4. Derivatans definition
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
4.
Derivatans definition
Innehållet handlar om derivatans definition, ett grundläggande koncept inom matematik. Det förklaras hur derivatan i en viss punkt för en funktion kan tolkas som tangentens lutning i den punkten. Det kan vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där, men genom att utgå från principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där. Sidan ger också en förståelse för hur man kan närma sig derivatans värde genom att krympa avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom. Detta är användbart för att få en bättre approximation av derivatan i tangeringspunkten.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivatans definition
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Derivatans definition
- Derivatans värde
- Beräkna derivatans värde
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Från sekant till tangent
Om man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom.
- Är denna metod användbar för att hitta derivatan i en viss punkt?
- Hur kan vi hitta det exakta värdet av derivatan utan att orsaka division med noll?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Derivatans definition
Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där. Numerisk derivering kan användas för att algebraiskt definiera derivatan för en funktion f(x) i punkten där x=a. Punkten som ligger på avståndet h från denna blir då x=a+h.
f(a) är funktionsvärdet för f(x) i punkten där x=a och på motsvarande sätt är f(a+h) funktionsvärdet där x=a+h. Avståndet i y-led mellan punkterna, y_2-y_1, kan därför uttryckas f(a+h) - f(a). Ändringskvoten mellan x=a och x=a+h kan alltså skrivas Δ y/Δ x = f(a+h) - f(a)/a + h - a = f(a+h) - f(a)/h. När h går mot 0 blir uttrycket för derivatan i den godtyckliga punkten x=a det gränsvärde som är derivatans definition.
f'(a) = lim _(h → 0)f(a+h) - f(a)/h
Definitionen säger att derivatan för en funktion f(x) där x=a bestäms algebraiskt genom att man låter avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom krympa så att sekanten övergår i en tangent. Definitionen gör det alltså möjligt att bl.a. bestämma derivatans värde i en punkt utan att tangenter behöver ritas ut.
Extra
Numerisk deriveringOm man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom. När avståndet blir 0 kommer sekanten alltså att sammanfalla med tangenten till kurvan i en av punkterna.
Då avståndet mellan punkterna går mot ett mycket litet tal brukar man ibland kalla det för h istället för Δ x. Om man ställer upp en ändringskvot som motsvarar sekantens lutning kan den därför skrivas
k = Δ y/Δ x = y_2 - y_1/h.
Ju mindre h blir, desto bättre blir approximation av derivatan i tangeringspunkten, som man kan låta ha x-värdet a. Då kommer ändringskvoten ovan att ge f'(a) ≈ y_2 - y_1/h.
Den streckade tangenten till kurvan i punkten a=0,4 nedan har lutningen k=0,56, vilket innebär att f'(0,4)=0,56. Genom att låta avståndet h bli mindre och mindre ser man att sekantens riktningskoefficient närmar sig detta värde.
Med denna metod får man ett närmevärde till derivatan som blir bättre ju närmare punkterna är varandra. För att få det exakta värdet skulle man vilja låta avståndet vara 0, men då får man nolldivision. Derivatans värde bestäms därför med gränsvärdet för ändringskvoten då h → 0:
f'(a) = lim _(h → 0) y_2- y_1/h.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Beräkna derivatans värde med derivatans definition
För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen f(x)=x^2+2x+5 i punkten där x=3 kan man använda derivatans definition f'(a) = lim _(h → 0)f(a+h) - f(a)/h, där a är x-värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För x=3 får man alltså gränsvärdet f'(3)=lim _(h→ 0)f(3+h)-f(3)/h, som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta h gå mot 0.
1
Beräkna f(a)
expand_more Först beräknar man täljarens andra term, f(3), genom att sätta in x-värdet i funktionen.
f(x)=x^2+2x+5
Substitute
x= 3
f( 3)= 3^2+2* 3+5
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(3)=9+6+5
AddTerms
Addera termerna
f(3)=20
2
Bestäm f(a+h)
expand_more För att bestämma den första termen i täljaren, f(3+h), ersätter man x med a+h och förenklar. I det här fallet är det 3+h.
f(x)=x^2+2x+5
Substitute
x= 3+h
f( 3+h)=( 3+h)^2+2( 3+h)+5
ExpandPosPerfectSquare
Utveckla med första kvadreringsregeln
f(3+h)=3^2+2*3* h+h^2+2(3+h)+5
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(3+h)=9+6h+h^2+2(3+h)+5
Distr
Multiplicera in 2
f(3+h)=9+6h+h^2+6+2h+5
SimpTerms
Förenkla termerna
f(3+h)=h^2+8h+20
3
Förenkla ändringskvoten
expand_more Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.
f(3+h)-f(3)/h
SubstituteII
f(3+h)= h^2+8h+20 och f(3)= 20
h^2+8h+20- 20/h
SimpTerms
Förenkla termerna
h^2+8h/h
FactorOut
Bryt ut h
h(h+8)/h
SimpQuot
Förenkla kvot
h+8
Ändringskvoten kan förenklas till h+8.
4
Låt h gå mot 0
expand_more Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter h gå mot 0.
f'(3)=lim _(h→ 0)f(3+h)-f(3)/h
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
f'(3)=lim _(h→ 0)(h+8)
To
h → 0
f'(3)=8
Derivatan för funktionen f(x)=x^2+2x+5 när x=3 är alltså lika med 8.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Derivatans värde på räknare
Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna derivatans värde i en punkt. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 8: nDeriv(
. Tryck ENTER.
Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.
- Funktionsuttrycket för funktionen som ska deriveras
- Variabeln man ska derivera med avseende på
- För vilket x-värde derivatan ska beräknas
Tryck på ENTER för att beräkna derivatans värde för det valda x-värdet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm derivatan med derivatans definition
Använd derivatans definition för att beräkna f'(-2) för funktionen f(x)=3x^2-x+7. Tolka sedan svaret.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(-2)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-13"]}}
Ledtråd
Utvärdera f(-2) och f(-2+h). Använd definitionen av derivatan.
Lösning
Vi sätter in x=-2 i derivatans definition: f'(-2)=lim _(h→ 0)f(-2+h)-f(-2)/h.
Nu beräknar vi varje term i täljaren för sig, och börjar med f(-2).
f(x)=3x^2-x+7
Substitute
x= -2
f( -2)=3( -2)^2-( -2)+7
CalcPow
Beräkna potens
f(-2)=3*4-(-2)+7
Multiply
Multiplicera faktorer
f(-2)=12-(-2)+7
SubNeg
a-(- b)=a+b
f(-2)=12+2+7
AddTerms
Addera termerna
f(-2)=21
Vi bestämmer nu f(-2+h) genom att ersätta x med -2+h och förenkla.
f(x)=3x^2-x+7
Substitute
x= -2+h
f( -2+h)=3( -2+h)^2-( -2+h)+7
ExpandPosPerfectSquare
Utveckla med första kvadreringsregeln
f(-2+h)=3((-2)^2+2*(-2)* h+h^2)-(-2+h)+7
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(-2+h)=3(4-4h+h^2)-(-2+h)+7
Distr
Multiplicera in 3
f(-2+h)=12-12h+3h^2-(-2+h)+7
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
f(-2+h)=12-12h+3h^2+2-h+7
SimpTerms
Förenkla termerna
f(-2+h)=3h^2-13h+21
Nu sätter vi in båda uttrycken i derivatans definition och förenklar.
f'(-2)=lim _(h→ 0)f(-2+h)-f(-2)/h
SubstituteII
f(-2+h)= 3h^2-13h+21 och f(-2)= 21
f'(-2)=lim _(h→ 0)3h^2-13h+21- 21/h
SimpTerms
Förenkla termerna
f'(-2)=lim _(h→ 0)3h^2-13h/h
FactorOut
Bryt ut h
f'(-2)=lim _(h→ 0)h(3h-13)/h
SimpQuot
Förenkla kvot
f'(-2)=lim _(h→ 0)(3h-13)
To
h → 0
f'(-2)=0-13
SubTerm
Subtrahera term
f'(-2)=-13
Derivatan till f(x)=3x^2-x+7 är alltså -13 när x=-2. En tolkning av detta är: Lutningen till funktionen f(x)=3x^2-x+7 i punkten där x=-2 är lika med -13.
Extra
Derivatans värde på räknareEn räknare kan användas för att verifiera svaret. Tryck på MATH och välj det åttonde alternativet, 
nDeriv(.
Skriv in funktionen 3x^2 - x + 7, välj variabeln x, och välj för vilket x-värde derivatan ska beräknas, i det här fallet -2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Derivatans definition
Uppgift 2.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(-3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-11"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(-3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
Derivatans definition för x=-3 blir f'(-3)=lim _(h→ 0)f(-3+h)-f(-3)/h. Vi börjar med att bestämma f(-3) och f(-3+h). Sedan förenklar vi ändringskvoten innan vi till sist bestämmer gränsvärdet.
Nu tar vi f(-3+h).
I sista steget förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.
Derivatan är alltså -11.
Även i det här fallet ska vi bestämma
f'(-3)=lim _(h→ 0)f(-3+h)-f(-3)/h,
men nu är f(x)= x^33. Vi gör på samma sätt som i föregående uppgift.
Nu tar vi f(-3+h).
I sista steget förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^3+x-5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi jämför gränsvärdet med derivatans definition eftersom de liknar varandra. För tydlighetens skull byter vi plats på vänster- och högerled i Josephs uttryck f'(a)& = lim _(h → 0)f(a+h) - f(a)/h 49& = lim _(h → 0)(4+h)^3+(4+h)-5 - (4^3+4-5)/h a är beteckningen för det x-värde där derivatan är beräknad. Genom att jämföra uttrycken i täljaren ser vi att a=4, så 4 är alltså det x-värde där derivatan är beräknad. Om vi jämför vänsterleden ser vi att värdet på derivatan för detta x-värde, dvs. f'(4), är 49.
För att ta reda på funktionsuttrycket kan vi t.ex. se på andra delen av täljaren som vi enligt derivatans definition vet motsvarar f(a), dvs. i vårt fall f(4):
f(4)=4^3+4-5.
Om vi istället för 4 sätter in x får vi funktionsuttrycket f(x)=x^3+x-5, och det är alltså funktionen för vilken derivatan i punkten där x=4 är beräknad.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sana skriver ett matteprov. En av uppgifterna är att beräkna f'(2) för funktionen f(x)= 4x^23 med derivatans definition. Hon löser uppgiften såhär.
När hon får tillbaka provet en vecka senare ser hon dock att hon har fått flera poängs avdrag på sin lösning. Identifiera felen Sana gjort, lös uppgiften korrekt och ange svaret.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(2)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{16}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi delar in lösningen i två delar, en där vi diskuterar Sanas fel och en där vi löser uppgiften själva.
Sanas misstag
Vi kan förstås inte veta exakt hur Sanas lärare har resonerat, men vi kan identifiera några felaktigheter i hennes lösning. För det första har hon glömt att skriva lim _(h → 0) på de fyra mittenraderna vilket innebär att hon har missbrukat likhetstecknet. Detta skulle kunna vara ett skäl till att hon fått avdrag. Dessutom har hon gjort ett räknefel mellan fjärde och femte raden då hon utför bråkdivisionen. På rad fem borde hon ha inverterat h då hon bytte räknesätt till multiplikation: 16+16h+4h^2-16 3/h = 16h+4h^2/3* 1/h. Detta gör att hon i slutänden får fel svar och bör vara en anledning till att hon inte fick full poäng.
Egen lösning
Vi visar nu ett förslag på en korrekt lösning. För tydlighetens skull skriver vi ut hjälpstegen mellan beräkningarna, men detta är förstås inget som Sana förväntas göra på provet.
Den korrekta lösningen ska alltså ge svaret f'(2)= 163.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Du har funktionerna f(x)=kx och f(x)=kx+a, där k och a är konstanter. Beräkna derivatorna för x=1 och jämför dem. Påverkar a derivatan? Motivera.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Genom att använda derivatans definition får vi uttrycket f'(1)=lim _(h→ 0)f(1+h)-f(1)/h.
Funktionen f(x)=kx
Vi börjar med att bestämma f'(1) för f(x)=kx och startar med att bestämma termerna i täljaren, t.ex f(1).
Nu tar vi f(1+h).
Nu sätter vi in uttrycken för f(1) och f(1+h) i ändringskvoten och förenklar.
För f(x)=kx är alltså f'(1)=k.
Funktionen f(x)=kx+a
Nu gör vi motsvarande för f(x)=kx+a, och börjar med att bestämma f(1).
Nu tar vi f(1+h).
Nu sätter vi in de nya uttrycken för f(1) och f(1+h) i ändringskvoten och förenklar.
f'(1) är alltså lika med k även för f(x)=kx+a.
Slutsats
Vi fick samma värde, k, på derivatan f'(1) oavsett om funktionen innehöll konstanttermen a eller inte. I det här fallet påverkar alltså inte a derivatans värde.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["k"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(5)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["k"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["k"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["k"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["k"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(7,13)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["k"]}}
security
report
code
security
report
code
Enligt derivatans definition kan derivatans värde i x=5 beräknas med gränsvärdet f'(5)=lim _(h→ 0) f(5+h)-f(5)/h. Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren, och startar med f(5).
Nu bestämmer vi även f(5+h).
Slutligen ersätter vi f(5+h) och f(5) i derivatans definition med de uttryck vi precis bestämt.
Nu ska vi bestämma derivatan för ett godtyckligt x-värde, dvs. f'(x)=lim _(h→ 0) f(x+h)-f(x)/h. Vi gör på samma sätt som tidigare, dvs. startar med termerna i täljaren. Vi vet dock redan att f(x)=kx+m så vi behöver endast bestämma f(x+h).
Nu kan vi bestämma gränsvärdet.
Från den förra deluppgiften ser vi att derivatan för funktionen f(x)=kx+m är lika med k, oavsett vilket x-värde den beräknas för. Detta är rimligt eftersom derivatan beskriver lutningen i en punkt på funktionens graf. Funktionen f(x) är ju en rät linje, så den har samma lutning överallt, k, vilket då också är derivatan. Vi kan alltså direkt säga att f'(7,13)=k.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Derivatans definition
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll