Nyheter
Premium
Mitt konto
Mitt konto Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
2. Funktioner
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 6
2. 

Funktioner

Funktioner är en central del av matematiken och används för att beskriva samband mellan variabler. En funktion kan ses som en maskin som tar in ett värde och ger ut ett annat. Det inmatade värdet kallas för argumentet och det utmatade värdet kallas för funktionsvärdet. Funktioner kan representeras på olika sätt, till exempel genom formler, tabeller eller grafer. Att förstå funktioner och hur man arbetar med dem är en viktig del av matematikundervisningen. Detta inkluderar att kunna rita grafer, läsa av värden och förstå hur olika funktioner påverkar varandra.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
14 sidor teori
36 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Funktioner
Sida av 14
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Funktion
  • Definitionsmängd
  • Värdemängd
  • Funktionsvärde
  • Rita grafer på räknare
  • Nollställe

Förkunskaper
Teori

Funktion

En funktion är en regel som tar ett inputvärde och kopplar det till exakt ett outputvärde. Inputvärdet betecknas vanligtvis med x medan outputvärdet betecknas med y. I detta fall sägs det att y är en funktion av x eller att y beror på x. Betrakta till exempel följande funktion. y = x+3_(regel) Regeln här är att addera 3 till varje input. Om input är x=2, är output y=2+3=5. Funktioner brukar vanligtvis kallas f, g, och h, men vilken bokstav som helst kan användas.

f(x)=y. Bokstaven f är funktionsnamnet. Bokstaven x är indata. Bokstaven y är utdata.

Det tidigare uttrycket läses som f av x är lika med y. Detta sätt att skriva en funktion kallas funktionsnotation. En funktion kan representeras med hjälp av en ekvation, en tabell, eller en graf.

Representationer av en funktion (Ekvation, tabell, graf)
Teori

Oberoende och beroende variabel

Variabeln x är ofta en oberoende variabel och y är beroende variabel. I en funktion som y=x^6+4x-4^x är utvärdet, y, en beroende variabel eftersom det beror på invärdet, x. Invärdet är oberoende eftersom den inte beror på y. En tumregel för att skilja på begreppen är att den oberoende variabeln oftast kommer före i tid. Om funktionen y=24x

beskriver kostnaden för x kg clementiner är x den oberoende variabeln eftersom man först tar så mycket clementiner man ska ha och sedan betalar för det. Kostnaden beror alltså på vikten och inte tvärtom.
Teori

Definitionsmängd

Definitionsmängden, D_f, är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. sqrt(-1) eller 20.
  • Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för x äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall.
Det gäller exempelvis för funktionen f(x)=sqrt(x) som har definitionsmängden x ≥ 0 eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.
Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=4x/x-1. Skriv svaret som en olikhet.

Ledtråd

Är rationella funktioner definierade när deras nämnare är lika med noll?

Lösning

Definitionsmängden är alla x man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0 är funktionen definierad för alla x utom det som gör att x-1 blir 0. Eftersom x-1=0 för x=1 betyder det att funktionen är definierad för alla x utom 1, vilket skrivs D_f: x≠ 1.

Teori

Värdemängd

Värdemängden, V_f, är alla y-värden som kan skapas av en funktion f.
Vissa funktioner, t.ex. y=2x, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen y = x^2 värdemängden y ≥ 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestäm värdemängden för funktionen y=x^2-7. Skriv svaret som en olikhet.

Ledtråd

Vilket är det minsta värde som x^2 kan anta när x är ett reellt tal?

Lösning

Värdemängden är de y-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan x^2 minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som y=x^2-7 kan anta är y=0-7=-7. En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så y kan bli hur stort som helst. Det betyder att V_f: y≥ -7.

Exempel

Bestäm definitions- och värdemängd grafiskt

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen f(x) grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Ledtråd

Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion f. Värdemängden är alla y-värden som kan skapas av en funktion f.

Lösning

Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.

Grafen till funktionen börjar där x är -2, så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med -2. Det skrivs x≥-2.

På samma sätt kan vi se att det minsta y-värdet är 0, så värdemängden är alla tal större än eller lika med 0. Vi sammanfattar: D_f: x≥-2 och V_f: y≥0.

Teori

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (y-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett x-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på y-axeln.

line and movable point
Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x-5.

Bestäm g(4) och g(300).

Ledtråd

Ersätt 4 och 300 för x i funktionsregeln och förenkla.

Lösning

För att bestämma g(4) utgår vi från x=4 på x-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.

Funktionsvärdet är 3 när x=4, så g(4)=3. Grafen är enbart uppritad för relativt små x så vi kan inte bestämma g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300 i funktionsuttrycket.

g(x)=2x-5
Substitute

x= 300

g( 300)=2* 300-5
Multiply

Multiplicera faktorer

g(300)=600-5
SubTerm

Subtrahera term

g(300)=595

De två funktionsvärdena är alltså g(4)=3 och g(300)=595.

Teori

Rita grafer på räknare

Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.

1
Ange funktionsregeln
expand_more

Tryck först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. Använd knappen X,T,θ,n för att skriva x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-) och inte -.

Fönster med funktioner
2
Rita grafen
expand_more

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf
3
Utforska grafen
expand_more

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av x- och y-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

funktionsfönster på räknare

Man kan också själv sätta in ett x-värde och låta räknaren beräkna y-värdet genom att trycka på 2ND och TRACE och välja value.

meny på räknare

Nu kan man välja vilket x-värde man är intresserad av.

graffönster på räknare

Trycker man på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig även där.

Extra

 Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret Y= och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.

Fönster med en graf

Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

fönster med funktioner

Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y_1 och Y_3 att ritas upp i koordinatsystemet.

Fönster med en graf

För att välja tillbaka Y_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.

Exempel

Hitta skärningspunkten med en räknare

Använd en grafräknare för att hitta skärningspunkten för följande funktioner. f(x) &= 0,25x^2-10 g(x) &= sqrt(x-3) Avrunda svaret till två decimaler.

Ledtråd

Använd funktionen intersect på en grafräknare.

Lösning

Börja med att skriva in båda givna funktionerna i räknaren. Tryck på Y= och mata in båda funktionerna. I detta fall låt f(x) vara Y_1 och g(x) vara Y_2.

Tryck sedan på GRAPH för att rita graferna för båda funktionerna.

För att hitta skärningspunkten, tryck på 2ND och CALC och välj det femte alternativet, intersect. Välj sedan den första och andra kurvan. Eftersom rotfunktionen börjar vid x=3, kan det vara nödvändigt att flytta markören åt höger för att välja den. Slutligen, uppskatta skärningspunkten nära x=7, och tryck på enter.

Detta innebär att funktionerna skär varandra ungefär vid punkten (6,92;1,98).

Teori

Nollställe

En funktions nollställen anger de x-värden som gör att funktionsvärdet blir 0. Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med 0 och löser ekvationen. f(x)=0 Grafiskt motsvarar det de x-värden där grafen skär x-axeln, eftersom y är 0 längs hela x-axeln. Exempelvis har funktionen y=x^2-4 två nollställen eftersom dess graf skär x-axeln två gånger.

Exempel

Bestäm nollställen algebraiskt

Vilka nollställen har funktionen y=x^2-4?

Ledtråd

Sätt y=0 och lös den resulterande andragradsekvationen.

Lösning
Nollställen är de x-värden där y är lika med 0. Det betyder att vi sätter y=0 och löser ekvationen.
y=x^2-4
Substitute

y= 0

0=x^2-4
▼
Lös ut x
AddEqn

VL+4=HL+4

4=x^2
RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x^2=4
SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x=±sqrt(4)
CalcRoot

Beräkna rot

x=±2
Funktionen har alltså två nollställen: x=-2 och x=2, eller om man skriver ihop dem: x=±2.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Funktioner
Uppgift 4.1

Vi har tre funktioner:

  • f(x)=6x+24
  • g(x)=5x-m
  • h(x)=6x+2
Bestäm m om man vet att g(h(x))=f(g(x)).

Vi tar fram uttryck för vänster- och högerled var för sig.

g(h(x))

Uttrycket g(h(x)) betyder att man ersätter x med h(x) i funktionen g(x): g( h(x))=5 h(x)- m. Nu förenklar vi detta.

Nu har vi ett uttryck för ekvationens vänsterled.

f(g(x))

Detta uttryck betyder att vi sätter in g(x) istället för x i funktionen f(x): f( g(x))=6 g(x)+24. Nu förenklar vi.

g(h(x))=f(g(x))

Nu använder vi uttrycken vi fått fram och löser ut m.

m är lika med 145 som är 2,8.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Avgör om f(x)=sqrt(1+x)-1 och g(x)=x^2+2x är så kallade inversa funktioner, dvs. om någon av följande likheter gäller: f(g(x))&=x g(f(x))&=x Egentligen finns det fler villkor för att två funktioner ska vara inversa, men vi behöver inte ta hänsyn till dem här.

Vi undersöker om funktionerna är inversa genom att sätta in den ena funktionen i den andra. Vi provar att ta fram ett uttryck för f(g(x)). Om förenklingen blir x är funktionerna inversa. f(g(x)) betyder att man ersätter x med g(x) i funktionen f(x), som nedan: f( g(x))=sqrt(1+ g(x))-1. Vi sätter in funktionsuttrycket för g(x).

Den här är inte så lätt att förenkla. Man kanske kan förenkla det till x men det är svårt. Istället kan vi titta på g(f(x)) och undersöka om det är lättare att förenkla: g( f(x))= f(x)^2+2 * f(x). Nu testar vi att förenkla detta.

Den första termen kan tyckas svår att förenkla. Men om vi kommer ihåg att a^2=a* a är det inte svårare än att multiplicera parenteser. Alla termer i den första parentesen multipliceras med alla termer i den andra. Vi gör denna beräkning separat.

Vi fortsätter förenklingen med det nya uttrycket.

Vi får x så funktionerna är inversa.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Du har funktionen f(x)=ax+b där a och b är reella tal. Bestäm f(x) om du vet att f(f(f(x)))=8x+21.

Vi börjar med uttrycket f(f(x)). Detta innebär att man sätter in f(x) istället för x: f( f(x))=a* f(x)+b.

Vi förenklar detta.


Nu sätter vi in detta i f(x) och får då f(f(f(x))): f( f(f(x)))=a* f(f(x))+b.

Vi förenklar igen.


Detta ska vara lika med 8x+21. För att de ska vara lika måste x-koefficienten och konstanttermen vara samma på båda sidor: a^3x+ a^2b+ab+b= 8x+ 21.

Vi börjar med att bestämma a.


a är alltså 2. Nu bestämmer vi b genom att likställa konstanttermerna.


Nu har vi både värdet på både a och b. Det ger funktionen f(x)=2x+3.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y