Funktioner

Definitionsmängden är de x man kan sätta in i funktionen. Vi tittar på en term i taget och börjar med den första, sqrt(x). Man kan inte dra roten ur negativa tal så sqrt(x) är odefinierad för x < 0, dvs. för negativa x. Man kan se ett mönster genom att ställa upp en värdetabell.

Definitionsmängden för den första termen är alltså de tillåtna x-värdena x ≥ 0. I den andra termen kan man inte sätta in några positiva x, men däremot negativa.

Sammanfattningsvis betyder detta att man endast kan sätta in x som uppfyller x≥0 i den första termen och i den andra får man enbart sätta in x≤ 0. Det finns bara ett x som uppfyller båda, nämligen x=0, och det är detta som är funktionens definitionsmängd.

Vi börjar med att ta fram ett uttryck för den första termen i täljaren. f(x+0,01) betyder att vi ersätter x med x+0,01 i funktionsuttrycket dvs. f(x)=2-6x ⇒ f( x+0,01)=2-6( x+0,01). Nu förenklar vi detta.

Nu vet vi vad f(x+0,01) är. Vi sätter även in f(x).

Kvoten är lika med -6.

Den totala kostnaden är kostnaden för kortet, 200kr, plus den sammanlagda träningsavgiften. Tränar du 3 gånger betalar du 150 * 3+200kr. Tränar du x gånger blir kostnaden f(x) = 150x + 200.

Definitionsmängden är de x-värden man kan sätta in i funktionen. Du kan som minst träna 0 gånger, men det finns ingen övre gräns för antal träningspass. Alltså vet vi att x ≥ 0. Men vi måste även ta hänsyn till att du inte kan träna t.ex. halva gånger. Vi får alltså inte sätta in x=2,5 i funktionen utan vi måste hålla oss till heltal. Därför blir definitionsmängden x ≥ 0där x är ett heltal.

Om 1 500 tillhör värdemängden måste det finnas minst ett x i definitionsmängden som ger funktionsvärdet 1 500. Vi undersöker vilket x som ger funktionsvärdet 1 500 genom att lösa ekvationen f(x)=1 500.

x blir ett decimaltal, vilket är orimligt eftersom du måste träna hela gånger. Det inte finns alltså inget sätt för kostnaden att bli 1 500kr, vilket innebär att 1 500 inte tillhör värdemängden. Detta kan vi också visa genom att rita ut den diskreta funktionen i ett koordinatsystem. Som vi ser blir funktionsvärdet aldrig 1 500.

Vi undersöker om funktionerna är inversa genom att sätta in den ena i den andra. Vi tar fram ett uttryck för f(g(x)). Om det är x, är funktionerna inversa. f(g(x)) betyder att man ersätter x med g(x) i f(x): f( g(x))=2 g(x)+5. Nu kan vi förenkla.

Vi får alltså x, vilket betyder att f(x) och g(x) är inversa.

Vi gör på samma sätt och sätter in g(x) i f(x): f( g(x))=g(x)/g(x)-2. Nu förenklar vi detta.

Vi får inte x vilket betyder att f(x) och g(x) inte är inversa.

Med ett tals kvadratrot har man bestämt att man alltid menar den positiva kvadratroten: sqrt(4)=2 och inte sqrt(4)=-2. Anledningen till detta var att man ville skapa funktionen y=sqrt(x). I funktioner får varje x-värde, t.ex. 4, endast ge ett y-värde. Man har då valt att bara ange det positiva värdet 2, inte 2 och -2 eftersom detta är två olika y-värden för samma x.

Hur kommer det sig då att ekvationen x^2 = 4 har lösningen x = ± sqrt(4), eller x = ± 2? För lösningen till en ekvation är det eller de värden som gör att likheten stämmer, och både x=2 och x=-2 uppfyller detta. Så vid ekvationslösning väljer man att lägga till tecknet ± framför kvadratroten, så att man inte missar en lösning.