body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2b

Kurs 2b Visa detaljer

5. Andragradsekvationer och antal lösningar

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

5.

Andragradsekvationer och antal lösningar

Den här lektionenen ger en djupgående förståelse för andragradsekvationer. Den förklarar hur lösningarna till en andragradsekvation kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen. Om funktionen har två nollställen har ekvationen två lösningar, har funktionen ett nollställe har den en lösning, även kallad dubbelrot. Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som komplexa tal. Lektionenen erbjuder även praktiska övningar för att stärka förståelsen avämnet.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	28 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Andragradsekvationer och antal lösningar

Sida av 7

När man löser andragradsekvationer kan man ibland hamna i en situation där man ska dra kvadratroten ur ett negativt tal. Man brukar då säga att ekvationen saknar lösningar. Men det finns s.k. imaginära tal som kan lösa dessa ekvationer. Dessa ingår inte i kursen men det betyder att det kan vara missvisande att säga att det inte finns några lösningar. Istället brukar man säga att ekvationen saknar reella rötter.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Dubbelrot
Antal lösningar till en andragradsekvation
Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Förkunskaper

$p q -$ formeln
Diskriminant
Nollställe
Komplexa tal

Koncept

Dubbelrot

Polynomekvationer kan ibland delas upp i en produkt av binom, så att binomen står i ena ledet och

0

i det andra, t.ex.

(x + 3) (x - 1) (x - 1) = 0 .

Om det finns någon rot som gör att två av binomen blir

0

kallas denna lösning för en dubbelrot. I ekvationen ovan finns två identiska binom,

x - 1,

som båda blir noll för roten

x = 1,

som då alltså är en dubbelrot. Grafiskt kan detta tolkas som att funktionen i ekvationens vänsterled tangerar, alltså nuddar men passerar inte,

x -

axeln när

x

är lika med

1 .

Koncept

Antal lösningar till en andragradsekvation

Lösningarna till en andragradsekvation på formen

a x^{2} + b x + c = 0

kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen

y = a x^{2} + b x + c .

Om funktionen har två nollställen har ekvationen

a x^{2} + b x + c = 0

två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Med hjälp av

p q

-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i

p q -

formeln:

(\frac{p}{2})^{2} - q .

Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den

0

har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna:

a

x^{2} - 2 x + 9 = 0

b

x^{2} - 4 x + 4 = 0 .

Ledtråd

a Bestäm diskriminanten. Om den är positiv finns det två reella lösningar. Om den är noll finns det en. Om den är negativ finns det inga.

b Bestäm diskriminanten. Om den är positiv finns det två reella lösningar. Om den är noll finns det en. Om den är negativ finns det inga.

Lösning

a Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i

p q -

x^{2} - 2 x + 9 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = - 2, q = 9$

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 9

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

(\frac{- 2}{2})^{2} - 9

Beräkna kvot

(- 1)^{2} - 9

Beräkna potens

1 - 9

Subtrahera term

- 8

Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

b Vi fortsätter likadant och ställer upp

p q -

formeln.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = - 4, q = 4$

x = - \frac{- 4}{2} \pm (\frac{- 4}{2})^{2} - 4

Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.

(\frac{- 4}{2})^{2} - 4

Beräkna kvot

(- 2)^{2} - 4

Beräkna potens

4 - 4

Subtrahera term

0

Diskriminantens värde är

0,

vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Koncept

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta $z) .$ För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas $i .$ Det definieras som det tal vars kvadrat är $- 1 .$

$i^{2} = - 1$

En följd av detta är att

i = - 1 .

Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av

i .

Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna

x = \pm - 25,

kan man skriva

- 25

som ett imaginärt tal:

- 25 = 25 i^{2} = (5 i)^{2} = 5 i .

Ekvationens rötter är alltså

x = \pm 5 i .

Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med

i .

$- a = a \cdot i$

Villkor: $a > 0$

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex.

z = 3 + 5 i

kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.

Exempel

Lös en andragradsekvation med imaginära rötter

Lös ekvationen

x^{2} + 16 = 0 .

Ledtråd

Följ processen för att lösa en enkel andragradsekvation. Kom ihåg att roten ur ett negativt tal ger imaginära lösningar.

Lösning

Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut

x^{2}

och drar roten ur båda led.

x^{2} + 16 = 0

$VL - 16 = HL - 16$

x^{2} = - 16

$VL = HL$

x = \pm - 16

Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.

x = \pm - 16

$- a = a \cdot i$

x = \pm 16 \cdot i

Beräkna rot

x = \pm 4 i

Ekvationens lösningar är alltså

x = - 4 i

och

x = 4 i .

Exempel

Räkna med komplexa tal

Utför följande beräkningar:

a

- 36

b

(8 i)^{2}

c

(2 + 4 i) + (1 - i)

Ledtråd

a Förenkla med definitionen av imaginära tal.

b Använd att

i^{2} = - 1 .

c Addera reella och imaginära delar var för sig.

Lösning

a Vi använder vanliga räknelagar samt definitionen av det imaginära talet

i

för att förenkla.

- 36

$- a = a \cdot i$

36 \cdot i

Beräkna rot

6 i

b I nästa tal utnyttjar vi att

i^{2}

är lika med

- 1 .

(8 i)^{2}

$(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$

64 i^{2}

$i^{2} = - 1$

64 \cdot (- 1)

Multiplicera faktorer

- 64

Kvadraten av ett imaginärt tal blir alltså ett negativt reellt tal.

c I sista talet adderar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.

(2 + 4 i) + (1 - i)

Ta bort parentes

2 + 4 i + 1 - i

Omarrangera termer

2 + 1 + 4 i - i

Addera och subtrahera termer

3 + 3 i

Andragradsekvationer och antal lösningar

Övningar

Om man beräknar

i

får man ett komplext tal med positiv reell del. Bestäm det komplexa talet.

Vi antar att det finns ett komplext tal a + bi som är kvadratroten ur i. Då ska kvadraten av detta tal ge i, alltså (a + bi)^2 = i. Vi utvecklar parentesen med andra kvadreringsregeln och kommer ihåg att i^2 = - 1.

Vi har nu ett komplext tal i vänsterledet och ett i högerledet, och genom att jämföra de reella och imaginära delarna kan vi lösa ut a och b. Vi börjar med att jämföra de reella delarna. I vänsterledet är a^2 - b^2 den reella delen och i högerledet finns det ingen sådan del, så den är 0. Vi sätter dessa lika med varandra.

Vi likställer sedan de imaginära delarna, alltså det som står framför i, vilket ger 2ab = 1. Om man multiplicerar 2ab och får det talet 1 måste a och b ha samma tecken. Det betyder att a = - b inte är en lösning till ursprungsproblemet och därför måste a=b. Vi sätter in detta och löser ut a.

Nu vet vi att a = b = 1/sqrt(2). Sätter vi in detta i vårt komplexa tal, a + bi, får vi sqrt(i) = 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2)i.

Andragradsekvationer och antal lösningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll