Andragradsekvationer och antal lösningar

När man löser andragradsekvationer kan man ibland hamna i en situation där man ska dra kvadratroten ur ett negativt tal. Man brukar då säga att ekvationen saknar lösningar. Men det finns s.k. imaginära tal som kan lösa dessa ekvationer. Dessa ingår inte i kursen men det betyder att det kan vara missvisande att säga att det inte finns några lösningar. Istället brukar man säga att ekvationen saknar reella rötter.

Begrepp

Antal lösningar till en andragradsekvation

Lösningarna till en andragradsekvation på formen $ax^2+bx+c=0$ kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen $y=ax^2+bx+c.$ Om funktionen har två nollställen har ekvationen $ax^2+bx+c=0$ två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Två nollställen

Ett nollställe

Inga nollställen

Med hjälp av $pq$ -formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i $pq$ -formeln: $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q.$ Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den $0$ har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Uppgift

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna: $x^2-2x+9=0 \quad \text{och} \quad x^2-4x+4=0.$

Lösning

Vi tittar på en ekvation i taget.

Exempel

$x^2-2x+9=0$

Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i

pq

-formeln.

x^2-2x+9=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-}2}}, \, q={\color{#009600}{9}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}2}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{9}}}

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-9

Beräkna kvot

(\text{-}1)^2-9

Beräkna potens

1-9

Förenkla termer

\text{-} 8

Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

Exempel

$x^2-4x+4=0$

Vi fortsätter likadant och ställer upp

pq

-formeln.

x^2-4x+4=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-}4}}, \, q={\color{#009600}{4}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}

Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.

\left(\dfrac{\text{-}4}{2}\right)^2-4

Beräkna kvot

(\text{-} 2)^2-4

Beräkna potens

4-4

Förenkla termer

0

Diskriminantens värde är $0,$ vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Visa lösning

Andragradsekvationer och antal lösningar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Antal lösningar till en andragradsekvation

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

$x^2-2x+9=0$

$x^2-4x+4=0$

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Icke-linjära ekvationer

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}