MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
8
Årskurs 8 Visa detaljer
3. Tredimensionella figurer Åk 8
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
Matematik 8 /
Kapitel 3
3. 

Tredimensionella figurer Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
14 sidor teori
8 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Tredimensionella figurer Åk 8
Sida av 14
Vardagliga föremål som tärningar, läskburkar och byggnader kan likna tvådimensionella figurer, men de har ytterligare egenskaper som skiljer dem från former. Denna lektion kommer att identifiera vad som skiljer dessa figurer från former och utforska några vanliga objekt genom följande koncept.
  • Tredimensionell figur
  • Prisma
  • Rätblock
  • Kub
  • Pyramid
  • Cylinder
  • Kon
  • Kon

Förkunskaper
Utforska

Från en till tre dimensioner

Tänk på en endimensionell figur, som en sträcka. Egenskapen som utmärker en sträcka är dess längd, som kan mätas i till exempel centimeter.
En applikation som visar en 12 cm horisontell sträcka. Två knappar nedanför gör att man kan öka eller minska linjens längd, vilket visar förändring i bara en dimension.
För att ordentligt beskriva tvådimensionella figurer, som exempelvis rektanglar, måste både längden och bredden nämnas. En annan viktig egenskap hos tvådimensionella figurer är arean. Arean av en figur är ytan figuren täcker på en plan yta. Area mäts i kvadratenheter som till exempel kvadratcentimeter.
En applikation som visar en rektangel. Initiala mått: 14 cm längd, 3 cm bredd, 42 kvadratcentimeter area. Fyra knappar gör det möjligt att justera längd och bredd (märkta +/-), med automatisk uppdatering av arean.
Förutom längd och bredd så kommer en tredje dimension, höjd, nu att införas. Det ger en tredimensionell figur. Använd applikationen nedan för att skapa en tredimensionell figur. En tredimensionell figur brukar även kallas för geometrisk kropp, eller endast kropp.
Interaktiv 3D-applikation som visar en initial kvadratisk form. Startdimensioner: 11 cm längd, 8 cm bredd. Sex knappar (märkta +/-) tillåter justering av längd, bredd och höjd oberoende av varandra. Höjdjustering omvandlar den 2D-kvadratiska formen till en 3D-figur.
Fundera över följande innan du går vidare.
  • Vad kallas den här geometriska kroppen, som består av ett lager rektanglar?
  • Hur kan man beräkna utrymmet som upptas av en kropp?
  • I vilka enheter uttrycks utrymmet som upptas av en kropp?
Teori

Lägga till djup i former

Man kan bilda en linje genom att ansluta två punkter, och man kan skapa tvådimensionella figurer genom att ansluta linjer. Att lägga till tjocklek till dessa välbekanta tvådimensionella figurer ger dem djup, och omvandlar dem till helt nya geometriska former.

Koncept

Geometrisk kropp

Alla månghörningar och cirklar är figurer med två dimensioner. De breder ut sig i två riktningar. Om en tredje dimension läggs till bildas geometriska kroppar. Geometriska kroppar är tredimensionella figurer eftersom de breder ut sig i tre riktningar.

Förutom längd och bredd har tredimensionella figurer även höjd, som också kan kallas tjocklek eller djup. Vad den dimensionen kallas beror på vilken figur det gäller.

Ett rätblock med längd, bredd och höjd markerade
Teori

Att sträcka ut former: Från platt form till geometrisk kropp

Föreställ dig en platt form som dras rakt upp, ungefär som att sträcka ett gummiband. Formen lämnar ett spår när den rör sig och bildar en geometrisk kropp där den övre ytan och nedre ytan är likadana.

Koncept

Prisma

Ett prisma är en tredimensionell figur med två likadana polygon som basyta. Dessa två basytor är sammankopplade med rektangulära sidoytor. En kant är där två ytor möts, och hörn är där kanter möts. Prismats höjd är det vinkelräta avståndet mellan basytorna.
Interaktivt diagram av ett pentagonalt prisma, med markerade element inklusive höjd, kanter och hörn för att demonstrera prismats struktur.
Det totala antalet ytor ett prisma har är summan av antalet basytor och antalet sidoytor.
Teori

Olika prismor

Prismor kan delas in i kategorier utefter formen på deras basytor. Ett vanligt prisma är rätblocket, som har en rektangulär basyta.

Koncept

Rätblock

En rektangel har två dimensioner, längd och bredd. Om vi lägger till en tredje dimension, höjd, får vi ett så kallat rätblock. Anledningen till att det kallas för ett rätblock är att vinklarna mellan alla ytor är räta. Den yta som rätblocket står på kallas för basyta.
A 3d rectangular prism
Ett glasspaket kan ha formen av ett rätblock. Det betyder att alla sidoytor och basytan är rektanglar. Din mattebok har också formen av ett rätblock när den är hopslagen.
Teori

Kub

Om alla ytor i ett rätblock är kvadrater så kallas rätblocket för en kub.
En 3D-kub
En tärning, utan rundade hörn, är ett exempel på en kub.
Teori

Triangulära underverk: Från forntid till modern tid

Glaspyramiden vid Louvren har triangulära sidor som möts i en spets. Denna form finns även i naturen i form av berg och i forntida byggnader och monument. Det mest kända exemplet är troligen de egyptiska pyramiderna, där en bred bas smalnar av till en spets.

Koncept

Pyramid

En pyramid är en tredimensionell figur med en polygon basyta som smalnar av till en punkt som kallas för pyramidens spets. Pyramider är uppkallade efter formen på deras basyta, som kan vara vilken polygon som helst. Pyramidens sidor är triangulära ytor som möts vid spetsen. Dessa ytor kallas sidoytor. Pyramidens höjd är den vinkelräta sträckan som sammankopplar spetsen med basen.
Pyramid

Den vinkelräta sträckan mellan basen och spetsen längs med sidoytan kallas för pyramidens sneda höjd.

Exempel

Hitta former i mörkret

Alex är i ett mörkt rum med gömda föremål. Med hjälp av en laserpekare kan Alex se deras konturer.
Bilder av den inre delen av tre olika fasta kroppar skannade av en laser i ett mörkt rum
Hjälp Alex att matcha varje form med sitt rätta namn.

Ledtråd

En kub har kvadratiska ytor och lika långa kanter, medan ett rätblock har rektangulära ytor där motsatta sidor är likadana. En pyramid sticker ut eftersom den bara har en basyta, och triangulära ytor som möts i en spets.

Lösning

Alex måste identifiera det rätta namnet på varje kropp genom att använda konturerna som visas av en laser. Varje kropp kommer att matchas med sitt rätta namn genom att noggrant studera konturens form och egenskaper, en i taget.

Kropp

Börja med att titta på konturen av den första kroppen.
Bild av det inre området av en annan fast kropp skannad av lasern i ett mörkt rum.
När lasern rör sig kan en basyta formad som en femhörning urskiljas. Basen minskar i jämn takt storlek tills den blir en enda punkt på toppen. En punkt där alla sidor möts kallas en spets. Baserat på dessa konturer måste sidoytorna vara triangulära, även om sidorna inte är direkt synliga när man lyser med lasern.
En pyramid

Det betyder att den här kroppen är en pyramid.

Kropp

Betrakta nu konturen av den andra kroppen.
Bild av det inre området av en annan fast form skannad av lasern i ett mörkt rum
Den här kroppen har en rektangulär basyta. Formen av kroppen ändras inte när lasern rör sig uppåt och tills den försvinner ur sikte. Det betyder att den övre delen av kroppen är en rektangel lika stor som basytan — kroppen behåller alltså den rektangulära formen från botten till toppen.
Ett rätblock

Det betyder att den här kroppen är ett rätblock.

Kropp

Titta på den sista konturen.
Bild av det inre området av en annan fast kropp skannad av lasern i ett mörkt rum.
Den här kroppen börjar med en kvadratisk bas som förblir oförändrad när lasern rör sig, ända tills lasern inte träffar kroppen längre. Det tyder på att den övre delen av kroppen är en kvadrat som är likadan som basen. Det verkar även som att sidoytorna på den här kroppen också är kvadrater.
En kub

Det här är en kub, eftersom alla ytor är kvadrater och alla kanter har samma längd.

Teori

Kroppar med böjda sidor

Medan prismor och pyramider är uppbyggda av plana ytor, så har vissa tredimensionella former böjda sidor eller ytor. Detta öppnar upp en helt ny värld av geometriska kroppar att utforska och förstå.

Koncept

Cylinder

En cylinder är en tredimensionell kropp som har två, oftast cirkulära, basytor. Dessa basytor är parallella och lika stora, och även sammankopplade av en rundad yta. Denna rundade yta kallas för cylinderns mantelyta.
En cylinder där båda baserna är identifierade
Höjden av cylindern är det vinkelräta avståndet mellan de två parallella basytorna. Radien av cylindern är radien på en av baserna.
Teori

Kon

En kon är en tredimensionell figur som byggs upp av en cirkulär basyta ansluten till en enda punkt, som kallas figurens spets. Den kurvade ytan som sträcker sig från basens kant till apex kallas mantelytan. Konens höjd är den vinkelräta sträckan som sammankopplar spetsen med basens mittpunkt.
En kon med basradie r, som visar spetsen, höjden och basen.
Avståndet från konens spets till en punkt på basens kant är konens lutande höjd. Radien av basytan brukar även kallas för konens radie.
Teori

Klot

Ett klot är samlingen av alla punkter i rymden som befinner sig inom ett visst avstånd från en given punkt, som kallas klotets centrum.
a klot
Avståndet från centrum som klotets punkter befinner sig innanför kallas klotets radie.
Övning

Bestäm tredimensionella kroppar

Applikationen nedan visar olika tredimensionella kroppar. Bestäm om den givna kroppen är ett prisma, en pyramid eller varken eller.

En interaktiv applet som visar olika typer av tredimensionella former.
Exempel

Piratfartygs geometriledtrådar

Alex läser en berättelse om pirater. De har hittat några ledtrådar som beskriver olika föremål ombord på deras fartyg.
Tre ledtrådar relaterade till föremål från skeppet
Hjälp dem att identifiera vilken geometrisk form varje föremål liknar.

Ledtråd

Ett klot har en rundad yta utan kanter, medan en kon har en cirkulär bas och en spetsig topp. En cylinder har två cirkulära baser som är sammankopplade med en rundad yta.

Lösning

Ledtrådarna ska användas för att bestämma tre okända kroppar. Tänk igenom varje ledtråd en i taget, för att lista ut vilken kropp den beskriver.

Ledtråd

Börja med att titta på den första ledtråden.


Kanonkulans gåta

Kanter och hörn har jag ej, att vara rund är min grej.
I strider och sport används jag varje dag,
ibland utsätts jag för sparkar och slag.

Den här ledtråden beskriver en rund kropp, utan kanter och hörn, som används i sport och strid. Runda objekt som används i sport är bollar, som har formen av ett klot. Klot är runda eftersom alla punkter är på samma avstånd från dess centrum. Det betyder att den här gåtan syftar på ett klot, som kanonkulorna på skeppet.

Cannon-ball.jpg

Ledtråd

Ta nu en titt på den andra ledtråden.

Mastmysteriet

Två cirkulära ändar och lång rak kropp,
imponerande om du kan klättra upp till min topp.
På båtar står jag ståtligt hög,
utan mig hade båten varit trög.

Den här ledtråden beskriver en form med två cirkulära ändar, vilket låter som en cylinder. Eftersom objektet som beskrivs är rakt, med hög höjd, tyder det på att gåtan beskriver en mast. Kanske är det Vasaskeppets mast?

Ship-mast.jpg

Ledtråd

Fundera över den sista ledtråden.

Masttoppens gåta

Cirkulär vid botten, smalnar av mot den spetsiga
toppen. Härifrån ser sjömän långt, och ibland
blir det nog väldigt trångt.

Ledtråden indikerar att den okända formen har en cirkulär bas, vilket tyder på att det kan vara en cylinder eller en kon. Ledtråden beskriver att formen smalnar av till en spets, vilket gör att det låter som att formen är en kon. Med tanke på de andra delarna av ledtråden kan det vara masttoppen av ett skepp som beskrivs.

Crows-nest.jpg


Avslut

Tredimensionella former och deras egenskaper

Den här lektionen förklarade att tredimensionella figurer är objekt som har bredd, längd och höjd. Det finns former med plana ytor, som prismor och pyramider, och det finns former med krökta sidor, som cylindrar, koner och klot.

Diagram displaying a rectangular prism, cube, and triangular prism, along with a pyramid, cylinder, cone, and sphere.

Tabellen nedan sammanfattar de viktigaste egenskaperna hos dessa former som skiljer dem från varandra:

Form Egenskaper
Prisma Två identiska baser, rektangulära sidor
Pyramid En bas, triangulära sidor som möts vid en spets
Cylinder Två cirkulära baser, krökt yta
Kon En cirkulär bas, avsmalnar till en spets
Klot Perfekt rund, alla punkter är lika långt från centrum
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Tredimensionella figurer Åk 8
Övningar

Bestäm vilken geometrisk kropp de tredimensionella figurerna är.

En tredimensionell figur med en platt, polygonal bas och triangulära sidor som möts vid en enda, spetsig topp ovanför basen.
En tredimensionell figur med två identiska, parallella baser som är förbundna av rektangulära sidor.

För att ta reda på vilken geometrisk kropp figuren är, titta på basytan och sidoytorna. Har kroppen en spetsig topp eller är den platt? Hur många basytor har den? Är sidorna rundade någonstans? Vi använder dessa frågor för att undersöka den givna kroppen.

Den här figuren har en platt basyta som är formad som en femhörning. Sidorna är trianglar som alla möts vid en enda punkt på toppen, som kallas för spetsen. Allt detta tyder på att det här är en pyramid.

Eftersom den här figuren bara har en basyta (en femhörning) och triangulära sidor som möts i en spets, är det mycket riktigt en pyramid. Pyramider namnges efter formen på deras basyta, så det här är alltså en pentagonal (femhörnig) pyramid.


Vi använder samma metod för att bestämma vilken kropp nästa figur är.

Den här figuren innehåller polygoner, så det är antingen en pyramid eller ett prisma. För att ta reda på vilket, så räknar vi antalet basytor.

Den här figuren har två lika stora triangulära basytor, vilket tyder på att det är ett prisma. Prismor namnges även dem efter formen på deras basytor, så det här är ett triangulärt prisma.

Prismor och pyramider namnges efter formen på sina baser. Använd denna information för att identifiera varje figur.

En tredimensionell figur med två identiska triangulära baser sammanlänkade av tre rektangulära sidor.
En tredimensionell figur med en månghörnig bas och triangulära sidor som möts i en enda toppunkt.

Vi ombeds att identifiera följande tredimensionella figur.

Figuren har två baser, vilket gör den till ett prisma. Eftersom baserna är trianglar, är det ett triangulärt prisma.


Låt oss identifiera följande tredimensionella figur.

Figuren har en bas och sidoytor som möts i en toppunkt som kallas apex, vilket gör den till en pyramid. Eftersom basen är en hexagon, kallas den för en hexagonal pyramid.

Vilket av följande föremål är format som en cylinder?

Dice-soccer-hat-can.jpg

Vi har fått fyra objekt: en fotboll, en läskburk, en tärning och en partyhatt.


Dice-soccer-hat-can.jpg

För att ta reda på vilket föremål som är format som en cylinder så upprepar vi vad som gör en cylinder unik. En cylinder har två basytor som oftast är cirkulära. De är även lika stora och parallella. Dessa basytor är sammankopplade av en rundad mantelyta.

När vi tittar på våra objekt kan vi se att läskburken har två cirkulära baser som är sammankopplade med en rundad mantelyta. Alltså är läskburken formad som en cylinder.

Ett rätblock har:

Ett prisma har två identiska månghörniga baser som är sammanlänkade av rektangulära sidoytor. Prismor namnges efter formen på sina baser, så ett rätblock har en rektangulär bas. Låt oss skissa ett rektangulärt prisma och räkna dess ytor, kanter och hörn för att tydligt identifiera det korrekta antalet för varje. Kom ihåg att baserna också räknas som ytor!

Från appletet kan vi se att det rektangulära prismat har 6 ytor, 8 hörn och 12 kanter.

Tredimensionella figurer Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.