inte kosta endast 49kr!

Funktionen h(x)

h(x) är den funktion som har både ett rimligt startvärde (alltså inköpspris) på 4 999kr och en rimlig förändringsfaktor på 0,81 som innebär en värdeminskning på 19 % per år. Därför måste denna vara det korrekta svaret.

I deluppgift A kom vi fram till att den rimliga modellen är h(x). Värdet på datorn efter 3 år beräknar vi genom att sätta in x= 3 i h(x).

Värdet efter 3 år är alltså 2 657kr.

För att bestämma värdeminskningen per år kan vi använda oss av förändringsfaktorn. Den allmänna formen för en exponentialfunktion är y=C* a^x, där x är variabeln, C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. För y=10 000* 0,8^x är förändringsfaktorn alltså 0,8. Det betyder att mopedens värde ett specifikt år kommer att vara 80 % av värdet året innan. Om den behåller 80 % av värdet måste 100 % - 80 % = 20 % av värdet ha försvunnit, vilket innebär att värdet alltså minskar med 20 % per år.

Vi har fått en funktion och blivit ombedda att utvärdera den för några givna värden. x=- 2, 0, 1/2 Detta betyder att vi ska ersätta - 2, 0, och 12 för x i den givna funktionen och sedan utvärdera. Låt oss börja med - 2.

Låt oss nu göra samma sak för resten av värdena.