Logga in
| 14 sidor teori |
| 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
y är en funktion av xeller att
y beror på x.Betrakta till exempel följande funktion.
Det tidigare uttrycket läses som f av x är lika med y.
Detta sätt att skriva en funktion kallas funktionsnotation. En funktion kan representeras med hjälp av en ekvation, en tabell, eller en graf.
Definitionsmängden, Df, är alla de tal som är tillåtna
att sätta in i en funktion f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.
Är rationella funktioner definierade när deras nämnare är lika med noll?
allafunktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda
vissafunktionsvärden. Exempelvis har funktionen y=x2 värdemängden y≥0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Vilket är det minsta värde som x2 kan anta när x är ett reellt tal?
Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen f(x) grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.
Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion f. Värdemängden är alla y-värden som kan skapas av en funktion f.
Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.
Grafen till funktionen börjar där x är −2, så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med −2. Det skrivs x≥−2.
Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x−5.
Ersätt 4 och 300 för x i funktionsregeln och förenkla.
För att bestämma g(4) utgår vi från x=4 på x-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.
x=300
Multiplicera faktorer
Subtrahera term
De två funktionsvärdena är alltså g(4)=3 och g(300)=595.
Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.
Tryck först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y1, Y2 osv. Använd knappen X,T,θ,n för att skriva x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-) och inte −.
För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Genom att trycka på TRACE kan man läsa av x- och y-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.
Man kan också själv sätta in ett x-värde och låta räknaren beräkna y-värdet genom att trycka på 2ND och TRACE och välja value.
Nu kan man välja vilket x-värde man är intresserad av.
Trycker man på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig även där.
Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret Y= och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.
Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y1 och Y3 att ritas upp i koordinatsystemet.
För att välja tillbaka Y2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Använd funktionen intersect
på en grafräknare.
Börja med att skriva in båda givna funktionerna i räknaren. Tryck på Y= och mata in båda funktionerna. I detta fall låt f(x) vara Y1 och g(x) vara Y2.
Tryck sedan på GRAPH för att rita graferna för båda funktionerna.
För att hitta skärningspunkten, tryck på 2ND och CALC och välj det femte alternativet, intersect
. Välj sedan den första och andra kurvan. Eftersom rotfunktionen börjar vid x=3, kan det vara nödvändigt att flytta markören åt höger för att välja den. Slutligen, uppskatta skärningspunkten nära x=7, och tryck på enter.
Detta innebär att funktionerna skär varandra ungefär vid punkten (6,92;1,98).
Sätt y=0 och lös den resulterande andragradsekvationen.
Figuren visar grafen till funktionen f(x).
f(-1,5) innebär att vi ska bestämma funktionsvärdet när x=-1,5. Vi utgår alltså från x=-1,5 på x-axeln och går mot grafen. När vi träffar grafen läser vi av det motsvarande y-värdet.
När x=-1,5 är funktionsvärdet ungefär 0,6, dvs. f(-1,5)≈ 0,6.
f(1) är funktionsvärdet när x=1. Om det är lika med 0 är x=1 en av funktionens nollställe, dvs. den skär x-axeln där. Vi undersöker om det är så.
När x=1 är funktionsvärdet 1. Så ja, f(1) är lika med 0.
Bestäm den beroende variabeln i följande situationer.
När man köper kaffe bestämmer man hur många koppar man vill ha och betalar därefter. Kaffekostnaden måste alltså vara beroende av antal koppar och inte tvärtom. Alltså är den beroende variabeln kaffekostnaden och den oberoende variabeln antal koppar.
En människas längd är beroende av ens ålder. Om ens ålder beror på längden så skulle väldigt långa personer vara jättegamla och korta personer väldigt unga. Detta stämmer ju inte. Man minskar snarare i längd efter en viss ålder. Så beroende variabel = längd och oberoende variabel = ålder.
Detta är inte helt självklart. Man brukar säga att efterfrågan styr priset. Vill få personer konsumera något sänks priset tills det blir tillräckligt attraktivt att börja konsumera igen. Men ett företag skulle lika gärna kunna höja eller sänka priset självmant vilket i sin tur styr efterfrågan. Exempelvis om flera företag bildar en kartell och tillsammans höjer priserna.
Avgör om påståendet är sant eller falskt.
Alla x.
Definitionsmängden är de x-värden som funktionen kan anta. y=-4x tar ett x-värde och multiplicerar det med -4, vilket vi alltid kan göra med negativa och positiva tal, 0, osv. Funktionen är definierad för alla x, påståendet är alltså sant.
Enligt påståendet är funktionen endast definierad för positiva x. Får vi inte sätta in negativa x-värden? Jo, t.ex.
y = 1/-4=-0,25,
är ju möjligt. Så påståendet är alltså falskt: negativa x är tillåtna, och även positiva. Hur är det med x=0? Sätter vi in det får vi division med 0, vilket inte är tillåtet. Den korrekta definitionsmängden är x ≠ 0.
Värdemängden alla negativa y och 0
skulle betyda att vilket x-värde ur definitionsmängden vi än satte in, skulle funktionen alltid ge negativa y-värden eller 0. Men t.ex. är
y=(-4)^2=16,
dvs. ett vi får ett positivt y-värde vilket innebär att påståendet är falskt. Vad som helst i kvadrat alltid är positivt. y=0 kan vi få genom att sätta in x=0. Korrekt värdemängd är alltså y ≥ 0.
I koordinatsystemet är hela grafen till y=f(x) ritad. Ange funktionens värdemängd med olikhetstecken.
Funktionens värdemängd är alla y-värden som funktionen antar. Eftersom vi ser hela grafen kan vi läsa av det största och minsta y-värdet.
Det minsta värdet är -12, och det största 4. Båda värdena antas, så värdemängden är - 12 ≤ y ≤ 4.
Pontus har ett deltidsarbete vid sidan av studierna. Hans lön beror på antalet timmar han arbetat och lönen är 80 kr per timme. Enligt arbetsplatsens regler får han dock arbeta som mest tjugo timmar per vecka.
Pontus veckolön får vi genom att multiplicera timlönen med antalet timmar han arbetat. Lönen är 80kr och han jobbar t timmar. Det ger funktionen p= 80t.
Det minsta Pontus kan jobba är 0 timmar. Enligt reglerna kan han inte heller jobba mer än 20 timmar. Det ger definitionsmängden
0≤ t ≤ 20.
Om Pontus inte jobbar något tjänar han ingenting. Det minsta värdet p kan anta är alltså 0. Den högsta lönen får han om man arbetar maximalt, dvs. 20 timmar. Vi beräknar lönen för det.
Funktionens värdemängd blir 0 ≤ p ≤ 1 600.
Förklara skillnaden mellan följande begrepp.
Funktion och ekvation
Ekvation och olikhet
Funktion och uttryck
En ekvation kan ha en eller flera rötter som gör att det som står i vänster- och högerledet får samma värde. T.ex. har ekvationen 3x-9=0 roten x=3 eftersom båda led blir 0 när man satt in detta värde i ekvationen. En funktion däremot beskriver ett samband mellan två eller flera variabler. Funktionen f(x)=3x-9 kan anta olika värden beroende på vilket x man sätter in. I en funktion beror alltså f(x) på vilket x man sätter in, medan en ekvation kan ha ett eller flera bestämda x som löser ekvationen.
Ekvation betyder likhet. Det innebär att den måste innehålla ett likhetstecken, och att höger- och vänsterled måste vara lika stora. I en olikhet måste inte detta gälla, och därför använder vi olikhetstecken. T.ex. är 3 mindre än 4, vilket vi kan skriva som
3 < 4.
Detta är ingen likhet eftersom leden inte är lika stora.
Ett exempel på ett algebraiskt uttryck är
4x^2+3x,
och som vi kan se saknar det likhetstecken. I en funktion finns däremot ett likhetstecken som visar att det finns ett samband mellan variabler, t.ex. mellan y och x:
y=4x^2+3x.
En funktion beskriver ett samband mellan variabler, och g(x)≤9x+7 är ett samband mellan g(x) och x. Men räcker det? Nej, vi vet också att en funktion endast får ge ett utvärde för varje invärde. Sätter vi in exempelvis x=0 i funktionen får vi g(0)≤ 9* 0+7 ⇔ g(0)≤ 7. g(0) är alltså alla tal mindre än eller lika med 7, exempelvis 6, 4, -5 osv. Invärdet x=0 ger alltså flera utvärden och därför är detta ingen funktion.
En funktion beskriver ett samband mellan två variabler. I A och B finns det bara en variabel så ingen av dem är funktioner. Vi går vidare och tittar på D: y< 3x+2. Det finns ett samband mellan x och y, men om man sätter in x=1 får vi svaret y< 5, dvs. alla y mindre än 5. Men det finns ju oändligt många tal som är mindre än 5, så för varje x kan y anta oändligt många värden. Detta utgör därför inte heller någon funktion. I C däremot, får man bara ut ett y-värde för varje x. Man säger att y beror av x. Alternativ E ser likadant ut, men istället för y står det f(x). Den enda skillnaden är att man kan se vilket x som har satts in, t.ex. f(1)=3*1+2 ⇔ f(1)=5. Alternativ C och E är alltså funktioner.
En graf beskrivs av funktionen y=−2x+1. Ligger följande punkt på denna graf?
Om en punkt ligger på en graf ska vänster- och högerled bli lika stora när man sätter in punktens x- och y-koordinater och förenklar.
Punkten (- 3,7) ligger på linjen eftersom VL=HL när man sätter in punktens koordinater i funktionen.
Nu undersöker vi om (2,-2) ligger på linjen på samma sätt.
Punkten (2, - 2) ligger inte på linjen eftersom VL≠ HL när man sätter in punktens koordinater i funktionen. I koordinatsystemet nedan har vi markerat linjen och punkterna i ett koordinatsystem.
Vilken definitionsmängd har funktionen?
En kvot är inte definierad om nämnaren är 0. I g(x) är nämnaren, x+3, lika med 0 om x är lika med - 3. Man kan alltså sätta in vilket x som helt förutom - 3. Därför är definitionsmängden x≠ - 3.
Definitionsmängden till funktionen h(x) = 5sqrt(x) är de x-värden som vi kan dra kvadratroten ur. Vi kan bara dra kvadratroten ur tal som är lika med eller större än noll, dvs. inte ur negativa tal. Definitionsmängden är därför x ≥ 0.
I en triangel är vinklarna angivna.
Skriv y som en funktion av x.
Ange funktionens värdemängd.
Vi använder att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘). Vi får då ett samband mellan x och y som vi kan lösa ut y ur.
Funktionen vi söker är alltså y=145-x.
En funktions värdemängd anger vilka funktionsvärden (y-värden) funktionen kan anta. Vi undersöker den undre och övre gränsen var för sig.
En vinkel i en triangel kan aldrig vara 0^(∘) eftersom det då inte längre är en triangel utan bara ett rakt streck. Vinkeln y måste alltså vara större än 0^(∘). y > 0
Vinkeln y är så stor som möjligt när de andra vinklarna är så små som möjligt. Vinkeln 35^(∘) är fast och kan inte förändras, vilket betyder att det finns 180^(∘) - 35^(∘) = 145^(∘) över till x och y av triangelns vinkelsumma. Vinkeln x kan aldrig bli 0^(∘), eftersom vi då inte skulle ha någon triangel, så y kan aldrig riktigt komma upp till 145^(∘). Vi får alltså kravet y < 145 Tillsammans ger dessa två begränsningar funktionens värdemängd. 0 < y < 145
En istapp har volymen V(t) cm3, där t är tiden i minuter efter klockan 08.00. Klockan 09.00 har istappen volymen 21 cm3. Använd funktionen V(t) och skriv detta påstående med matematiska symboler.
Vi ska skriva påståendet "Klockan09.00har istappen volymen21 cm^3." } med matematiska symboler, givet att funktionen V(t) anger istappens volym t min efter kl. 08.00. Det går 60 min mellan kl. 08.00 och 09.00, så vi kan sätta in t=60 i funktionen. Vi vet också att istappens volym är 21 cm^3 när denna timme passerat, så vi sätter funktionen lika med detta värde. Påståendet kan då uttryckas som V(60)=21
Kalles klass ska samla in pengar till klasskassan och vill ordna ett skoldisco. De har hittat en lokal att hyra som kostar 500 kr och en DJ med musikanläggning som kostar 1500 kr. De tänker sälja biljetter för 50 kr/st.
Hur stor vinst gör klassen om de lyckas sälja 100 biljetter?
Ange en funktion V som visar klassens vinst/förlust efter x antal sålda biljetter.
På discot kommer maximalt 200 betalande gäster. Bestäm funktionens värdemängd.
Vinsten beräknas som intäkter minus kostnader
, så vi börjar med att beräkna klassens intäkter och kostnader. Den enda intäkten kommer från försäljningen av de 100 biljetterna, och eftersom varje biljett säljs för 50 kr blir intäkterna totalt
50*100=5000kr.
Kostnaderna utgörs av lokalhyran på 500 kr och DJ:en som kostar 1 500 kr. Subtraherar vi kostnaderna från intäkterna får vi vinsten
5 000-500-1,500=3 000 kr.
Vi ska bestämma funktionen V(x), som beskriver hur vinsten beror på antalet sålda biljetter, x. Tidigare sa vi att vinsten=intäkter-kostnader. Detta kan vi använda även här, för att bestämma funktionsuttrycket. Intäkterna får vi genom att multiplicera antalet sålda biljetter, x, med biljettpriset, 50 kr: 50xkr. Kostnaderna är samma som i föregående deluppgift: 500+1 500=2 000 kr. Vinsten ges då av funktionen V(x)=50x-2 000.
Värdemängden anger vilka funktionsvärden funktionen kan anta givet dess definitionsmängd, dvs. de x-värden man kan sätta in i funktionen. Vi börjar med att bestämma definitionsmängden för V.
I funktionen V representerar x-värdena antalet sålda biljetter. Vi har en lägre gräns på 0 st. i det fall då inga biljetter blir sålda. Dessutom vet vi från uppgiften att det kommer maximalt 200 betalande gäster. Detta innebär att funktionen V har definitionsmängden 0≤ x≤200. Nu bestämmer vi värdemängden genom att undersöka den minsta respektive högsta vinsten man kan få baserat på denna definitionsmängd.
Eftersom vinsten V bara beror av antalet sålda biljetter x kommer vi hitta den lägsta vinsten, som också är värdemängdens nedre gräns, för det lägsta x-värdet i definitionsmängden. Vi sätter in x=0 i funktionen.
Värdemängdens nedre gräns är alltså -2 000. Den högsta möjliga vinsten, som motsvarar värdemängdens övre gräns, får vi när alla 200 biljetter sålts. Vi bestämmer denna gräns genom att sätta in x=200 i funktionen.
Sammanfattningsvis har funktionen V alltså värdemängden -2 000≤ V≤8 000.
Anton ska jämföra kostnaden för att trycka reklamblad. Digitaltryckeriet tar en startkostnad på 20 kronor och sedan 24 öre per kopia. Tryckservice AB tar ingen startkostnad men tar 36 öre per kopia.
Anton har fått 320 kronor att använda till tryckkostnader. Hur många kopior från Digitaltryckeriet får han för denna summa?
Hur många kopior måste man minst låta trycka för att Digitaltryckeriet ska bli billigare än Tryckservice AB?
Vi vet att kostnaden per kopia är 0,24 kr så för varje kopia man trycker ökar kostnaden med 0,24 kr. Funktionen som beskriver kostnaden är alltså en linjär funktion med lutningen k=0,24. Än så länge kan vi skriva funktionen som D=0,24x+m. Från uppgiftstexten vet vi även att Digitaltryckeriet har en startkostnad på 20 kr så oavsett hur många kopior man trycker upp behöver man betala 20 kr i fast avgift, dvs. när x=0 är y=20 vilket ger oss funktionen D=0,24x+20. Genom att sätta D=320 och lösa ut x bestämmer vi hur många kopior vi kan få för 320 kr på Digitaltryckeriet.
Man kan trycka 1 250 kopior för 320 kr på Digitaltryckeriet.
Från uppgiften vet vi att Tryckservice enbart tar betalt per kopia. Eftersom denna kostnad är 36 öre per kopia får vi funktionen T=0,36x Nu kan vi ta reda på hur många kopior man ska trycka för att kostnaden ska vara lika stor för tryckerierna. Det kan vi göra genom att likställa funktionerna och lösa ut x.
Funktionerna skär varandra när x ≈ 166,66. Men man kan ju endast trycka ett helt antal kopior så vid x=167 kommer en av funktionerna att överstiga den andra. Vi ritar dem.
Funktionen T är större än D efter skärningspunkten vilket innebär att kostnaden för att kopiera med Tryckservice AB är större än för Digitaltryckeriet när x är större än 167.
Vilken av följande grafer visar sambandet mellan cirkelns omkrets och dess radie?
När radien ökar kommer cirkelns storlek öka, och då ökar även omkretsen. Detta betyder att när man går till höger på x-axeln så ska grafen stiga. Inte alla grafer gör det, så de kan uteslutas direkt.
I graf A är omkretsen lika stor oavsett vad radien är. Detta skulle exempelvis betyda att en cirkel där radien är 0 har en omkrets och detta kan ju inte stämma. Även graf B och graf D kan uteslutas. I graf B minskar omkretsen när r ökar och i D minskar grafen när man nått ett visst värde på r. Båda graferna går emot resonemanget ovan.
I både graf C och graf E ökar omkretsen när radien ökar. Men ökar omkretsen exponentiellt som i graf C, eller ökar den linjärt som i graf E? Vi använder formeln för en cirkels omkrets: O= 2π r. 2π är ungefär 6,28, vilket är ett konstant värde. Detta är då en formel av typen y = kx, vilket kallas för en proportionalitet eller ett linjärt samband. Sådana grafer är just linjer, och därför är graf E det rätta svaret.