Funktioner i Matte: Utforska och Lär dig mer

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas

x

(oberoende variabel) medan utvärdet brukar kallas

y

eller

f (x)

(beroende variabel).

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet

y

bildas alltså genom att addera 3 till invärdet

x .

För att en regel ska få kallas en funktion får varje

x

som mest ge ett

y

-värde. Däremot får samma

y

-värde återkomma för flera olika

x .

Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, $D_{f},$ är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion $f .$ Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. $- 1$ eller $\frac{2}{0} .$
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för $x$ äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad $- 5$ äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen

f (x) = x

som har definitionsmängden

x \geq 0

eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Vad är funktionens definitionsmängd?

fullscreen

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{4 x}{x - 1} .

Visa Lösning

Definitionsmängden är alla

x

man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med

0

är funktionen definierad för alla

x

utom det som gör att

x - 1

blir

0 .

Eftersom

x - 1 = 0

för

x = 1

betyder det att funktionen är definierad för alla

x

utom

1,

vilket skrivs

D_{f} : x \neq = 1 .

Begrepp

Värdemängd

Värdemängden,

V_{f},

är alla

y

-värden som kan skapas av en funktion

f .

Vissa funktioner, t.ex.

y = 2 x

, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen

y = x^{2}

värdemängden

y \geq 0

eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Vad är funktionens värdemängd?

fullscreen

Bestäm värdemängden för funktionen

y = x^{2} - 7 .

Visa Lösning

Värdemängden är de

y

-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan

x^{2}

minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som

y = x^{2} - 7

kan anta är

y = 0 - 7 = - 7 .

En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så

y

kan bli hur stort som helst. Det betyder att

V_{f} : y \geq - 7 .

Bestäm definitions- och värdemängd grafiskt

fullscreen

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen $f (x)$ grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Visa Lösning

Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.

Grafen till funktionen börjar där $x$ är $- 2,$ så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med $- 2 .$ Det skrivs $x \geq - 2 .$

På samma sätt kan vi se att det minsta

y

-värdet är

0,

så värdemängden är alla tal större än eller lika med

0 .

Vi sammanfattar:

D_{f} : x \geq - 2 och V_{f} : y \geq 0 .

Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet ( $y$ -värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett $x$ -värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på $y$ -axeln.

Vad är funktionsvärdet?

fullscreen

Nedan syns grafen till funktionen $g (x) = 2 x - 5 .$ Bestäm $g (4)$ och $g (300) .$

Visa Lösning

För att bestämma $g (4)$ utgår vi från $x = 4$ på $x$ -axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på $y$ -axeln.

Funktionsvärdet är

3

när

x = 4,

så

g (4) = 3 .

Grafen är enbart uppritad för relativt små

x

så vi kan inte bestämma

g (300)

grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in

x = 300

i funktionsuttrycket.

g (x) = 2 x - 5

Substitute

$x = 300$

g (300) = 2 \cdot 300 - 5

Multiply

Multiplicera faktorer

g (300) = 600 - 5

SubTerm

Subtrahera term

g (300) = 595

De två funktionsvärdena är alltså $g (4) = 3$ och $g (300) = 595 .$

Digitala verktyg

Rita grafer med räknare

För att rita grafer på räknaren trycker man först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1}$ , $Y_{2}$ osv. Använd knappen X,T, $θ$ ,n för att skriva $x .$ Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på $(-)$ och inte $- .$

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av $x$ - och $y$ -värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

Man kan också själv sätta in ett $x$ -värde och låta räknaren beräkna $y$ -värdet genom att trycka på 2nd + TRACE och välja value.

Nu kan man välja vilket $x$ -värde man är intresserad av.

Trycker man på ENTER visas funktionens $y$ -värde för detta $x$ -värde och markören ställer sig även där.

Digitala verktyg

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret (Y=) och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp. Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer endast

Y_{1}

och

Y_{3}

att ritas upp i koordinatsystemet. För att välja tillbaka

Y_{2}

trycker man på likhetstecknet en gång till.

Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de $x$ -värden som gör att funktionsvärdet blir $0 .$ Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med $0$ och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de $x$ -värden där grafen skär $x$ -axeln, eftersom $y$ är $0$ längs hela $x$ -axeln. Exempelvis har funktionen $y = x^{2} - 4$ två nollställen eftersom dess graf skär $x$ -axeln två gånger.

Bestäm nollställen algebraiskt

fullscreen

Vilka nollställen har funktionen $y = x^{2} - 4 ?$

Visa Lösning

Nollställen är de $x$ -värden där $y$ är lika med 0. Det betyder att vi sätter $y = 0$ och löser ekvationen.

y = x^{2} - 4

Substitute

$y = 0$

0 = x^{2} - 4

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

4 = x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x^{2} = 4

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 4

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 2

Funktionen har alltså två nollställen: $x = - 2$ och $x = 2$ , eller om man skriver ihop dem: $x = \pm 2 .$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Exempel

Bestäm definitions- och värdemängd grafiskt

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Exempel

Bestäm nollställen algebraiskt