Funktioner

När man köper kaffe bestämmer man hur många koppar man vill ha och betalar därefter. Kaffekostnaden måste alltså vara beroende av antal koppar och inte tvärtom. Alltså är den beroende variabeln kaffekostnaden och den oberoende variabeln antal koppar.

En människas längd är beroende av ens ålder. Om ens ålder beror på längden så skulle väldigt långa personer vara jättegamla och korta personer väldigt unga. Detta stämmer ju inte. Man minskar snarare i längd efter en viss ålder. Så beroende variabel = längd och oberoende variabel = ålder.

Detta är inte helt självklart. Man brukar säga att efterfrågan styr priset. Vill få personer konsumera något sänks priset tills det blir tillräckligt attraktivt att börja konsumera igen. Men ett företag skulle lika gärna kunna höja eller sänka priset självmant vilket i sin tur styr efterfrågan. Exempelvis om flera företag bildar en kartell och tillsammans höjer priserna.

Definitionsmängden är de x-värden som funktionen kan anta. y=-4x tar ett x-värde och multiplicerar det med -4, vilket vi alltid kan göra med negativa och positiva tal, 0, osv. Funktionen är definierad för alla x, påståendet är alltså sant.

Enligt påståendet är funktionen endast definierad för positiva x. Får vi inte sätta in negativa x-värden? Jo, t.ex. y = 1/-4=-0,25, är ju möjligt. Så påståendet är alltså falskt: negativa x är tillåtna, och även positiva. Hur är det med x=0? Sätter vi in det får vi division med 0, vilket inte är tillåtet. Den korrekta definitionsmängden är x ≠ 0.

Värdemängden alla negativa y och 0 skulle betyda att vilket x-värde ur definitionsmängden vi än satte in, skulle funktionen alltid ge negativa y-värden eller 0. Men t.ex. är y=(-4)^2=16, dvs. ett vi får ett positivt y-värde vilket innebär att påståendet är falskt. Vad som helst i kvadrat alltid är positivt. y=0 kan vi få genom att sätta in x=0. Korrekt värdemängd är alltså y ≥ 0.

Funktionens värdemängd är alla y-värden som funktionen antar. Eftersom vi ser hela grafen kan vi läsa av det största och minsta y-värdet.

Det minsta värdet är -12, och det största 4. Båda värdena antas, så värdemängden är - 12 ≤ y ≤ 4.

Pontus veckolön får vi genom att multiplicera timlönen med antalet timmar han arbetat. Lönen är 80kr och han jobbar t timmar. Det ger funktionen p= 80t.

Det minsta Pontus kan jobba är 0 timmar. Enligt reglerna kan han inte heller jobba mer än 20 timmar. Det ger definitionsmängden 0≤ t ≤ 20.

Om Pontus inte jobbar något tjänar han ingenting. Det minsta värdet p kan anta är alltså 0. Den högsta lönen får han om man arbetar maximalt, dvs. 20 timmar. Vi beräknar lönen för det.

Funktionens värdemängd blir 0 ≤ p ≤ 1 600.

En ekvation kan ha en eller flera rötter som gör att det som står i vänster- och högerledet får samma värde. T.ex. har ekvationen 3x-9=0 roten x=3 eftersom båda led blir 0 när man satt in detta värde i ekvationen. En funktion däremot beskriver ett samband mellan två eller flera variabler. Funktionen f(x)=3x-9 kan anta olika värden beroende på vilket x man sätter in. I en funktion beror alltså f(x) på vilket x man sätter in, medan en ekvation kan ha ett eller flera bestämda x som löser ekvationen.

Ekvation betyder likhet. Det innebär att den måste innehålla ett likhetstecken, och att höger- och vänsterled måste vara lika stora. I en olikhet måste inte detta gälla, och därför använder vi olikhetstecken. T.ex. är 3 mindre än 4, vilket vi kan skriva som 3 < 4. Detta är ingen likhet eftersom leden inte är lika stora.

Ett exempel på ett algebraiskt uttryck är 4x^2+3x, och som vi kan se saknar det likhetstecken. I en funktion finns däremot ett likhetstecken som visar att det finns ett samband mellan variabler, t.ex. mellan y och x: y=4x^2+3x.

En funktion beskriver ett samband mellan variabler, och g(x)≤9x+7 är ett samband mellan g(x) och x. Men räcker det? Nej, vi vet också att en funktion endast får ge ett utvärde för varje invärde. Sätter vi in exempelvis x=0 i funktionen får vi g(0)≤ 9* 0+7 ⇔ g(0)≤ 7. g(0) är alltså alla tal mindre än eller lika med 7, exempelvis 6, 4, -5 osv. Invärdet x=0 ger alltså flera utvärden och därför är detta ingen funktion.

En funktion beskriver ett samband mellan två variabler. I A och B finns det bara en variabel så ingen av dem är funktioner. Vi går vidare och tittar på D: y< 3x+2. Det finns ett samband mellan x och y, men om man sätter in x=1 får vi svaret y< 5, dvs. alla y mindre än 5. Men det finns ju oändligt många tal som är mindre än 5, så för varje x kan y anta oändligt många värden. Detta utgör därför inte heller någon funktion. I C däremot, får man bara ut ett y-värde för varje x. Man säger att y beror av x. Alternativ E ser likadant ut, men istället för y står det f(x). Den enda skillnaden är att man kan se vilket x som har satts in, t.ex. f(1)=3*1+2 ⇔ f(1)=5. Alternativ C och E är alltså funktioner.

Om en punkt ligger på en graf ska vänster- och högerled bli lika stora när man sätter in punktens x- och y-koordinater och förenklar.

Punkten (- 3,7) ligger på linjen eftersom VL=HL när man sätter in punktens koordinater i funktionen.

Nu undersöker vi om (2,-2) ligger på linjen på samma sätt.

Punkten (2, - 2) ligger inte på linjen eftersom VL≠ HL när man sätter in punktens koordinater i funktionen. I koordinatsystemet nedan har vi markerat linjen och punkterna i ett koordinatsystem.

En kvot är inte definierad om nämnaren är 0. I g(x) är nämnaren, x+3, lika med 0 om x är lika med - 3. Man kan alltså sätta in vilket x som helt förutom - 3. Därför är definitionsmängden x≠ - 3.

Definitionsmängden till funktionen h(x) = 5sqrt(x) är de x-värden som vi kan dra kvadratroten ur. Vi kan bara dra kvadratroten ur tal som är lika med eller större än noll, dvs. inte ur negativa tal. Definitionsmängden är därför x ≥ 0.

Vi använder att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘). Vi får då ett samband mellan x och y som vi kan lösa ut y ur.

Funktionen vi söker är alltså y=145-x.

En funktions värdemängd anger vilka funktionsvärden (y-värden) funktionen kan anta. Vi undersöker den undre och övre gränsen var för sig.

Undre gräns

En vinkel i en triangel kan aldrig vara 0^(∘) eftersom det då inte längre är en triangel utan bara ett rakt streck. Vinkeln y måste alltså vara större än 0^(∘). y > 0

Övre gräns

Vinkeln y är så stor som möjligt när de andra vinklarna är så små som möjligt. Vinkeln 35^(∘) är fast och kan inte förändras, vilket betyder att det finns 180^(∘) - 35^(∘) = 145^(∘) över till x och y av triangelns vinkelsumma. Vinkeln x kan aldrig bli 0^(∘), eftersom vi då inte skulle ha någon triangel, så y kan aldrig riktigt komma upp till 145^(∘). Vi får alltså kravet y < 145 Tillsammans ger dessa två begränsningar funktionens värdemängd. 0 < y < 145

Vi ska skriva påståendet "Klockan09.00har istappen volymen21 cm^3." } med matematiska symboler, givet att funktionen V(t) anger istappens volym t min efter kl. 08.00. Det går 60 min mellan kl. 08.00 och 09.00, så vi kan sätta in t=60 i funktionen. Vi vet också att istappens volym är 21 cm^3 när denna timme passerat, så vi sätter funktionen lika med detta värde. Påståendet kan då uttryckas som V(60)=21

Vinsten beräknas som intäkter minus kostnader, så vi börjar med att beräkna klassens intäkter och kostnader. Den enda intäkten kommer från försäljningen av de 100 biljetterna, och eftersom varje biljett säljs för 50 kr blir intäkterna totalt 50*100=5000kr. Kostnaderna utgörs av lokalhyran på 500 kr och DJ:en som kostar 1 500 kr. Subtraherar vi kostnaderna från intäkterna får vi vinsten 5 000-500-1,500=3 000 kr.

Vi ska bestämma funktionen V(x), som beskriver hur vinsten beror på antalet sålda biljetter, x. Tidigare sa vi att vinsten=intäkter-kostnader. Detta kan vi använda även här, för att bestämma funktionsuttrycket. Intäkterna får vi genom att multiplicera antalet sålda biljetter, x, med biljettpriset, 50 kr: 50xkr. Kostnaderna är samma som i föregående deluppgift: 500+1 500=2 000 kr. Vinsten ges då av funktionen V(x)=50x-2 000.

Värdemängden anger vilka funktionsvärden funktionen kan anta givet dess definitionsmängd, dvs. de x-värden man kan sätta in i funktionen. Vi börjar med att bestämma definitionsmängden för V.

Definitionsmängd

I funktionen V representerar x-värdena antalet sålda biljetter. Vi har en lägre gräns på 0 st. i det fall då inga biljetter blir sålda. Dessutom vet vi från uppgiften att det kommer maximalt 200 betalande gäster. Detta innebär att funktionen V har definitionsmängden 0≤ x≤200. Nu bestämmer vi värdemängden genom att undersöka den minsta respektive högsta vinsten man kan få baserat på denna definitionsmängd.

Värdemängd

Eftersom vinsten V bara beror av antalet sålda biljetter x kommer vi hitta den lägsta vinsten, som också är värdemängdens nedre gräns, för det lägsta x-värdet i definitionsmängden. Vi sätter in x=0 i funktionen.

Värdemängdens nedre gräns är alltså -2 000. Den högsta möjliga vinsten, som motsvarar värdemängdens övre gräns, får vi när alla 200 biljetter sålts. Vi bestämmer denna gräns genom att sätta in x=200 i funktionen.

Sammanfattningsvis har funktionen V alltså värdemängden -2 000≤ V≤8 000.

Vi vet att kostnaden per kopia är 0,24 kr så för varje kopia man trycker ökar kostnaden med 0,24 kr. Funktionen som beskriver kostnaden är alltså en linjär funktion med lutningen k=0,24. Än så länge kan vi skriva funktionen som D=0,24x+m. Från uppgiftstexten vet vi även att Digitaltryckeriet har en startkostnad på 20 kr så oavsett hur många kopior man trycker upp behöver man betala 20 kr i fast avgift, dvs. när x=0 är y=20 vilket ger oss funktionen D=0,24x+20. Genom att sätta D=320 och lösa ut x bestämmer vi hur många kopior vi kan få för 320 kr på Digitaltryckeriet.

Man kan trycka 1 250 kopior för 320 kr på Digitaltryckeriet.

Från uppgiften vet vi att Tryckservice enbart tar betalt per kopia. Eftersom denna kostnad är 36 öre per kopia får vi funktionen T=0,36x Nu kan vi ta reda på hur många kopior man ska trycka för att kostnaden ska vara lika stor för tryckerierna. Det kan vi göra genom att likställa funktionerna och lösa ut x.

Funktionerna skär varandra när x ≈ 166,66. Men man kan ju endast trycka ett helt antal kopior så vid x=167 kommer en av funktionerna att överstiga den andra. Vi ritar dem.

Funktionen T är större än D efter skärningspunkten vilket innebär att kostnaden för att kopiera med Tryckservice AB är större än för Digitaltryckeriet när x är större än 167.

När radien ökar kommer cirkelns storlek öka, och då ökar även omkretsen. Detta betyder att när man går till höger på x-axeln så ska grafen stiga. Inte alla grafer gör det, så de kan uteslutas direkt.

Omkretsen ökar inte när radien ökar

I graf A är omkretsen lika stor oavsett vad radien är. Detta skulle exempelvis betyda att en cirkel där radien är 0 har en omkrets och detta kan ju inte stämma. Även graf B och graf D kan uteslutas. I graf B minskar omkretsen när r ökar och i D minskar grafen när man nått ett visst värde på r. Båda graferna går emot resonemanget ovan.

Omkretsen ökar när radien ökar

I både graf C och graf E ökar omkretsen när radien ökar. Men ökar omkretsen exponentiellt som i graf C, eller ökar den linjärt som i graf E? Vi använder formeln för en cirkels omkrets: O= 2π r. 2π är ungefär 6,28, vilket är ett konstant värde. Detta är då en formel av typen y = kx, vilket kallas för en proportionalitet eller ett linjärt samband. Sådana grafer är just linjer, och därför är graf E det rätta svaret.