Volym och begränsningsarea av cylindrar, koner och klot Åk 8

Låt oss räkna ut ytan av den givna fågelburen. För att göra detta kommer vi först att räkna ut ytan av den cylindriska delen och sedan ytan av den hemisfäriska delen.

Den cylindriska delen består av en rektangulär lateralyta och en cirkulär bottenyta. Den cirkulära topplattan täcks av hemisfären av burens topp, så vi kan skriva en ekvation för ytan av den cylindriska delen av buren som följer. SA_c=2π r h +π r^2 Nästa steg är att betrakta den hemisfäriska delen. Kom ihåg att ytan av en hemisfär är hälften av ytan av klotet med samma radie och arean av den cirkulära basen. Vi kan ignorera denna bas eftersom den täcks av den övre delen av den cylindriska delen av buren. SA_h=2π r^2 Låt oss lägga samman dessa formler för att skapa en ekvation för fågelburens totala yta. SA=2π r h +π r^2+2π r^2 ⇓ SA=2π r l +3π r^2 Till slut ersätter vi r= 18 och h= 45 i formeln för att beräkna den totala ytan av fågelburen.

Ytan av den givna fågelburen är ungefär 8 143 kvadratcentimeter.

Denna gång kommer vi att räkna ut volymen av denna bur. För att göra detta kommer vi att räkna summan av volymerna av den cylindriska delen och den hemisfäriska delen. V= V_c+ V_h Volymen av en cylinder är produkten av arean av dess cirkulära bas och höjd. Volymen av en hemisfär är hälften av volymen av ett klot med samma radie. V= π r^2 h+ 2/3π r^3 Låt oss nu ersätta r= 18 och h= 45 i denna formel.

Volymen av fågelburens är cirka 58 019 kubikcentimeter.

Lägg först märke till att glasbehållaren är formad som en cylinder. Vi kan hitta volymen av behållaren som inte upptas av tennisbollarna genom att subtrahera deras totala volym från cylinderns volym. Börja med att hitta behållarens volym. Eftersom det finns tre tennisbollar ovanpå varandra kommer cylinderns höjd att vara 3 gånger 2r.

Kom ihåg att volymen av en cylinder är produkten av dess bas area och höjd. V_c=π r^2 h Låt oss ersätta h= 6r i formeln.

Nu ska vi hitta volymen av tre tennisbollar. Tennisbollar är formade som klot. V_b=4/3π r^3 ⇓ V_(3b)= 3 * 4/3π r^3 = 4π r^3 Eftersom det finns tre tennisbollar, är den totala volymen de upptar 4π r^3. Om vi subtraherar denna volym från volymen av cylindern kan vi hitta volymen som inte är upptagen av tennisbollarna. 6π r^3- 4π r^3=2π r^3 Lägg märke till att radien på en tennisboll också är lika med radien på den cylindriska behållaren. Vi får veta att denna radie är 3,4 centimeter, så vi kommer att substituera r= 3,4 i formeln och förenkla.

Vi fann att volymen av glasbehållaren som inte upptas av tennisbollarna är ungefär 247 kubikcentimeter.

Låt oss noggrant överväga de två givna fallen.

• Fall 1: Fördubbla radien på konen
• Fall 2: Fördubbla sidohöjden på konen

Att förstå hur dessa förändringar påverkar begränsningsarean av konen kan hjälpa oss att avgöra vilken som ökar begränsningsarean mest. Låt oss påminna oss om formeln för begränsningsarean av en kon. SA=π r^2+π r l Kom ihåg att en kons begränsningsarea består av dess cirkulära bas och dess mantelyta.

Fall 1: Fördubbla radien av en kon

Låt oss ersätta r= 2r i den ursprungliga formeln för begränsningsarean.

Fall 2: Fördubbla den sneda höjden

Ersätt l= 2l i formeln för begränsningsarean härnäst. SA=π r^2+π r( 2 l) ⇓ SA=π r^2+2 π r l

Vilken ökar begränsningsarean mest?

Låt oss se hur formeln SA=π r^2+π r l har förändrats i båda fallen.

Båda uttrycken inkluderar termen 2π r l, så låt oss fokusera på den andra termen i uttrycken. Eftersom 4π r^2 är större än π r^2, kan vi dra slutsatsen att en fördubbling av konens radie leder till en större yta. Låt oss hitta skillnaden!

Ytan av en kon med fördubblad radie kommer att vara 3π r^2 större än ytan av konen med fördubblad sidohöjd.

Vi vill beräkna begränsningsarean av det givna diagrammet. Observera att figuren ser ut som en cylinder med en del som saknas. Därför består dess begränsningsarea av 75 % av begränsningsarean av en full cylinder plus areorna av två laterala rektanglar.

Låt oss först beräkna areorna av rektanglarna. Radien av cylindern är 15 centimeter och dess höjd är 3 centimeter, så längden av varje rektangel är 15 centimeter och bredden är 3 centimeter. \begin{gathered} A_\text{Rektangel}=3 \cdot 15 =45 \end{gathered} Arean av en rektangel är 45 kvadratcentimeter. Nu ska vi beräkna begränsningsarean av den fulla cylindern. Kom ihåg att begränsningsarean av en cylinder består av areorna av basen och toppen av cirklarna samt mantelytan. SA=2π r h +2π r^2 Vi vet att r= 15 och h= 3. Låt oss ersätta dessa värden i formeln.

Begränsningsarean av en full cylinder med samma radie och höjd är 540π kvadratcentimeter. Nu ska vi beräkna 75 % av denna area.

Till sist kommer vi att lägga till areorna av de två rektanglarna till denna area för att hitta den totala begränsningsarean av det partiella diagrammet. 1 272+2 *45 =1 362 Den totala begränsningsarean av det givna diagrammet är cirka 1 362 kvadratcentimeter.

Denna gång ska vi beräkna volymen av detta partiella diagram. För att göra det kommer vi först att beräkna volymen av den fulla cylindern, och sedan hitta 75 % av den. Kom ihåg att volymen av en cylinder är produkten av arean av dess bas och höjd. V=π r^2h Låt oss ersätta r= 15 och h= 3 i formeln och förenkla.

Nu ska vi hitta 75 % av volymen av den fulla cylindern.

Volymen av det givna partiella diagrammet är cirka 1 590 kubikcentimeter.