| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där.
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)
Först beräknar man täljarens andra term, f(3), genom att sätta in x-värdet i funktionen.
x=3
Beräkna potens & produkt
Addera termer
För att bestämma den första termen i täljaren, f(3+h), ersätter man x med a+h och förenklar. I det här fallet är det 3+h.
x=3+h
Utveckla med första kvadreringsregeln
Beräkna potens & produkt
Multiplicera in 2
Förenkla termer
Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.
f(3+h)=h2+8h+20, f(3)=20
Förenkla termer
Bryt ut h
Förenkla kvot
Ändringskvoten kan förenklas till h+8.
Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter h gå mot 0.
Derivatan för funktionen f(x)=x2+2x+5 när x=3 är alltså lika med 8.
Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna derivatans värde i en punkt. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 8:nDeriv(. Tryck ENTER.
Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.
Tryck på ENTER för att beräkna derivatans värde för det valda x-värdet.
Använd derivatans definition för att beräkna f′(-2) för funktionen f(x)=3x2−x+7. Tolka sedan svaret.
x=-2
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
a−(-b)=a+b
Addera termer
Vi bestämmer nu f(-2+h) genom att ersätta x med -2+h och förenkla.
x=-2+h
Utveckla med första kvadreringsregeln
Beräkna potens & produkt
Multiplicera in 3
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termer
Nu sätter vi in båda uttrycken i derivatans definition och förenklar.
f(-2+h)=3h2−13h+21, f(-2)=21
Förenkla termer
Bryt ut h
Förenkla kvot
h→0
Subtrahera term
Derivatan till f(x)=3x2−x+7 är alltså -13 när x=-2. En tolkning av detta är: "Lutningen till funktionen f(x)=3x2−x+7 i punkten där x=-2 är lika med -13."