Extrempunkter och Derivatans Nollställen: Utforska Maximi- och Minimipunkter

Lokal maximipunkt
$x$		$a$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↗$	max	$↘$

Lokal minimipunkt
$x$		$b$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	min	$↗$

2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med

0

och löser den ekvation man får. I detta fall får man

12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0 .

Hur man löser

f^{'} (x) = 0

beror på hur ekvationen ser ut. Här använder man nollproduktmetoden.

12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0

DivEqn

$VL / 12 = HL / 12$

x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} - 4 x + 4) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 x^{2} - 4 x + 4 = 0

I det här fallet får man ut en lösning direkt, $x = 0,$ samt en andragradsekvation som kan lösas med $p q -$ formeln.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 4, q = 4$

x = - \frac{- 4}{2} \pm (\frac{- 4}{2})^{2} - 4

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 2) \pm (- 2)^{2} - 4

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 2 \pm (- 2)^{2} - 4

CalcPow

Beräkna potens

x = 2 \pm 4 - 4

SubTerm

Subtrahera term

x = 2 \pm 0

SimpRadicalTerm

Förenkla rot & termer

x = 2

Lösningarna till ekvationen $f^{'} (x) = 0$ är alltså $x = 0$ och en dubbelrot $x = 2 .$ Detta är derivatans nollställen, så för dessa $x -$ värden hittar man funktionens stationära punkter.

3

Avgör stationära punkters karaktär med teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är $0$ när $x$ är $0$ och $2 .$

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om $f (x)$ är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något $x$ -värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan $f^{'} (x) .$ Här kan man t.ex. välja $x -$ värdena $- 1,$ $1$ och $3 .$

$x$	$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$	$f^{'} (x)$	$+ / -$
$- 1$	$12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)$	$- 12$	$-$
$1$	$12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1$	$12$	$+$
$3$	$12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3$	$36$	$+$

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion ( $↗$ ) och en negativ derivata ger en avtagande funktion ( $↘$ ).

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om $x = 0$ och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i $x = 2$ är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

4

Uteslut eventuella terrasspunkter

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där $x = 2 .$