Icke-linjära funktioner

Eftersom f(x) är en exponentialfunktion vet vi att den har formen f(x) = C * a^x. För att få hela funktionsuttrycket måste vi alltså bestämma konstanterna C och a. Vi kan börja med att sätta in x=2, vilket vi vet ska ge funktionsvärdet 180, och lösa ut C.

Än så länge vet vi inte vad a är lika med, så vi kan inte bestämma något värde för C. Vi ställer nu upp det andra sambandet som ges av att vi vet att f(4) = 1620: 1 620 = C * a^4. Eftersom det är samma C som ovan sätter vi in uttrycket för C som vi tog fram i förra steget, och kan då få fram ett värde på a.

Talet a kan inte vara negativt eftersom det är förändringsfaktorn i en exponentialfunktion, vilket innebär att endast a=3 kan vara korrekt. Vi sätter in detta i uttrycket för C som vi kom fram till tidigare.

Sätter vi in C=20 och a=3 i funktionsuttrycket får vi den sökta funktionen: f(x) = 20 * 3^x.

I vår exponentialfunktion är förändringsfaktorn a = 0,834. Det innebär att för varje dygn som går finns det endast 83,4 % kvar av mängden radon föregående dygn. Mängden minskar alltså med 100-83,4=16,6 % per dygn.

Mängden har minskat till hälften då hälften av N_0 finns kvar, dvs. då y = 0,5 N_0. Om vi sätter in detta i exponentialfunktionen får vi exponentialekvationen 0,5 N_0 = N_0 * 0,834^t. Nu dividerar vi bort N_0 i båda led och får ekvationen 0,5 = 0,834^t. Denna ekvation löser vi grafiskt, enklast med hjälp av grafritande räknare. Vi ritar då ekvationens led som två funktioner: y=0,5 och y=0,834^t och undersöker när de skär varandra.

Med räknarens verktyg kan vi bestämma skärningspunkten till t =3,81853 ... ≈ 3,8 dygn. Detta kan tolkas som att mängden radon har minskat till hälften efter ca 3,8 dygn. Detta är vad som kallas halveringstiden, eftersom hälften av den ursprungliga mängden återstår vid denna tidpunkt.

Vi vill veta med hur många procent som antalet bakterier ökar på en timme, dvs. vi söker förändringsfaktorn a. Vi får veta att efter 5 timmar, dvs. då t= 5, har antal bakterier fyrdubblats från y_0 till 4y_0. Det innebär alltså att vi kan ställa upp ekvationen 4y_0 = y_0 * a^5. Genom att dividera båda led med y_0 får vi en potensekvation som vi kan lösa algebraiskt.

Förändringsfaktorn är 1,32, vilket innebär att den genomsnittliga procentuella tillväxten är 32 %.

Vi använder oss av förändringsfaktorn a ≈ 1,32 som vi bestämde i förra deluppgiften. Detta ger oss y(t) = y_0 * 1,32^t, där y(t) anger antalet bakterier efter t timmar. Vi vill ta reda på den tid det tar för odlingen att växa från en bakterie till en miljon. Startvärdet y_0 är alltså 1 och vi vill hitta det t som ger att y(t) = 10^6. Sätter vi in detta i funktionen får vi ekvationen 10^6 = 1 * 1,32^t ⇔ 10^6 = 1,32^t. Denna ekvation löser vi grafiskt genom att rita ut VL respektive HL som separata funktioner i samma koordinatsystem och avläsa för vilket t som de skär varandra. Enklast är att använda grafritande räknare.

Grafritarens verktyg ger oss att graferna skär i t=49,76200 ... vilket betyder att det tar ca 50 timmar eller ungefär 2 dygn för antalet bakterier att nå en miljon.