Begränsningsarea Klot

För att hitta begränsningsarean av ett klot kommer denna informella motivering att använda areorna och volymerna av kända figurer. Den inkluderar en approximation av förhållandet mellan ett klots begränsningsarea och dess volym. Anta att ett klot är fyllt med n pyramider av samma dimensioner. Arean av basen av varje pyramid är B.

Volymen av en pyramid är en tredjedel av basens area multiplicerat med höjden. Här, eftersom basen av pyramiden ligger på ytan av klotet, är höjden av pyramiden lika med radien r av klotet. V_(pyramid) &= 1/3Bh &⇓ V_(pyramid) &= 1/3Br Förhållandet mellan arean av basen av pyramiden och dess volym kan erhållas genom att dela B med formeln för volymen.

Detta förhållande är lika med förhållandet mellan areorna av baserna av n pyramider och deras volymer.

Eftersom dessa pyramider fyller hela klotet, är summan av alla pyramidernas basareor lika med begränsningsarean av klotet. Dessutom är summan av volymerna av alla pyramider ungefär lika med volymen av klotet. \begin{aligned} SA_{\text{klot}} &= {\color{#4B7290}{n}}\cdot A_{\text{pyramidbas}} \\ V_\text{klot} &= {\color{#4B7290}{n}}\cdot V_{\text{pyramid}} \end{aligned} Med tanke på dessa förhållanden är förhållandet mellan ytan av klotet och dess volym detsamma som förhållandet mellan areorna av baserna av pyramiderna och deras volymer. SA_(klot)/V_(klot) &= n* A_(pyramidbas)/n* V_(pyramid) [0.5em] &⇓ SA_(klot)/V_(klot) &= 3/r Slutligen, ersätt formeln för volymen av ett klot i detta förhållande för att hitta formeln för klotets begränsningsarea.

Som nämnts tidigare är detta en informell motivering för denna formel och inte ett formellt bevis.