1a
Kurs 1a Visa detaljer
4. Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 5
2. 

Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Trigonometri studerar förhållandet mellan vinklar och sidor i en triangel. Detta innehåll fokuserar på de trigonometriska funktionerna tangens, sinus och cosinus. Det förklarar hur man bestämmer längderna på okända sidor i rätvinkliga trianglar med hjälp av dessa funktioner. Olika exempel ges för att demonstrera hur man beräknar längderna med en miniräknare, med specifika instruktioner för att använda knapparna sin, cos och tan. Innehållet inkluderar också övningar för att bestämma sidornas längder i trianglar, och runda svaren till hela tal eller decimaler. Definitioner av tangens, cosinus och sinus ges, och innehållet betonar vikten av att ha rätt enhet inställd på miniräknaren. Materialet är lämpligt för dem som studerar matematik på olika nivåer.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
7 sidor teori
21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Sida av 7
Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Trigonometriska funktioner
Teori

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.
Exempel

Bestäm sinus, cosinus och tangens för vinkeln

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln

Ledtråd

Använd definitionerna av sinus, cosinus och tangent.

Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är respektive längdenheter.
Sinusvärdet för vinkeln är alltså

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är och
Cosinusvärdet är alltså

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder: och
Tangensvärdet blir
Teori

Byta vinkelenhet på räknare

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.

TI-meny som visar MODE

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på ENTER.

TI-meny som visar MODE

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.

TI-beräkning som visar tangens
Exempel

Bestäm sida utifrån vinkel

Bestäm sidan i triangeln.

En rätvinklig triangel med vinklarna 30 och 60 grader, där kateten motstående 60 grader är x och hypotenusan är 1,8.
Avrunda svaret till två decimaler.

Ledtråd

Använd konceptet av sinus eller cosinus.

Lösning

För att bestämma kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Cosinus

Definitionen för cosinus är
Sidan är närliggande katet till vinkeln och hypotenusan har längden längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut
För att beräkna värdet på använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.
TI-räknare med cosinus

Sidan är alltså ca le.

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan med sinus:
Hypotenusan är och är nu den motstående kateten, vilket innebär att måste vara vinkeln
Vi får samma svar. Sidlängden är ca le.
Övning

Öva på att hitta sidlängder med trigonometriska förhållanden

I de rätvinkliga trianglarna nedan är en spetsig vinkel och en sidlängd given. Använd det motsvarande trigonometriska förhållandet för att hitta längden på sidan markerad med Avrunda svaret till en decimal.

Right triangles
Avslut

Sammanfattning


Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Uppgift 4.1