Derivatans definition

Vi använder uteslutningsmetoden och börjar med att sortera bort alla alternativ som inte föregås av ett gränsvärde där h → 0, eftersom själva principen för derivatans definition är att avståndet h mellan två punkter ska krympa. Då har vi kvar B, D och E. Vi jämför ändringskvoterna för dessa gränsvärden: &B: f(1+h)-f(1)/h &D: f(1-h)+f(1)/h &E: f(1+h)-f(1)/1+h-1. Både täljaren och nämnaren i en ändringskvot ska representera ett avstånd mellan två punkter, dvs. en differens. Ändringskvot D, vars täljare är en summa, uppfyller inte det kravet. Så då har vi B och E kvar, och vi ser att B:s täljare representerar skillnaden mellan y-värdena för punkterna (1, f(1)) och (1+h, f(1+h)). Om vi förenklar E:s ändringskvot, f(1+h)-f(1)/1+h-1 = f(1+h)-f(1)/h,

ser vi att den är likadan som för B. Alltså är det uttrycken B och E som definierar f'(1).

För att approximationen ska bli så bra som möjligt ska avståndet h vara så litet som möjligt, eftersom sekantens lutning då kommer närmast lutningen på tangenten till kurvan i (a,f(a)).

Av alternativen är det Δ y/h=f(a+0.001)-f(a)/0.001 som har det minsta värdet på h och som alltså ger bäst approximation av f'(a).

Derivatans definition lyder: f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h Här ersätter vi f med g och får då att g'(x)=lim_(h→ 0)g(x+h)-g(x)/h. Sätter vi in x=4 får vi att g'(4)=lim_(h→ 0)g(4+h)-g(4)/h. Nu delar vi in lösningen i olika delar där vi först förenklar ändringskvoten och sedan beräknar gränsvärdet.

Ändringskvoten

Vi börjar med att bestämma g(4).

Vi har alltså att g(4) är 8. Nu beräknar vi g(4+h).

Vi har alltså att g(4+h) är 0.5h^2+4h+8. Vi subtraherar nu g(4)=8 från detta och dividerar med h.

Täljaren förenklas alltså till 0.5h+4.

Gränsvärdet

Nu beräknar vi gränsvärdet för uttrycket när h går mot 0.

Vi har nu beräknat derivatan för g(x) i x=4, d.v.s. g'(4): g'(4)=4.

Derivatans definition för lutningen i en punkt där x=a är f'(a)=lim _(h→ 0)f(a+h)-f(a)/h. I det här fallet är vi intresserade av punkten där x=2. Sätter vi in det i definitionen får vi f'(2)=lim _(h→ 0)f(2+h)-f(2)/h. Vi gör ett steg i taget. Vi börjar med att bestämma f(2), därefter f(2+h) och sedan förenklar vi ändringskvoten innan vi bestämmer gränsvärdet.

Nu tar vi f(2+h).

Dags att förenkla ändringskvoten och beräkna gränsvärdet!

Enligt våra beräkningar blir f'(2)=3. Vi kontrollerar med räknaren genom att trycka på MATH och välja 8:nDeriv(.

Därefter skriver vi separerat med knappen , funktionsuttrycket, variabeln man ska derivera med avseende på (x) samt x-värdet 2. Avsluta med ENTER.

Vi ser då att vår uträkning stämmer med räknarens.

Nu ska vi göra samma sak igen, fast med en annan funktion: f(x)=3x^2. Det innebär att vi ställer upp gränsvärdet på samma sätt, f'(2)=lim _(h→ 0)f(2+h)-f(2)/h, men f(2+h) och f(2) kommer ge andra uttryck eftersom vi har en annan funktion.

Nu tar vi f(2+h).

I sista steget förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.

Vi får svaret f'(2)=12. Slutligen kontrollerar vi med räknaren precis som i förra deluppgiften.

Inget nytt i sista deluppgiften. Vi gör på samma sätt igen, fast för funktionen f(x)=x^2-1.

Nu tar vi f(2+h).

I sista steget förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.

Slutligen kontrollerar vi med räknaren.

Enligt derivatans definition kan derivatans värde i x=7 beräknas med gränsvärdet f'(7)=lim _(h→ 0)f(7+h)-f(7)/h. För att kunna använda derivatans definition behöver vi alltså bestämma funktionsvärdena f(7+h) och f(7). Vi börjar med att bestämma f(7).

Nu beräknar vi även f(7+h).

Slutligen ersätter vi f(7+h) och f(7) i derivatans definition med de funktionsvärden vi precis beräknat.

Vi gör samma sak igen, fast för g(x)=4x+2.

Nu bestämmer vi g(7+h).

Till sist förenklar vi ändringskvoten och beräknar gränsvärdet.

Även funktionen g(x)=4x+2 har alltså derivatan 4 i punkten där x=7.

Vi ser som sagt att båda funktionerna har derivatan 4 för x=7. Anledningen till det är att funktionerna är linjära, med samma riktningskoefficient, 4. f(x)=4x-9 ⇒ k=4 g(x)=4x+2 ⇒ k=4 Eftersom k-värdet för en rät linje är lutningen, dvs. derivatan, för linjen i alla punkter kommer funktionerna dessutom inte bara ha samma derivata i x=7 utan för alla x-värden. Detta syns ännu tydligare om man ritar upp graferna till funktionerna i ett koordinatsystem.

Lutningen på tangenten till f(x)=x^2 i punkten där x=1 är samma sak som funktionens derivata i punkten, dvs. f'(1). Genom att använda derivatans definition får vi gränsvärdet f'(1) = lim _(h → 0)f(1+h) - f(1)/h.

Detta beräknar vi stegvis, och börjar med termerna i täljaren, förslagsvis f(1).

Nu beräknar vi f(1+h).

Nu sätter vi in båda uttrycken i derivatans definition och förenklar.

Tangentens k-värde är alltså lika med 2.