Derivatans definition

Derivatans definition för x=-3 blir f'(-3)=lim _(h→ 0)f(-3+h)-f(-3)/h. Vi börjar med att bestämma f(-3) och f(-3+h). Sedan förenklar vi ändringskvoten innan vi till sist bestämmer gränsvärdet.

Nu tar vi f(-3+h).

I sista steget förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.

Derivatan är alltså -11.

Även i det här fallet ska vi bestämma f'(-3)=lim _(h→ 0)f(-3+h)-f(-3)/h, men nu är f(x)= x^33. Vi gör på samma sätt som i föregående uppgift.

Nu tar vi f(-3+h).

I sista steget förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.

Vi jämför gränsvärdet med derivatans definition eftersom de liknar varandra. För tydlighetens skull byter vi plats på vänster- och högerled i Josephs uttryck f'(a)& = lim _(h → 0)f(a+h) - f(a)/h 49& = lim _(h → 0)(4+h)^3+(4+h)-5 - (4^3+4-5)/h a är beteckningen för det x-värde där derivatan är beräknad. Genom att jämföra uttrycken i täljaren ser vi att a=4, så 4 är alltså det x-värde där derivatan är beräknad. Om vi jämför vänsterleden ser vi att värdet på derivatan för detta x-värde, dvs. f'(4), är 49.

För att ta reda på funktionsuttrycket kan vi t.ex. se på andra delen av täljaren som vi enligt derivatans definition vet motsvarar f(a), dvs. i vårt fall f(4): f(4)=4^3+4-5. Om vi istället för 4 sätter in x får vi funktionsuttrycket f(x)=x^3+x-5, och det är alltså funktionen för vilken derivatan i punkten där x=4 är beräknad.

Vi delar in lösningen i två delar, en där vi diskuterar Sanas fel och en där vi löser uppgiften själva.

Sanas misstag

Vi kan förstås inte veta exakt hur Sanas lärare har resonerat, men vi kan identifiera några felaktigheter i hennes lösning. För det första har hon glömt att skriva "lim _(h → 0)" på de fyra mittenraderna vilket innebär att hon har missbrukat likhetstecknet. Detta skulle kunna vara ett skäl till att hon fått avdrag. Dessutom har hon gjort ett räknefel mellan fjärde och femte raden då hon utför bråkdivisionen. På rad fem borde hon ha inverterat h då hon bytte räknesätt till multiplikation: 16+16h+4h^2-16 3/h = 16h+4h^2/3* 1/h. Detta gör att hon i slutänden får fel svar och bör vara en anledning till att hon inte fick full poäng.

Egen lösning

Vi visar nu ett förslag på en korrekt lösning. För tydlighetens skull skriver vi ut hjälpstegen mellan beräkningarna, men detta är förstås inget som Sana förväntas göra på provet.

Den korrekta lösningen ska alltså ge svaret f'(2)= 163.

Genom att använda derivatans definition får vi uttrycket f'(1)=lim _(h→ 0)f(1+h)-f(1)/h.

Funktionen f(x)=kx

Vi börjar med att bestämma f'(1) för f(x)=kx och startar med att bestämma termerna i täljaren, t.ex f(1).

Nu tar vi f(1+h).

Nu sätter vi in uttrycken för f(1) och f(1+h) i ändringskvoten och förenklar.

För f(x)=kx är alltså f'(1)=k.

Funktionen f(x)=kx+a

Nu gör vi motsvarande för f(x)=kx+a, och börjar med att bestämma f(1).

Nu tar vi f(1+h).

Nu sätter vi in de nya uttrycken för f(1) och f(1+h) i ändringskvoten och förenklar.

f'(1) är alltså lika med k även för f(x)=kx+a.

Slutsats

Vi fick samma värde, k, på derivatan f'(1) oavsett om funktionen innehöll konstanttermen a eller inte. I det här fallet påverkar alltså inte a derivatans värde.

Enligt derivatans definition kan derivatans värde i x=5 beräknas med gränsvärdet f'(5)=lim _(h→ 0) f(5+h)-f(5)/h. Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren, och startar med f(5).

Nu bestämmer vi även f(5+h).

Slutligen ersätter vi f(5+h) och f(5) i derivatans definition med de uttryck vi precis bestämt.

Nu ska vi bestämma derivatan för ett godtyckligt x-värde, dvs. f'(x)=lim _(h→ 0) f(x+h)-f(x)/h. Vi gör på samma sätt som tidigare, dvs. startar med termerna i täljaren. Vi vet dock redan att f(x)=kx+m så vi behöver endast bestämma f(x+h).

Nu kan vi bestämma gränsvärdet.

Från den förra deluppgiften ser vi att derivatan för funktionen f(x)=kx+m är lika med k, oavsett vilket x-värde den beräknas för. Detta är rimligt eftersom derivatan beskriver lutningen i en punkt på funktionens graf. Funktionen f(x) är ju en rät linje, så den har samma lutning överallt, k, vilket då också är derivatan. Vi kan alltså direkt säga att f'(7.13)=k.