5. Icke-linjära funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
5.
Icke-linjära funktioner
Denna lektion förklarar konceptet med icke linjära funktioner, specifikt potensfunktioner och exponentialfunktioner. Potensfunktioner är funktioner där variabeln finns i potensens bas, medan i en exponentialfunktion finns variabeln i exponenten. Dessa funktioner används för att beskriva olika typer av tillväxt och minskning, till exempel populationstillväxt eller radioaktivt sönderfall. De kan också användas för att modellera olika fysiska fenomen, till exempel ljudintensitet eller ljusintensitet.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 10 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Icke-linjära funktioner
Sida av 10
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Potensfunktion
- Exponentialfunktion
- Grafisk lösning
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Potensfunktion
Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen x^a säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient C framför potensen.
y = C* x^a
Graferna för några grundläggande potensfunktioner visas nedan.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vilka är potensfunktioner?
Vilka av dessa funktioner är potensfunktioner?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["y=15^x","y=x^2","y=sqrt(x)","y=1\/x^3"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[1,2,3]}
Ledtråd
Lösning
Potensfunktioner har alltid det okända i basen, dvs. skrivs på formen
y=C * x^a.
Den första funktionen har det okända i exponenten, och är därför inte en potensfunktion.
y=15^x *
Andra funktionen är en potensfunktion eftersom den innehåller en term som är en potens med okänd bas.
y = x^2 ✓
Den tredje funktionen ser kanske inte ut som en potensfunktion, men eftersom kvadratroten ur är samma sak som upphöjt till en halv kan vi skriva om den enligt följande.
y=sqrt(x) = x^(1/2) ✓
Därför är även den en potensfunktion. Även den sista funktionen kan skrivas om med potenslagen 1a^b=a^(- b).
y=1/x^3 = x^(- 3) ✓
Alltså är alla utom den första potensfunktioner.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Arbeta med exponentiella funktioner
Den följande appen frågar antingen efter att utvärdera en potensfunktion vid ett givet värde eller att bestämma konstantens värde.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Exponentialfunktion
Funktioner som innehåller uttryck på formen a^x, alltså där variabeln x finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.
y=C * a^x
Koefficienten C anger det y-värde där funktionens graf skär y-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen a i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.
C &- startvärde a &- förändringsfaktor
Koefficienten C får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras a^x med 0 blir ju produkten 0 oavsett potensens värde.
Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt a till x= 12, eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur a, vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret a ≥ 0.
Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionen alltid lika med 0, vilket ger en vågrät linje vid y=0, och när a=1 får man en vågrät linje längs med startvärdet C eftersom 1^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a ≠ 0 och a ≠ 1. Dessa villkor kan sammanfattas som a > 0 och a ≠ 1.
Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av C och a.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Ställ upp en exponentialfunktion
På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1 250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11,5 % varje år.
Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1250*0,885^x"]}}
Ledtråd
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C * a^x.
Lösning
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C * a^x,
där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1 250. Detta ger
y=1250 * a^x.
En minskning på 11,5 % innebär att det varje år finns kvar 100-11,5=88,5 % av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0,885 vilket ger oss funktionen
y = 1 250 * 0,885^x,
där y är antal tofspingviner x år efter idag.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?
Funktionen N(t)=1 200* 2^t, beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter. 
Hur många fanns det från början?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1200"]}}
Ledtråd
I en exponentialfunktion y = C* a^x är koefficienten C startvärdet.
Lösning
Vi kan välja att utgå ifrån formeln för en exponentialfunktion:
y=C * a^t.
När funktionen står på den här formen är C startvärdet. I vår funktion är C=1 200, så det fanns 1 200 bakterier från början.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Arbeta med exponentialfunktioner
Följande applet visar olika exponentialfunktioner. Hitta den efterfrågade informationen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Grafisk lösning
Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen 1,5^x=5,0625. Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.
1
Skriv ekvationens led som funktioner
expand_more 2
Rita graferna till funktionerna
expand_more 
3
Läs av x-värden där graferna skär varandra
expand_more Lösningen till ekvationen 1,5^x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös exponentialekvationen grafiskt
Vi har exponentialfunktionen y=4^x. Vi sätter in y=2,5 och får då exponentialekvationen 2,5=4^x. Lös denna ekvation grafiskt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,66"]}}
Ledtråd
Rita graferna för funktionerna y=2,5 och y=4^x. Leta efter x-koordinaten för skärningspunkten.
Lösning
Vi löser ekvationen grafiskt genom att låta ekvationens vänster- och högerled utgöra varsin funktion, dvs.
y = 2,5 och y = 4^x.
Vi ritar dessa funktioner i ett koordinatsystem, enklast med ett digitalt verktyg t.ex. en grafritande räknare. Vi läser av x-koordinaten där graferna skär, vilket kallas för grafisk lösning. Ofta har räknare verktyg för detta.
Vi ser att de skär i x ≈ 0,66, som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in 4^(0,66) på räknaren, vilket ger ca 2,5198.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Icke-linjära funktioner
Uppgift 2.1
I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner: y = x^2, y = x^(-2), y = sqrt(x) Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"}],[{"id":0,"text":"y=x^2"},{"id":1,"text":"y=x^(-2)"},{"id":2,"text":"y=sqrt(x)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[2,0,1]]}
security
report
code
security
report
code
Om vi inte direkt känner igen vilken graf som hör till vilken funktion kan vi undersöka deras funktionsvärde för något lämpligt x-värde. Väljer vi x-värdet väl räcker det med att undersöka ett enda, men vi kan även skapa en värdetabell med flera olika x-värden. Nedan har vi markerat punkter på graferna vid x= 2.
Vi sätter in x = 2 i den första och andra funktionen och bestämmer deras funktionsvärde. Därefter kan vi avgöra vilka grafer som hör till vilka funktionsuttryck.
Funktionsvärdet blev 4 när vi satte in x = 2 i den första funktionen. Jämför vi med koordinatsystemet ser vi att graf B har detta funktionsvärde. Vi fortsätter med nästa funktion.
Funktionsvärdet blev 0,25 för x = 2 i den andra funktionen. I koordinatsystemet ser vi att graf C har ett funktionsvärde mellan 0 och 0,5, så denna graf måste höra ihop med y=x^(-2). Då kan vi även para ihop graf A med y=sqrt(x). Sammanfattningsvis får vi:
A &→ y = sqrt(x) B &→ y = x^2 C &→ y = x^(-2)
För säkerhets skull kan vi även beräkna funktionsvärdet för den sista funktionen och kontrollera att det stämmer överens med graf A.
För den sista funktionen gäller att y ≈ 1,4 då x = 2 vilket vi ser verkar stämma med graf A.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En exponentialfunktion f(x) = C * a^x har de två kända funktionsvärdena f(0) = 100 och f(8) = 50. Bestäm funktionsuttrycket för f(x), d.v.s. bestäm C och a. Avrunda a till två decimaler om nödvändigt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["100\\cdot0,92^x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att använda att f(0) = 100. Detta betyder att när x = 0 är funktionsvärdet 100.
Nu ser vi att C=100, vilket vi sätter in uttrycket för exponentialfunktionen. För att beräkna värdet på a använder vi oss av det andra kända funktionsvärdet, f(8) = 50.
Vi har nu kommit fram till att a ≈ 0,92. Vi kan alltså skriva exponentialfunktionen som f(x) = 100 * 0,92^x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En bil är värd 200 000 kronor. Tre år senare är den värd 69 000 kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter x år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["200000\\cdot 0,70^x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi utgår från det allmänna fallet av en exponentialfunktion: y=C* a^x, där y är värdet och x är tiden. Vi vill hitta konstanterna C och a. Från början var bilen värd 200 000 kr så startvärdet är C = 200 000. Efter 3 år, dvs. när x=3, är värdet 69 000kr. Vi sätter in detta i formeln.
Nu har vi en potensekvation som vi kan lösa genom att dra tredje roten ur båda led, eller upphöja båda led till .1 /3..
Förändringsfaktorn a är alltså cirka 0,70. Det innebär att varje års värde är 70 % av det tidigare eller, annorlunda uttryckt, att värdet minskar med 30 % varje år. Det ger oss funktionen y = 200 000 * 0,70^x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för 100kr som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för 1 200kr. Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"% per \u00e5r","answer":{"text":["64"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kallar den genomsnittliga årliga förändringsfaktorn för x och ställer upp exponentialfunktionen y = C * a^x, där y är CD-skivans pris efter x år, C är vad du betalade för CD-skivan och a är förändringsfaktorn. Priset du betalade för skivan var 100kr, så C = 100. Du sålde skivan för 1 200kr efter 5 år, vilket innebär att då y = 1 200 då x = 5. Sätter vi in dessa kända värden i funktionen kan vi lösa ut förändringsfaktorn a.
För att bli av med femman i exponenten upphöjer vi båda led till 15, vilket är samma sak som att dra femte roten ur.
Förändringsfaktorn a är alltså ungefär lika med 1,64, vilket innebär att den genomsnittliga årliga prisökningen var ca 64 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"kr","answer":{"text":["73000"]}}
Nationella provet VT10 MaA
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"\u00e5r","answer":{"text":["2,2"]}}
Nationella provet VT10 MaA
security
report
code
security
report
code
Om värdeminskningen är 10 % avtar bilens värde långsammare än om värdeminskningen är 15 %. Av de två graferna avtar den streckade kurvan långsammast så denna måste alltså motsvara en värdeminskning med 10 %. När vi har bestämt vilken graf vi ska titta på kan vi utgå från x=3 på x-axeln och läsa av den streckade grafens funktionsvärde.
Bilens värde är ca 73 000kr efter 3 år.
Bilen är värd 100 000kr när den köps och halva detta värde är 50 000kr. Genom att rita den horisontella linjen y=50 000 kan vi läsa av vid vilket x-värde som graferna når detta funktionsvärde.
När värdet avtar med 10 % halveras bilens värde efter 6,5 år och när värdet avtar med 15 % halveras värdet efter ca 4,3 år. Det tar alltså 6,5-4,3=2,2 år till för bilens värde att halveras när den procentuella sänkningen är 10 %.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Matcha funktionen f(x)=2(0,5)^x med dess graf.
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Låt oss analysera den givna funktionen. f(x)= 2( 0,5)^x Vi ser att funktionens initialvärde är 2 och den konstanta multiplikatorn är 0,5. Därför skär den y-axeln vid (0, 2). Eftersom 0< 0,5<1, är det en avtagande funktion. Funktionen f matchar graf C.
När vi ritar en exponentialfunktion y=ab^x, ändrar värdena på a och b grafens form. Graferna nedan visar möjliga grafer för exponentialfunktioner.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Icke-linjära funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll