body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktion
Definitionsmängd
Värdemängd
Funktionsvärde
Rita grafer på räknare
Nollställe

Teori

Funktion

En funktion är en regel som tar ett inputvärde och kopplar det till exakt ett outputvärde. Inputvärdet betecknas vanligtvis med

x

medan outputvärdet betecknas med

y .

I detta fall sägs det att

y

är en funktion av

x

eller att

y

beror på

x .

Betrakta till exempel följande funktion.

y = regel x + 3

Regeln här är att addera

3

till varje input. Om input är

x = 2,

är output

y = 2 + 3 = 5 .

Funktioner brukar vanligtvis kallas

f,

g,

och

h,

men vilken bokstav som helst kan användas.

f(x)=y. Bokstaven f är funktionsnamnet. Bokstaven x är indata. Bokstaven y är utdata.

Det tidigare uttrycket läses som $f$ av $x$ är lika med $y .$ Detta sätt att skriva en funktion kallas funktionsnotation. En funktion kan representeras med hjälp av en ekvation, en tabell, eller en graf.

Representationer av en funktion (Ekvation, tabell, graf)

Teori

Oberoende och beroende variabel

Variabeln

x

är ofta en oberoende variabel och

y

är beroende variabel. I en funktion som

y = x^{6} + 4 x - 4^{x}

är utvärdet,

y,

en beroende variabel eftersom det beror på invärdet,

x .

Invärdet är oberoende eftersom den inte beror på

y .

En tumregel för att skilja på begreppen är att den oberoende variabeln oftast kommer före i tid. Om funktionen

y = 24 x

beskriver kostnaden för

x

kg clementiner är

x

den oberoende variabeln eftersom man först tar så mycket clementiner man ska ha och sedan betalar för det. Kostnaden beror alltså på vikten och inte tvärtom.

Teori

Definitionsmängd

Definitionsmängden, $D_{f},$ är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion $f .$ Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. $- 1$ eller $\frac{2}{0} .$
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för $x$ äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad $- 5$ äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall.

Det gäller exempelvis för funktionen

f (x) = x

som har definitionsmängden

x \geq 0

eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{4 x}{x - 1} .

Skriv svaret som en olikhet.

Ledtråd

Är rationella funktioner definierade när deras nämnare är lika med noll?

Lösning

Definitionsmängden är alla

x

man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med

0

är funktionen definierad för alla

x

utom det som gör att

x - 1

blir

0 .

Eftersom

x - 1 = 0

för

x = 1

betyder det att funktionen är definierad för alla

x

utom

1,

vilket skrivs

D_{f} : x \neq = 1 .

Teori

Värdemängd

Värdemängden,

V_{f},

är alla

y -

värden som kan skapas av en funktion

f .

Vissa funktioner, t.ex.

y = 2 x,

kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen

y = x^{2}

värdemängden

y \geq 0

eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestäm värdemängden för funktionen

y = x^{2} - 7 .

Skriv svaret som en olikhet.

Ledtråd

Vilket är det minsta värde som $x^{2}$ kan anta när $x$ är ett reellt tal?

Lösning

Värdemängden är de

y -

värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan

x^{2}

minst bli

0 .

Det leder till att det minsta värde som

y = x^{2} - 7

kan anta är

y = 0 - 7 = - 7 .

En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så

y

kan bli hur stort som helst. Det betyder att

V_{f} : y \geq - 7 .

Exempel

Bestäm definitions- och värdemängd grafiskt

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen $f (x)$ grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Ledtråd

Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion $f .$ Värdemängden är alla $y -$ värden som kan skapas av en funktion $f .$

Lösning

Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.

Grafen till funktionen börjar där $x$ är $- 2,$ så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med $- 2 .$ Det skrivs $x \geq - 2 .$

På samma sätt kan vi se att det minsta

y -

värdet är

0,

så värdemängden är alla tal större än eller lika med

0 .

Vi sammanfattar:

D_{f} : x \geq - 2 och V_{f} : y \geq 0 .

Teori

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet ( $y -$ värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett $x -$ värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på $y -$ axeln.

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nedan syns grafen till funktionen $g (x) = 2 x - 5 .$

Bestäm

g (4)

och

g (300) .

Ledtråd

Ersätt $4$ och $300$ för $x$ i funktionsregeln och förenkla.

Lösning

För att bestämma $g (4)$ utgår vi från $x = 4$ på $x$ -axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på $y$ -axeln.

Funktionsvärdet är

3

när

x = 4,

så

g (4) = 3 .

Grafen är enbart uppritad för relativt små

x

så vi kan inte bestämma

g (300)

grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in

x = 300

i funktionsuttrycket.

g (x) = 2 x - 5

Substitute

$x = 300$

g (300) = 2 \cdot 300 - 5

Multiply

Multiplicera faktorer

g (300) = 600 - 5

SubTerm

Subtrahera term

g (300) = 595

De två funktionsvärdena är alltså $g (4) = 3$ och $g (300) = 595 .$

Teori

Rita grafer på räknare

Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.

Ange funktionsregeln

Tryck först på knappen $Y =$ och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. Använd knappen X, T, $θ,$ n för att skriva $x .$ Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på $(-)$ och inte $- .$

Rita grafen

För att rita upp grafen trycker man på $GRAPH .$ Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Utforska grafen

Genom att trycka på $TRACE$ kan man läsa av $x -$ och $y -$ värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

Man kan också själv sätta in ett $x -$ värde och låta räknaren beräkna $y -$ värdet genom att trycka på $2 ND$ och $TRACE$ och välja value.

Nu kan man välja vilket $x -$ värde man är intresserad av.

Trycker man på $ENTER$ visas funktionens $y -$ värde för detta $x -$ värde och markören ställer sig även där.

Extra

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret $Y =$ och skriver in dem på nya rader. Byt rad med $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.

Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer endast $Y_{1}$ och $Y_{3}$ att ritas upp i koordinatsystemet.

För att välja tillbaka $Y_{2}$ trycker man på likhetstecknet en gång till.

Exempel

Hitta skärningspunkten med en räknare

Använd en grafräknare för att hitta skärningspunkten för följande funktioner.

f (x) g (x) = 0, 25 x^{2} - 10 = x - 3

Avrunda svaret till två decimaler.

Ledtråd

Använd funktionen intersect på en grafräknare.

Lösning

Börja med att skriva in båda givna funktionerna i räknaren. Tryck på $Y =$ och mata in båda funktionerna. I detta fall låt $f (x)$ vara $Y_{1}$ och $g (x)$ vara $Y_{2} .$

Tryck sedan på $GRAPH$ för att rita graferna för båda funktionerna.

För att hitta skärningspunkten, tryck på $2 ND$ och $CALC$ och välj det femte alternativet, intersect. Välj sedan den första och andra kurvan. Eftersom rotfunktionen börjar vid $x = 3,$ kan det vara nödvändigt att flytta markören åt höger för att välja den. Slutligen, uppskatta skärningspunkten nära $x = 7,$ och tryck på enter.

Detta innebär att funktionerna skär varandra ungefär vid punkten $(6, 92; 1, 98) .$

Teori

Nollställe

En funktions nollställen anger de

x -

värden som gör att funktionsvärdet blir

0 .

Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med

0

och löser ekvationen.

f (x) = 0

Grafiskt motsvarar det de

x

-värden där grafen skär

x -

axeln, eftersom

y

är

0

längs hela

x -

axeln. Exempelvis har funktionen

y = x^{2} - 4

två nollställen eftersom dess graf skär

x -

axeln två gånger.

Exempel

Bestäm nollställen algebraiskt

Vilka nollställen har funktionen

y = x^{2} - 4 ?

Ledtråd

Sätt $y = 0$ och lös den resulterande andragradsekvationen.

Lösning

Nollställen är de

x -

värden där

y

är lika med

0 .

Det betyder att vi sätter

y = 0

och löser ekvationen.

y = x^{2} - 4

Substitute

$y = 0$

0 = x^{2} - 4

▼

Lös ut

x

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

4 = x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x^{2} = 4

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 4

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 2

Funktionen har alltså två nollställen:

x = - 2

och

x = 2

, eller om man skriver ihop dem:

x = \pm 2 .

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Extra

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning