4. Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
2.
Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Trigonometri studerar förhållandet mellan vinklar och sidor i en triangel. Detta innehåll fokuserar på de trigonometriska funktionerna tangens, sinus och cosinus. Det förklarar hur man bestämmer längderna på okända sidor i rätvinkliga trianglar med hjälp av dessa funktioner. Olika exempel ges för att demonstrera hur man beräknar längderna med en miniräknare, med specifika instruktioner för att använda knapparna sin, cos och tan. Innehållet inkluderar också övningar för att bestämma sidornas längder i trianglar, och runda svaren till hela tal eller decimaler. Definitioner av tangens, cosinus och sinus ges, och innehållet betonar vikten av att ha rätt enhet inställd på miniräknaren. Materialet är lämpligt för dem som studerar matematik på olika nivåer.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Sida av 6
Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Trigonometriska funktioner
Förkunskaper
Teori
Trigonometriska funktioner
För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.
Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel v definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.
De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0,5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna. För att bestämma vinklar baserat på sidor använder man istället arcusfunktionerna.
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
Exempel
Bestäm sinus, cosinus och tangens för vinkeln
Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln v.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"sinus"},{"id":1,"text":"cosinus"},{"id":2,"text":"tangents"}],[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8388800000000001em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">6<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8388800000000001em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">8<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8388800000000001em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">7<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2],[0,1,2]]}
Lösning
Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för v.
sin(v)
För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är 3 respektive 5 längdenheter.sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
SubstituteValues
Sätt in värden
sin(v)=53
WriteDec
Skriv i decimalform
sin(v)=0,6
cos(v)
Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är 4 och 5.cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
SubstituteValues
Sätt in värden
cos(v)=54
WriteDec
Skriv i decimalform
cos(v)=0,8
tan(v)
Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder: 3 och 4.tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
SubstituteValues
Sätt in värden
tan(v)=43
WriteDec
Skriv i decimalform
tan(v)=0,75
Teori
Byta vinkelenhet på räknare
Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.
Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree
. Därefter trycker man på ENTER.
För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.
Exempel
Bestäm sida utifrån vinkel
Bestäm sidan x i triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,56"]}}
Lösning
För att bestämma x kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.
Cosinus
Definitionen för cosinus ärcos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet.
Sidan x är närliggande katet till vinkeln 30∘ och hypotenusan har längden 1,8 längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut x.
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
cos(30∘)=1,8x
MultEqn
VL⋅1,8=HL⋅1,8
cos(30∘)⋅1,8=x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x=cos(30∘)⋅1,8
Sidan x är alltså ca 1,56 le.
Sinus
Vi ska nu beräkna sidan x med sinus:sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet.
Hypotenusan är 1,8 och x är nu den motstående kateten, vilket innebär att v måste vara vinkeln 60∘.
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
sin(60∘)=1,8x
MultEqn
VL⋅1.8=HL⋅1.8
sin(60∘)⋅1,8=x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x=sin(60∘)⋅1,8
UseCalc
Slå in på räknare
x=1,558845…
RoundDec
Avrunda till 2 decimal(er)
x≈1,56
Övning
Öva på att hitta sidlängder med trigonometriska förhållanden
I de rätvinkliga trianglarna nedan är en spetsig vinkel och en sidlängd given. Använd det motsvarande trigonometriska förhållandet för att hitta längden på sidan markerad med x. Avrunda svaret till en decimal.
Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Övningar
Under ett oväder gick familjen Mohammeds flaggstång av och knoppen flög iväg. Den avbrutna delen bildar en rätvinklig triangel tillsammans med marken och delen av flaggstången som stod kvar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["8,1"]}}
security
report
code
security
report
code
Tangensvärdet för v är 0,4. Det innebär att om man delar motstående katet med närliggande katet ska kvoten bli 0,4: 2,2/x=0,4. Vi löser ut x och beräknar.
Längden x är alltså 5,5 meter. Nu kan vi använda Pythagoras sats för att beräkna den avbrutna delens längd. Den utgör ju hypotenusan i en rätvinklig triangel.
Den avbrutna delen är 5,9 meter. Om vi lägger ihop detta med längden på den del av flaggstången som fortfarande står upp (2,2 m) får vi flaggstångens ursprungliga längd: 5,9+2,2=8,1 m.
security
report
code
Bestäm värdet på tan(C) i nedanstående triangel om du vet att tan(B)=0,4.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mop\">tan<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2,5"]}}
security
report
code
security
report
code
tan(B)=0,4 innebär att om vi delar längden av motstående och närliggande sida till vinkel B ska kvoten bli 0,4. I vårt fall ger detta sambandet tan(B)=x/y=0,4. För att få bort en variabel löser vi ut t.ex. x ur sambandet.
Nu ersätter vi x i figuren med 0,4y.
När vi beräknar tan(C) blir y motstående och 0,4y närliggande katet.
Tangensvärdet för C är alltså 2,5.
security
report
code
Du vet att tan(v) för en vinkel v i en rätvinklig triangel är 0,25. Vilket eller vilka av diagrammen kan representera denna triangel?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">D<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[3]}
security
report
code
security
report
code
0,25 kan man skriva som 14, vilket betyder att tan(v)= 14. Med hjälp av definitionen för tangens ger det att Motstående katet/Närliggande katet=1/4. Den närliggande kateten ska alltså vara 4 gånger längre än den motstående. Det enda av diagrammen som innehåller en triangel med detta förhållande mellan kateterna är diagram D.
Notera att i diagram C känner vi inte till längden av den närliggande kateten. Men vi vet att hypotenusan har längden 4. Eftersom hypotenusan alltid är den längsta sidan i en rätvinklig triangel måste den okända katetens längd vara kortare än 4.
security
report
code
I nedanstående triangel är en sida 12 cm och två vinklar är 48∘. Bestäm basen. Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["16,1"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom triangelns basvinklar är lika stora, innebär det att den är likbent. Därför måste sidan BC också vara 12 cm. Vi kan även bestämma ∧ B genom att subtrahera de kända vinklarna från triangelns vinkelsumma 180^(∘): 180^(∘)-48^(∘)-48^(∘)=84^(∘). Men hur ska vi bestämma basen? Om man drar en höjd från punkten B kommer den att dela basen i två lika stora delar eftersom triangeln ABC är likbent.
Vi känner till vinkeln A och hypotenusan i den rätvinkliga triangeln ABD. Sätter vi in dessa värden i definitionen för cosinus kan vi bestämma sträckan AD.
Basen AC kommer att vara dubbelt så lång som AD.
Basen är alltså cirka 16,1 cm.
security
report
code
Ett träd har en trädkrona som är 10,9 meter hög. En person står 20 meter ifrån trädet och tittar med 20 graders vinkel på var kronan börjar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"meter","answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
Trädstammen är lika lång som summan av personens längd och resten av trädstammens längd upp till början av trädkronan. Vi kallar den översta delen av stammen för x.
Vi ska ta reda på den motstående kateten och vi känner till den närliggande kateten och vinkeln. Vi sätter in det i i definitionen för tangens.
Resten av trädstammen är alltså cirka 7,3 meter. Lägger vi ihop detta med gubbens längd blir den totalt 7,3+1,8=9,1 meter. Trädets totala höjd är alltså 10,9+9,1=20 meter.
security
report
code
Trigonometri - tangens sinus och cosinus
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll