Andraderivatan: Utforska Konkavitet och Konvexitet i Funktioner

	Funktionsuttryck
Funktion	$f (x) = x^{3}$
Förstaderivata	$f^{'} (x) = 3 x^{2}$
Andraderivata	$f^{''} (x) = 6 x$

Funktionsuttryck

Funktion

f (x) = x^{3}

Förstaderivata

f^{'} (x) = 3 x^{2}

Andraderivata

f^{''} (x) = 6 x

$x$		$0$		$3$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	$Min$	$↗$	Ter.	$↗$

x

0

3

f^{'} (x)

-

0

+

0

+

f (x)

↘

Min

↗

Ter.

↗

$x -$ value	$f^{''} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 9$	Sign
$1$	$f^{''} (1) = 3 (1)^{2} - 2 (1) - 9 = - 8$	$-$
$3$	$f^{''} (3) = 3 (3)^{2} - 2 (3) - 9 = 12$	$+$
$- 3$	$f^{''} (- 3) = 3 (- 3)^{2} - 2 (- 3) - 9 = 24$	$+$

x -

value

f^{''} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 9

Sign

1

f^{''} (1) = 3 (1)^{2} - 2 (1) - 9 = - 8

-

3

f^{''} (3) = 3 (3)^{2} - 2 (3) - 9 = 12

+

- 3

f^{''} (- 3) = 3 (- 3)^{2} - 2 (- 3) - 9 = 24

+

$x -$ value	$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 9 x$	Point	Character
$1$	$f (1) = \frac{1}{4} (1)^{4} - \frac{1}{3} (1)^{3} - \frac{9}{2} (1)^{2} + 9 (1) = \frac{5 3}{1 2}$	$(1, \frac{5 3}{1 2})$	Local maximum
$3$	$f (3) = \frac{1}{4} (3)^{4} - \frac{1}{3} (3)^{3} - \frac{9}{2} (3)^{2} + 9 (3) = - \frac{9}{4}$	$(3, - \frac{9}{4})$	Local minimum
$- 3$	$f (- 3) = \frac{1}{4} (- 3)^{4} - \frac{1}{3} (- 3)^{3} - \frac{9}{2} (- 3)^{2} + 9 (- 3) = - \frac{1 5 3}{4}$	$(- 3, - \frac{1 5 3}{4})$	Local minimum

x -

value

f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 9 x

Point

Character

1

f (1) = \frac{1}{4} (1)^{4} - \frac{1}{3} (1)^{3} - \frac{9}{2} (1)^{2} + 9 (1) = \frac{5 3}{1 2}

(1, \frac{5 3}{1 2})

Local maximum

3

f (3) = \frac{1}{4} (3)^{4} - \frac{1}{3} (3)^{3} - \frac{9}{2} (3)^{2} + 9 (3) = - \frac{9}{4}

(3, - \frac{9}{4})

Local minimum

- 3

f (- 3) = \frac{1}{4} (- 3)^{4} - \frac{1}{3} (- 3)^{3} - \frac{9}{2} (- 3)^{2} + 9 (- 3) = - \frac{1 5 3}{4}

(- 3, - \frac{1 5 3}{4})

Local minimum

Vi börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (- 0, 4 x^{4}) + D (2 x^{3}) + D (3)

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2} + D (3)

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

Vi sätter nu derivatan lika med $0$ och löser ekvationen. På detta sätt hittar vi $x -$ värdena till funktionens stationära punkter.

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

Substitute

$f^{'} (x) = 0$

0 = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

- 1, 6 x^{3} + 6 x^{2} = 0

Denna ekvation löser vi enklast med nollproduktmetoden eftersom vi kan bryta ut $x^{2} .$

- 1, 6 x^{3} + 6 x^{2} = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x^{2} (- 1, 6 x) + x^{2} \cdot 6 = 0

FactorOut

Bryt ut $x^{2}$

x^{2} (- 1, 6 x + 6) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x^{2} = 0 - 1, 6 x + 6 = 0 (I) (II)

SqrtEqn

$(I):$ $VL = HL$

x = \pm 0 - 1, 6 x + 6 = 0

SimpRadicalTerm

$(I):$ Förenkla rot & termer

x = 0 - 1, 6 x + 6 = 0

SubEqn

$(II):$ $VL - 6 = HL - 6$

x = 0 - 1, 6 x = - 6

DivEqn

$(II):$ $VL / (- 1, 6) = HL / (- 1, 6)$

x = 0 x = \frac{- 6}{- 1 , 6}

UseCalc

$(II):$ Slå in på räknare

x_{1} = 0 x_{2} = 3, 75

Lösningarna till $f^{'} (x) = 0$ är alltså $x = 0$ och $x = 3, 75,$ och det är för dessa $x -$ värden som funktionen har stationära punkter. Genom att bestämma andraderivatans tecken i punkterna kan vi nu avgöra deras karaktär, dvs. om de är maximi,- minimi- eller terrasspunkter. Vi deriverar därför funktionen ytterligare en gång.

f^{'} (x) = - 1, 6 x^{3} + 6 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{''} (x) = D (- 1, 6 x^{3}) + D (6 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{''} (x) = - 4, 8 x^{2} + 12 x

Vi sätter nu in $x -$ värdena $0$ och $3, 75$ för att bestämma andraderivatans tecken i dessa punkter.

f^{''} (x) = - 4, 8 x^{2} + 12 x

Substitute

$x = 0$

f^{''} (0) = - 4, 8 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0

CalcPow

Beräkna potens

f^{''} (0) = - 4, 8 \cdot 0 + 12 \cdot 0

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{''} (0) = 0

När $x = 0$ är alltså andraderivatan $0 .$ Vi räknar sedan ut andraderivatan för $x = 3, 75 .$

f^{''} (x) = - 4, 8 x^{2} + 12 x

Substitute

$x = 3, 75$

f^{''} (3, 75) = - 4, 8 \cdot 3, 75^{2} + 12 \cdot 3, 75

UseCalc

Slå in på räknare

f^{''} (3, 75) = - 22, 5

Andraderivatan är alltså negativ när $x = 3, 75,$ vilket innebär att det finns en maximimipunkt där. När $x = 0$ är andraderivatan istället $0,$ och då vet vi inte vilken sorts stationär punkt som finns där. För att avgöra det blir vi tvungna att göra en teckentabell runt $x = 0 .$ Vi väljer ett $x -$ värde som är lägre än $0,$ t.ex. $- 1,$ och ett som ligger mellan $x = 0$ och $x = 3, 75,$ t.ex. $1$ och undersöker derivatans tecken för dem.

$x$	$f^{'} (x)$	$=$	Tecken
$- 1$	$- 1, 6 \cdot (- 1)^{3} + 6 \cdot (- 1)^{2}$	$7, 6$	$+$
$1$	$- 1, 6 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2}$	$4, 4$	$+$

Vi får att derivatan är positiv både till vänster och höger om den punkt där $x$ är $0,$ och kan sammanställa detta i en teckentabell.

$x$		$0$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Ter.	$↗$

Funktionen har alltså en terrasspunkt där $x$ är $0 .$ Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan vi bortse från denna när vi nu bestämmer koordinaterna för extrempunkterna vi har hittat. Vi tar alltså bara hänsyn till maximipunkten i $x = 3, 75 .$ För att bestämma $y -$ värdet sätter vi in $x = 3, 75$ i funktionen $f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3 .$

f (x) = - 0, 4 x^{4} + 2 x^{3} + 3

Substitute

$x = 3, 75$

f (3, 75) = - 0, 4 \cdot 3, 75^{4} + 2 \cdot 3, 75^{3} + 3

UseCalc

Slå in på räknare

f (3, 75) = 29, 3671875

RoundDec

Avrunda till $2$ decimal(er)

f (3, 75) \approx 29, 37

Funktionens enda extrempunkt är alltså maximipunkten med koordinaterna $(3, 75; 29, 37) .$

Andraderivata

Förkunskaper

Konvex och konkav

Inflexionspunkt

Var är funktionen konvex och var är den konkav?

Ledtråd

Lösning

Andraderivata

Finding the second derivative

Andraderivata i stationära punkter

Bestämma extrempunkter med första- och andraderivata

Determining Extreme Points with the First and Second Derivatives

Ledtråd

Lösning

Bestäm extrempunkter med första- och andraderivata

Ledtråd

Lösning

Finding stationary points of a function

Andraderivata

Rekommenderade uppgifter

	11 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.