Logga in
| 10 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Om funktionsuttrycket för en funktion innehåller en potens på formen xa säger man att det är en potensfunktion. Ett generellt sätt att ange en potensfunktion är med en koefficient C framför potensen.
y=C⋅xa
Graferna för några grundläggande potensfunktioner visas nedan.
Potensfunktioner har alltid det okända i basen.
Den följande appen frågar antingen efter att utvärdera en potensfunktion vid ett givet värde eller att bestämma konstantens värde.
Funktioner som innehåller uttryck på formen ax, alltså där variabeln x finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.
y=C⋅ax
Koefficienten C anger det y-värde där funktionens graf skär y-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen a i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.
Koefficienten C får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras ax med 0 blir ju produkten 0 oavsett potensens värde.
Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av C och a.
På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11,5% varje år.
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C⋅ax.
Funktionen N(t)=1200⋅2t, beskriver antalet bakterier i en kultur efter t minuter.
I en exponentialfunktion y=C⋅ax är koefficienten C startvärdet.
Följande applet visar olika exponentialfunktioner. Hitta den efterfrågade informationen.
Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.
Lösningen till ekvationen 1,5x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.
Rita graferna för funktionerna y=2,5 och y=4x. Leta efter x-koordinaten för skärningspunkten.
Vi ser att de skär i x≈0,66, som är lösningen till ekvationen. Vi kan kontrollera svaret genom att slå in 40,66 på räknaren, vilket ger ca 2,5198.
Beräkna f(5) för följande funktioner. Svara exakt.
Vi beräknar f(5) genom att ersätta x med 5 i funktionsuttrycket. Kom ihåg att potenser beräknas före multiplikation enligt prioriteringsreglerna.
På samma sätt som i förra deluppgiften ersätter vi x med 5 i funktionsuttrycket.
Vi får alltså f(5) = 4sqrt(5).
Vi ersätter x med 5 i funktionsuttrycket och förenklar.
Ekvationen f(2)=2 innebär att f(x)= 2 när x = 2. Vi sätter in värdena i potensfunktionen och löser ut C.
Konstanten C har alltså värdet 0.25.
I den förra deluppgiften beräknade vi konstanten C, så nu vet vi att potensfunktionen kan skrivas
f(x) = 0.25x^3.
Nu sätter vi in x=3 i denna och beräknar funktionsvärdet.
Svaret är alltså att f(x) blir 6.75 när x är 3.
Graferna till fyra exponentialfunktioner är inritade.
Identifiera vilken av graferna A, B, C och D som hör till funktionen.
y = 400 * 0.8^x
skär y-axeln vid startvärdet y = 400, och är avtagande eftersom förändringsfaktorn 0.8 är mindre än 1. Grafen till denna exponentialfunktion måste därför vara graf C.
Exponentialfunktionen
y = 200 * 0.7^x
skär y-axeln vid y = 200 och är också avtagande eftersom förändringsfaktorn 0.7 är mindre än 1. Graf till denna exponentialfunktion måste vara D.
y = 400 * 1.1^x
skär y-axeln vid y = 400 och är växande eftersom förändringsfaktorn 1.1 är större än 1, vilket är graf B.
En exponentialfunktion kan allmänt skrivas på formen y = C * a^x, där C anger funktionsvärdet när x = 0, dvs. år 2016. Vi vet att C = 20 000, vilket innebär att beloppet du investerade var 20 000 kr.
En exponentialfunktion f(x) kan allmänt skrivas
f(x)=C* a^x,
där a anger exponentialfunktionens förändringsfaktor. I vår modell är a= 1.02 vilket innebär att investeringen förväntas att öka med 2 % per år.
Alla funktioner utgår ifrån en procentuell värdeminskning, dvs. det är exponentialfunktioner. En exponentialfunktion skrivs på formen
y=C* a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. I vårt exempel står x för antal år efter det att datorn köptes. Vi analyserar de olika funktionerna var för sig.
Denna funktion har en orimlig förändringsfaktor. Förändringsfaktorn 1.08 innebär en ökning med 8 % per år. Eftersom datorn kommer att slitas och bli omodern är det inte rimligt att den skulle öka i värde.
Funktionen g(x) har en rimlig förändringsfaktor på 0.8. Den minskar alltså med 20% per år. Den har däremot ett orimligt lågt inköpspris. En ny dator brukar inte kosta endast 49 kr!
h(x) är den funktion som har både ett rimligt startvärde (alltså inköpspris) på 4999 kr och en rimlig förändringsfaktor på 0.81 som innebär en värdeminskning på 19 % per år. Därför måste denna vara det korrekta svaret.
I deluppgift A kom vi fram till att den rimliga modellen är h(x). Värdet på datorn efter 3 år beräknar vi genom att sätta in x=3 i h(x).
Värdet efter 3 år är alltså 2657 kr.
För att bestämma värdeminskningen per år kan vi använda oss av förändringsfaktorn. Den allmänna formen för en exponentialfunktion är y=C* a^x, där x är variabeln, C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. För y=10 000* 0.8^x är förändringsfaktorn alltså 0.8. Det betyder att mopedens värde ett specifikt år kommer att vara 80 % av värdet året innan. Om den behåller 80 % av värdet måste 100 % - 80 % = 20 % av värdet ha försvunnit, vilket innebär att värdet alltså minskar med 20 % per år.