Exponenter på bråkform

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 16\sqrt{16} lika med 44 eftersom 44=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} lika med 55 eftersom 55=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

aa=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.
Begrepp

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", så anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv nn gånger är lika med a.a.

ananann st.=a\underbrace{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a}\, \cdot \ldots \cdot \, \sqrt[n]{a}}_{n\text{ st.}}=a

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.
Regel

Potenser på formen a1/na^{1/n}

Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n1/n med ett positivt heltal nn som anger typen av rot. Till exempel kan 273\sqrt[3]{27} skrivas som 271/327^{1/3} och 1005\sqrt[5]{100} kan skrivas som 1001/5.100^{1/5}.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 161/2271/3+(5)2. 16^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Potenser på formen ab/na^{b/n}

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 11, t.ex. 82/5,8^{2/5}, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 82/5=825=(85)2. 8^{2/5}=\sqrt[5]{8^2} = \left(\sqrt[5]{8}\right)^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 632. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv femte roten ur 17 i potensform.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 12\frac{1}{2} och som är lika med 3.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet på uttrycken utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare.

a

161216^{\frac{1}{2}}

b

271327^{\frac{1}{3}}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av uttrycken är potenser med rationell exponent? A: 13xB: 42x2C: 2512D: x13E: (6x)37F: 11π\begin{aligned} &\mathbf{A:} \ \dfrac{13}{x}\\[0.7em] &\mathbf{B:} \ 42x^{\sqrt{2}} \\[0.7em] &\mathbf{C:} \ 25^{\frac{1}{2}} \\[0.7em] &\mathbf{D:} \ x^{\frac{1}{3}}\\[0.7em] &\mathbf{E:} \ (6x)^{\frac{3}{7}} \\[0.7em] &\mathbf{F:} \ 11^{\pi} \end{aligned}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens.

a

777\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}

b

5353\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck: 512523. \dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{2}{3}}}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.

a

3+9123123123 + 9^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}

b

2813+4134232 - 8^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att om du fördubblar arean för en kvadrat kommer den nya sidan alltid att bli ungefär 40 % längre.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mellan vilka två på varandra följande heltal ligger 23\sqrt{23}? Motivera utan att använda miniräknare.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.


a

634614\dfrac{6^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}}

b

13-271357132713^{\text{-} \frac{2}{7}} \cdot \dfrac{13^{\frac{5}{7}}}{13^{\frac{2}{7}}}

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt utan räknare. Svara i potensform. 6(23)23363 \dfrac{\sqrt{6} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36}}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken utan att använda din räknare.


a

3+29+9\sqrt{3 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{9 + 9}}

b

481+12516+11273\sqrt{\sqrt{\dfrac{4}{81}} + \dfrac{1}{\sqrt{25-16}} + \dfrac{11}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}}}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla produkten 2653 \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna nedanstående uttryck utan räknare och svara exakt. 254254254254+254+254 \dfrac{\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}}{\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm nn i nedanstående ekvation. aana6a8=a124. \sqrt{a}\cdot \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[8]{a} = a^{\frac{1}{24}}.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många 525^2 ska finnas under rottecknet för att ekvationen ska stämma? 52+52++52=52+52+52 \sqrt{5^2+5^2+\ldots+5^2}=5^2+5^2+5^2

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi vet att xx är ett positivt heltal i nedanstående ekvation. Bestäm talet utan att använda räknare. x2=223474 x^2=2^2\cdot 3^4\cdot 7^4

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

512\sqrt[12]{5} är ungefär lika med 1.14.1.14. Använd detta för att, utan räknare, visa att 5354>5. \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}>\sqrt{5}.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a

x3m7x2m7\dfrac{x^{\frac{3m}{7}}}{x^{\frac{2m}{7}}}

b

xxxx+x+x\dfrac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}}

Nationella provet VT12 2b
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att summan 0.1212+0.008130.12^{\frac{1}{2}}+0.008^{\frac{1}{3}} kan skrivas som bråket 3+15. \dfrac{\sqrt{3}+1}{5}.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}