4. Derivatans definition
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
4.
Derivatans definition
Innehållet handlar om derivatans definition, ett grundläggande koncept inom matematik. Det förklaras hur derivatan i en viss punkt för en funktion kan tolkas som tangentens lutning i den punkten. Det kan vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där, men genom att utgå från principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där. Sidan ger också en förståelse för hur man kan närma sig derivatans värde genom att krympa avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom. Detta är användbart för att få en bättre approximation av derivatan i tangeringspunkten.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivatans definition
Sida av 4
Regel
Derivatans definition
Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där.
Regel
Från sekant till tangent
k=ΔxΔy=hy2−y1.
Ju mindre h blir, desto bättre blir approximation av derivatan i tangeringspunkten, som man kan låta ha x-värdet a. Då kommer ändringskvoten ovan att ge f′(a)≈hy2−y1.
Den streckade tangenten till kurvan i punkten a=0.4 nedan har lutningen k=0.56, vilket innebär att f′(0.4)=0.56. Genom att låta avståndet h bli mindre och mindre ser man att sekantens riktningskoefficient närmar sig detta värde.
f′(a)=h→0lim hy2−y1.
Regel
Algebraisk definition av derivata
ΔxΔy=a+h−af(a+h)−f(a)=hf(a+h)−f(a).
När h går mot 0 blir uttrycket för derivatan i den godtyckliga punkten x=a det gränsvärde som är derivatans definition. f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)
Metod
Beräkna derivatans värde med derivatans definition
För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen f(x)=x2+2x+5 i punkten där x=3 kan man använda derivatans definition
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a),
där a är x-värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För x=3 får man alltså gränsvärdet
f′(3)=h→0limhf(3+h)−f(3),
som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta h gå mot 0. 1
Beräkna f(a)
expand_more Först beräknar man täljarens andra term, f(3), genom att sätta in x-värdet i funktionen.
f(x)=x2+2x+5
Substitute
x=3
f(3)=32+2⋅3+5
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(3)=9+6+5
AddTerms
Addera termer
f(3)=20
2
Bestäm f(a+h)
expand_more För att bestämma den första termen i täljaren, f(3+h), ersätter man x med a+h och förenklar. I det här fallet är det 3+h.
f(x)=x2+2x+5
Substitute
x=3+h
f(3+h)=(3+h)2+2(3+h)+5
ExpandPosPerfectSquare
Utveckla med första kvadreringsregeln
f(3+h)=32+2⋅3⋅h+h2+2(3+h)+5
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(3+h)=9+6h+h2+2(3+h)+5
Distr
Multiplicera in 2
f(3+h)=9+6h+h2+6+2h+5
SimpTerms
Förenkla termer
f(3+h)=h2+8h+20
3
Förenkla ändringskvoten
expand_more Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.
hf(3+h)−f(3)
SubstituteII
f(3+h)=h2+8h+20 och f(3)=20
hh2+8h+20−20
SimpTerms
Förenkla termer
hh2+8h
FactorOut
Bryt ut h
hh(h+8)
SimpQuot
Förenkla kvot
h+8
Ändringskvoten kan förenklas till h+8.
4
Låt h gå mot 0
expand_more Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter h gå mot 0.
Derivatan för funktionen f(x)=x2+2x+5 när x=3 är alltså lika med 8.
Digitala verktyg
Derivatans värde på räknare
Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna derivatans värde i en punkt. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 8:nDeriv(. Tryck ENTER.
Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.
- Funktionsuttrycket för funktionen som ska deriveras
- Variabeln man ska derivera med avseende på
- För vilket x-värde derivatan ska beräknas
Tryck på ENTER för att beräkna derivatans värde för det valda x-värdet.
Exempel
Bestäm derivatan med derivatans definition
Använd derivatans definition för att beräkna f′(−2) för funktionen f(x)=3x2−x+7. Tolka sedan svaret.
Visa Lösning expand_more
Vi sätter in x=−2 i derivatans definition:
f′(−2)=h→0limhf(−2+h)−f(−2).
Nu beräknar vi varje term i täljaren för sig, och börjar med f(−2).
f(x)=3x2−x+7
Substitute
x=−2
f(−2)=3(−2)2−(−2)+7
CalcPow
Beräkna potens
f(−2)=3⋅4−(−2)+7
Multiply
Multiplicera faktorer
f(−2)=12−(−2)+7
SubNeg
a−(−b)=a+b
f(−2)=12+2+7
AddTerms
Addera termer
f(−2)=21
Vi bestämmer nu f(−2+h) genom att ersätta x med −2+h och förenkla.
f(x)=3x2−x+7
Substitute
x=−2+h
f(−2+h)=3(−2+h)2−(−2+h)+7
ExpandPosPerfectSquare
Utveckla med första kvadreringsregeln
f(−2+h)=3((−2)2+2⋅(−2)⋅h+h2)−(−2+h)+7
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(−2+h)=3(4−4h+h2)−(−2+h)+7
Distr
Multiplicera in 3
f(−2+h)=12−12h+3h2−(−2+h)+7
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
f(−2+h)=12−12h+3h2+2−h+7
SimpTerms
Förenkla termer
f(−2+h)=3h2−13h+21
Nu sätter vi in båda uttrycken i derivatans definition och förenklar.
f′(−2)=h→0limhf(−2+h)−f(−2)
SubstituteII
f(−2+h)=3h2−13h+21 och f(−2)=21
f′(−2)=h→0limh3h2−13h+21−21
SimpTerms
Förenkla termer
f′(−2)=h→0limh3h2−13h
FactorOut
Bryt ut h
f′(−2)=h→0limhh(3h−13)
SimpQuot
Förenkla kvot
f′(−2)=h→0lim(3h−13)
To
h→0
f′(−2)=0−13
SubTerm
Subtrahera term
f′(−2)=−13
Derivatan till f(x)=3x2−x+7 är alltså −13 när x=−2. En tolkning av detta är: "Lutningen till funktionen f(x)=3x2−x+7 i punkten där x=−2 är lika med −13."
Derivatans definition
Övningar
För funktionen f(t) vet man att
h→0limhf(1+h)−f(1)=−2.
Vilken av följande funktioner skulle f kunna vara?
ABCDf(t)=−2tf(t)=t2f(t)=3e5tf(t)=5t
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">D<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket liknar derivatans definition, så vi börjar med att titta på hur den ser ut. Vi byter plats på vänster- och högerled för tydlighetens skull: lim _(h→ 0)f(a+h)-f(a)/h=f'(a). Vi ser alltså att talet -2 motsvarar derivatan f'(a), dvs. lutningen i punkten där t=a. I vårt fall ser vi att t=1 eftersom täljaren är f(1+h)-f(1).
Med andra ord: vi söker en funktion för vilken lutningen är -2 där t=1. En typ av funktioner som har lutningen -2 i alla punkter, inklusive där t=1, är linjära funktioner med k-värdet -2. Av alternativen vi har att välja på är alternativ A det enda sådana alternativet. Alltså är svaret A.
security
report
code
Bestäm för vilket värde på x som funktionen f(x)=x3−5x+7 har derivatan −5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska använda derivatans definition för att hitta det tal, x=a, där derivatan till f(x) är -5. Eftersom derivatan är känd kan vi i definitionen byta ut f'(a) mot -5. Det ger ekvationen lim _(h → 0)f(a+h) - f(a)/h=-5. Vi specificerar hur första och andra termen i täljaren kommer se ut för funktionen f(x)=x^3-5x+7, och börjar med f(a+h).
För att bestämma andra termen, f(a), byter vi bara ut alla x i f(x) mot a.
Nu har vi förenklade uttryck för f(a+h) och f(a). Vi sätter in detta i ekvationens ändringskvot och förenklar den innan vi löser ekvationen.
Vi återgår nu till ekvationen som blir lim _(h → 0)(3a^2+3ah+h^2-5)=-5. När vi nu låter h gå mot 0 kommer både andra och tredje termen att närma sig 0, så de försvinner. Ekvationen blir därför en andragradsekvation som vi kan lösa genom att dra roten ur båda led.
Funktionen f(x)=x^3-5x+7 har derivatan -5 i punkten där x=0.
security
report
code
Ange för vilken funktion f man bestämmer derivatan när man beräknar gränsvärdet.
h→0limh4+h−2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{x}"]}}
h→0limh(−1+h)4−1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi jämför gränsvärdet med derivatans definition. f'(a)=&lim _(h → 0)f(a+h) - f(a)/h &=lim _(h→ 0)sqrt(4+h)-2/h a är beteckningen för det x-värde där derivatan beräknas. Genom att jämföra uttrycken i täljaren ser vi att insättningen f(a+h) verkar motsvaras av sqrt(4+h): f(a+h)=sqrt(4+h). Värdet på a är alltså 4, och funktionen drar roten ur argumentet vilket uttrycks som f(x)=sqrt(x). Det stämmer även med att f(a)=2, eftersom sqrt(4)=2. Funktionen är alltså f(x) och man beräknar derivatan i x=4.
Vi tänker på samma sätt här. Vi jämför och ser att
f(a+h)=(-1+h)^4.
Utifrån detta kan vi dra slutsatsen att a=-1 och att den sökta funktionen är f(x)=x^4. Det stämmer även med att f(a)=1, eftersom (-1)^4=1. Funktionen är f(x)=x^4 och derivatan beräknas för x=-1.
security
report
code
Bestäm derivatan till f(x)=xA med hjälp av derivatans definition.
Nationella provet HT12 3b/3c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["A"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{A}{x^2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Derivatans definition är f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h Vi har fått funktionen f(x)= Ax. Vi bestämmer f(x+h) genom att ersätta x med x+h: f( x)=A/x och f( x+h)=A/x+h Nu har vi uttryck för f(x+h) och f(x) så vi kan använda derivatans definition.
Derivatan är f'(x)=- Ax^2.
security
report
code
Derivatans definition
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll