Icke Linjära Funktioner: Utforska Potensfunktioner och Exponentialfunktioner

I koordinatsystemet finns graferna till följande potensfunktioner:

y = x^{2}, y = x^{- 2}, y = x

Vilken graf hör till vilken funktion? Lös uppgiften utan räknare.

Ett koordinatsystem med graferna till y=x^2, y=x^(-2) och y=sqrt(x).

Om vi inte direkt känner igen vilken graf som hör till vilken funktion kan vi undersöka deras funktionsvärde för något lämpligt x-värde. Väljer vi x-värdet väl räcker det med att undersöka ett enda, men vi kan även skapa en värdetabell med flera olika x-värden. Nedan har vi markerat punkter på graferna vid x= 2.

Vi sätter in x = 2 i den första och andra funktionen och bestämmer deras funktionsvärde. Därefter kan vi avgöra vilka grafer som hör till vilka funktionsuttryck.

Funktionsvärdet blev 4 när vi satte in x = 2 i den första funktionen. Jämför vi med koordinatsystemet ser vi att graf B har detta funktionsvärde. Vi fortsätter med nästa funktion.

Funktionsvärdet blev 0,25 för x = 2 i den andra funktionen. I koordinatsystemet ser vi att graf C har ett funktionsvärde mellan 0 och 0,5, så denna graf måste höra ihop med y=x^(-2). Då kan vi även para ihop graf A med y=sqrt(x). Sammanfattningsvis får vi:

A &→ y = sqrt(x) B &→ y = x^2 C &→ y = x^(-2)

För säkerhets skull kan vi även beräkna funktionsvärdet för den sista funktionen och kontrollera att det stämmer överens med graf A.

För den sista funktionen gäller att y ≈ 1,4 då x = 2 vilket vi ser verkar stämma med graf A.

En exponentialfunktion

f (x) = C \cdot a^{x}

har de två kända funktionsvärdena

f (0) = 100

och

f (8) = 50 .

Bestäm funktionsuttrycket för

f (x),

d.v.s. bestäm

C

och

a .

Avrunda

a

till två decimaler om nödvändigt.

Vi börjar med att använda att f(0) = 100. Detta betyder att när x = 0 är funktionsvärdet 100.

Nu ser vi att C=100, vilket vi sätter in uttrycket för exponentialfunktionen. För att beräkna värdet på a använder vi oss av det andra kända funktionsvärdet, f(8) = 50.

Vi har nu kommit fram till att a ≈ 0,92. Vi kan alltså skriva exponentialfunktionen som f(x) = 100 * 0,92^x.

En bil är värd

200000

kronor. Tre år senare är den värd

69000

kronor. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver bilens värde efter

x

år om den procentuella värdeförändringen är samma varje år.

Vi utgår från det allmänna fallet av en exponentialfunktion: y=C* a^x, där y är värdet och x är tiden. Vi vill hitta konstanterna C och a. Från början var bilen värd 200 000 kr så startvärdet är C = 200 000. Efter 3 år, dvs. när x=3, är värdet 69 000kr. Vi sätter in detta i formeln.

Nu har vi en potensekvation som vi kan lösa genom att dra tredje roten ur båda led, eller upphöja båda led till .1 /3..

Förändringsfaktorn a är alltså cirka 0,70. Det innebär att varje års värde är 70 % av det tidigare eller, annorlunda uttryckt, att värdet minskar med 30 % varje år. Det ger oss funktionen y = 200 000 * 0,70^x.

För fem år sedan var du på en konsert med en musikgrupp du gillar. Du köpte då en av deras CD-skivor för

100 kr

som alla gruppmedlemmar signerat. Sedan dess har musikgruppen slagit igenom stort och exakt fem år efter konserten säljer du den signerade CD-skivan på auktion för

1200 kr

. Beräkna den genomsnittliga prisökningen i procent per år. Avrunda svaret till hela procent.

Vi kallar den genomsnittliga årliga förändringsfaktorn för x och ställer upp exponentialfunktionen y = C * a^x, där y är CD-skivans pris efter x år, C är vad du betalade för CD-skivan och a är förändringsfaktorn. Priset du betalade för skivan var 100kr, så C = 100. Du sålde skivan för 1 200kr efter 5 år, vilket innebär att då y = 1 200 då x = 5. Sätter vi in dessa kända värden i funktionen kan vi lösa ut förändringsfaktorn a.

För att bli av med femman i exponenten upphöjer vi båda led till 15, vilket är samma sak som att dra femte roten ur.

Förändringsfaktorn a är alltså ungefär lika med 1,64, vilket innebär att den genomsnittliga årliga prisökningen var ca 64 %.

Sarah köper en begagnad bil för $100000 kr .$ Värdet på bilen kommer att sjunka. I diagrammet visas hur värdet förändras om det sjunker med $10 %$ respektive $15 %$ per år.

Grafen av två exponentialfunktioner, en streckad och en ifylld.

Vilket är värdet efter tre år om den procentuella sänkningen är

10 %

per år? Avrunda till tusentals kronor.

Nationella provet VT10 MaA

Hur mycket längre tid krävs för att halvera värdet när den procentuella sänkningen är

10 %

i stället för

15 %

per år? Motivera din lösning i diagrammet och rutan. Avrunda till en decimal.

Nationella provet VT10 MaA

Om värdeminskningen är 10 % avtar bilens värde långsammare än om värdeminskningen är 15 %. Av de två graferna avtar den streckade kurvan långsammast så denna måste alltså motsvara en värdeminskning med 10 %. När vi har bestämt vilken graf vi ska titta på kan vi utgå från x=3 på x-axeln och läsa av den streckade grafens funktionsvärde.

Bilens värde är ca 73 000kr efter 3 år.

Bilen är värd 100 000kr när den köps och halva detta värde är 50 000kr. Genom att rita den horisontella linjen y=50 000 kan vi läsa av vid vilket x-värde som graferna når detta funktionsvärde.

När värdet avtar med 10 % halveras bilens värde efter 6,5 år och när värdet avtar med 15 % halveras värdet efter ca 4,3 år. Det tar alltså 6,5-4,3=2,2 år till för bilens värde att halveras när den procentuella sänkningen är 10 %.

Icke-linjära funktioner

Förkunskaper

Potensfunktion

Vilka är potensfunktioner?

Ledtråd

Lösning

Arbeta med exponentiella funktioner

Exponentialfunktion

Ställ upp en exponentialfunktion

Ledtråd

Lösning

Vad är startvärdet i exponentialfunktionen?

Ledtråd

Lösning

Arbeta med exponentialfunktioner

Grafisk lösning

Lös exponentialekvationen grafiskt

Ledtråd

Lösning

Icke-linjära funktioner

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.