Funktioner

Vilka värden kan y=3x^2 anta? Oavsett om man sätter in en positivt eller negativt x kommer kvadraten av det aldrig att bli negativ. T.ex. ger x=-2 funktionsvärdet y = 3* (-2)^2=3 * 4=12. Det minsta värdet för y=3x^2 får vi när x=0: y=3 * 0^2=0. Finns det någon övre gräns? Nej, ju större x man sätter in, desto större blir funktionen. Värdemängden är alltså y≥0.

Kontroll med räknare

Vi börjar med att trycka på knappen Y= och skriver in funktionen y=3x^2.

Funktionen ritar vi ut genom att trycka på GRAPH. Om vi behöver ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan trycker vi på WINDOW, där finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Här ser vi att funktionen aldrig antar ett y-värde som är lägre än 0, och kan därför konstatera att värdemängden y≥0 är korrekt.

För y=- x^2+1 gäller, på liknande sätt som i förra deluppgiften, att första termen alltid kommer att bli negativ. Detta eftersom x^2 alltid blir positivt, och minustecknet framför gör det negativt. Detta ser vi om vi testar med x=-2: - (-2)^2=- 4. Ju större x vi sätter in, desto mindre blir funktionsvärdet. Minsta värdet kan bli hur litet som helst. För att maximera funktionen sätter vi in x=0. Ettan gör att största värdet blir y= - 0^2+1=1. Detta ger oss värdemängden y≤ 1.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar genom att rita grafen på samma sätt som i tidigare deluppgift. Vi matar in funktionen y=- x^2+1 och trycker sedan på GRAPH.

Vi ser att värdemängden y≤ 1 är korrekt eftersom funktionen inte antar något y-värde som är större än 1.

sqrt(x) blir mindre, ju mindre x man sätter in. 2 är en konstant som vi inte kan ändra. Så om vi hittar det minsta x-värdet, kommer det också, i det här fallet, att ge det minsta funktionsvärdet. Så vilket x är det minsta man kan sätta in? Vi kan inte ta kvadratroten ur negativa tal, så 0 är minst.

2 är alltså det minsta funktionsvärdet som kan antas. Ju större x man stoppar in desto större blir sqrt(x). Det finns alltså ingen övre gräns på funktionen. Värdemängden är därför y ≥ 2.

Kontroll med räknare

Vi ritar grafen på räknare, på samma sätt som innan, för att kontrollera vår lösning.

Vi ser att grafen börjar på y-värdet 2 och sedan ökar, så vår angivna värdemängd är korrekt.

Definitionsmängden är de x man kan sätta in i funktionen. Vi tittar på en term i taget och börjar med den första, sqrt(x). Man kan inte dra roten ur negativa tal så sqrt(x) är odefinierad för x < 0, dvs. för negativa x. Man kan se ett mönster genom att ställa upp en värdetabell.

Definitionsmängden för den första termen är alltså de tillåtna x-värdena x ≥ 0. I den andra termen kan man inte sätta in några positiva x, men däremot negativa.

Sammanfattningsvis betyder detta att man endast kan sätta in x som uppfyller x≥0 i den första termen och i den andra får man enbart sätta in x≤ 0. Det finns bara ett x som uppfyller båda, nämligen x=0, och det är detta som är funktionens definitionsmängd.

Vi börjar med att ta fram ett uttryck för den första termen i täljaren. f(x+0,01) betyder att vi ersätter x med x+0,01 i funktionsuttrycket dvs. f(x)=2-6x ⇒ f( x+0,01)=2-6( x+0,01). Nu förenklar vi detta.

Nu vet vi vad f(x+0,01) är. Vi sätter även in f(x).

Kvoten är lika med -6.

Den totala kostnaden är kostnaden för kortet, 200kr, plus den sammanlagda träningsavgiften. Tränar du 3 gånger betalar du 150 * 3+200kr. Tränar du x gånger blir kostnaden f(x) = 150x + 200.

Definitionsmängden är de x-värden man kan sätta in i funktionen. Du kan som minst träna 0 gånger, men det finns ingen övre gräns för antal träningspass. Alltså vet vi att x ≥ 0. Men vi måste även ta hänsyn till att du inte kan träna t.ex. halva gånger. Vi får alltså inte sätta in x=2,5 i funktionen utan vi måste hålla oss till heltal. Därför blir definitionsmängden x ≥ 0där x är ett heltal.

Om 1 500 tillhör värdemängden måste det finnas minst ett x i definitionsmängden som ger funktionsvärdet 1 500. Vi undersöker vilket x som ger funktionsvärdet 1 500 genom att lösa ekvationen f(x)=1 500.

x blir ett decimaltal, vilket är orimligt eftersom du måste träna hela gånger. Det inte finns alltså inget sätt för kostnaden att bli 1 500kr, vilket innebär att 1 500 inte tillhör värdemängden. Detta kan vi också visa genom att rita ut den diskreta funktionen i ett koordinatsystem. Som vi ser blir funktionsvärdet aldrig 1 500.

Vi undersöker om funktionerna är inversa genom att sätta in den ena i den andra. Vi tar fram ett uttryck för f(g(x)). Om det är x, är funktionerna inversa. f(g(x)) betyder att man ersätter x med g(x) i f(x): f( g(x))=2 g(x)+5. Nu kan vi förenkla.

Vi får alltså x, vilket betyder att f(x) och g(x) är inversa.

Vi gör på samma sätt och sätter in g(x) i f(x): f( g(x))=g(x)/g(x)-2. Nu förenklar vi detta.

Vi får inte x vilket betyder att f(x) och g(x) inte är inversa.

Med ett tals kvadratrot har man bestämt att man alltid menar den positiva kvadratroten: sqrt(4)=2 och inte sqrt(4)=-2. Anledningen till detta var att man ville skapa funktionen y=sqrt(x). I funktioner får varje x-värde, t.ex. 4, endast ge ett y-värde. Man har då valt att bara ange det positiva värdet 2, inte 2 och -2 eftersom detta är två olika y-värden för samma x.

Hur kommer det sig då att ekvationen x^2 = 4 har lösningen x = ± sqrt(4), eller x = ± 2? För lösningen till en ekvation är det eller de värden som gör att likheten stämmer, och både x=2 och x=-2 uppfyller detta. Så vid ekvationslösning väljer man att lägga till tecknet ± framför kvadratroten, så att man inte missar en lösning.