{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Icke-linjära ekvationer

Välj kurs
Matte 2a
Icke-linjära ekvationer
Andragradsekvationer och antal lösningar

Andragradsekvationer och antal lösningar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
När man löser andragradsekvationer kan man ibland hamna i en situation där man ska dra kvadratroten ur ett negativt tal. Man brukar då säga att ekvationen saknar lösningar. Men det finns s.k. imaginära tal som kan lösa dessa ekvationer. Dessa ingår inte i kursen men det betyder att det kan vara missvisande att säga att det inte finns några lösningar. Istället brukar man säga att ekvationen saknar reella rötter.
Begrepp

Antal lösningar till en andragradsekvation

Lösningarna till en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen y=ax2+bx+c. y=ax^2+bx+c. Om funktionen har två nollställen har ekvationen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Två nollställen

Ett nollställe

Inga nollställen

Med hjälp av pqpq-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i pqpq-formeln: (p2)2−q. \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q. Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den 00 har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation
Uppgift

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna: x2−2x+9=0ochx2−4x+4=0. x^2-2x+9=0 \quad \text{och} \quad x^2-4x+4=0.

Lösning

Vi tittar på en ekvation i taget.

Exempel

x2−2x+9=0x^2-2x+9=0

Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pqpq-formeln.
x2−2x+9=0x^2-2x+9=0
Använd pqpq-formeln: p=-2,q=9p = {\color{#0000FF}{\text{-}2}}, \, q={\color{#009600}{9}}
x=--22±(-22)2−9x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{9}}}

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

(-22)2−9\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-9
Beräkna kvot
(-1)2−9(\text{-}1)^2-9
Beräkna potens
1−91-9
Förenkla termer
-8\text{-} 8
Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.
Exempel

x2−4x+4=0x^2-4x+4=0

Vi fortsätter likadant och ställer upp pqpq-formeln.
x2−4x+4=0x^2-4x+4=0
Använd pqpq-formeln: p=-4,q=4p = {\color{#0000FF}{\text{-}4}}, \, q={\color{#009600}{4}}
x=--42±(-42)2−4x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}
Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.
(-42)2−4\left(\dfrac{\text{-}4}{2}\right)^2-4
Beräkna kvot
(-2)2−4(\text{-} 2)^2-4
Beräkna potens
4−44-4
Förenkla termer
00

Diskriminantens värde är 0,0, vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många lösningar har andragradsekvationerna?

a

x2−20x+100=0x^2-20x+100=0

b

x2+2x−8=0x^2+2x-8 = 0

c

x2−10x+33=0x^2-10x+33 = 0

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm antalet lösningar till andragradsekvationerna.

a

x2−58x−1760=0x^2-58x-1760 = 0

b

x2−4x+4=0x^2-4x+4 = 0

c

x2−x+20=0x^2-x+20 = 0

d

2x2+4x−18=02x^2+4x-18=0

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många lösningar har andragradsekvationerna?

a

x2−4x+11=0x^2-4x+11 = 0

b

2x2−92x+67=02x^2-92x+67=0

a

x24+35x−8=10\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3}{5}x-8 = 10

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är graferna till tre andragradsfunktioner ritade.

Använd graferna för att bestämma hur många lösningar följande ekvationer har.

a

(x+5)(x+3)−4=0(x+5)(x+3)-4=0

b

0.4(x−2)2=00.4(x-2)^2=0

c

-0.5x2+x−2=0\text{-}0.5x^2+x-2=0

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan finns tre ekvationer och fyra påståenden.

ID2515.svg

Para ihop var och en av ekvationerna med korrekt påstående.

Nationella provet VT13 2a
 Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Claes säger att han direkt kan avgöra, utan att beräkna diskriminanten, hur många rötter följande ekvationer har. Hur kan Claes ha tänkt, och hur många reella rötter har ekvationerna?

a

(x−5)(x+2)=0(x-5)(x+2)=0

b

(x−3)(x−3)=0(x-3)(x-3)=0

c

(x−7)(x−7)+5=0(x-7)(x-7)+5=0

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till andragradsfunktionerna f(x),f(x), g(x)g(x) och h(x)h(x) är inritade i koordinatsystemet.

Para ihop rötterna med ekvationerna f(x)=0,f(x)=0, g(x)=0g(x)=0 och h(x)=0.h(x)=0. x1=-4x2=-3x3=1x4=2x5=4\begin{aligned} &x_1=\text{-}4 \\ &x_2=\text{-}3 \\ &x_3=1 \\ &x_4=2 \\ &x_5=4 \\ \end{aligned}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rachel ska bestämma sidan xx i triangeln.

Uppg1190 1.svg

Med Pythagoras sats ställer hon upp ekvationen x2+(x+2)2=100.x^2+(x+2)^2=100. Hur många lösningar har ekvationen?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett tunt snöre är 2424 m långt. Snöret kan formas till olika geometriska figurer.

En triangel och två kvadrater


a

Hela snöret formas till en liksidig triangel, se Figur 1.1. Bestäm triangelns area.

b

Snöret delas sedan i två olika långa delar. Av varje del formas en kvadrat, se Figur 2.2. Undersök om det är möjligt att kvadraterna tillsammans får arean 17 m2.17\text{ m}^2.

Nationella provet VT12 2b/2c
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilket eller vilka värden på tt kommer x2+tx+t=0x^2+tx+t=0 ha endast en rot?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge exempel på en andragradsekvation på formen x2+px+q=0x^2+px+q=0 som har


a

en reell lösning.

b

två reella lösningar.

c

inga reella lösningar.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Graferna till funktionerna f(x)=x2+2x−3f(x)=x^2+2x-3 och g(x)=-x2+4x+cg(x)=\text{-} x^2+4x+c skär varandra i exakt en punkt.


a

Bestäm den reella konstanten c.c.

b

Bestäm skärningspunkten.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka värden kan konstanten mm ha för att graferna till funktionerna y=x2+3.7ochy=2x+m y=x^2+3.7 \quad \text{och} \quad y=2x+m inte ska skära varandra?

Nationella provet HT13 2a
3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För andragradsfunktionen ff gäller att f(x)=-0.5x2+bx−2. f(x)=\text{-} 0.5x^2+bx-2.

a

Visa att grafen till ff går genom punkten (0,-2)(0,\text{-} 2) oavsett värde på b.b.

b

Bestäm för vilka värden på bb som ff endast har ett nollställe. För en annan andragradsfunktion gg gäller att g(x)=-0.5x2+bx−c. g(x)=\text{-} 0.5x^2+bx-c.


c

Bestäm vilket samband som ska gälla mellan bb och cc för att gg endast ska ha ett nollställe.

Nationella provet VT15 2a
 Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}