Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Tangensvärdet för v är 0,4. Det innebär att om man delar motstående katet med närliggande katet ska kvoten bli 0,4: 2,2/x=0,4. Vi löser ut x och beräknar.

Längden x är alltså 5,5 meter. Nu kan vi använda Pythagoras sats för att beräkna den avbrutna delens längd. Den utgör ju hypotenusan i en rätvinklig triangel.

Den avbrutna delen är 5,9 meter. Om vi lägger ihop detta med längden på den del av flaggstången som fortfarande står upp (2,2 m) får vi flaggstångens ursprungliga längd: 5,9+2,2=8,1 m.

tan(B)=0,4 innebär att om vi delar längden av motstående och närliggande sida till vinkel B ska kvoten bli 0,4. I vårt fall ger detta sambandet tan(B)=x/y=0,4. För att få bort en variabel löser vi ut t.ex. x ur sambandet.

Nu ersätter vi x i figuren med 0,4y.

När vi beräknar tan(C) blir y motstående och 0,4y närliggande katet.

Tangensvärdet för C är alltså 2,5.

0,25 kan man skriva som 14, vilket betyder att tan(v)= 14. Med hjälp av definitionen för tangens ger det att Motstående katet/Närliggande katet=1/4. Den närliggande kateten ska alltså vara 4 gånger längre än den motstående. Det enda av diagrammen som innehåller en triangel med detta förhållande mellan kateterna är diagram D.

Notera att i diagram C känner vi inte till längden av den närliggande kateten. Men vi vet att hypotenusan har längden 4. Eftersom hypotenusan alltid är den längsta sidan i en rätvinklig triangel måste den okända katetens längd vara kortare än 4.

Eftersom triangelns basvinklar är lika stora, innebär det att den är likbent. Därför måste sidan BC också vara 12 cm. Vi kan även bestämma ∧ B genom att subtrahera de kända vinklarna från triangelns vinkelsumma 180^(∘): 180^(∘)-48^(∘)-48^(∘)=84^(∘). Men hur ska vi bestämma basen? Om man drar en höjd från punkten B kommer den att dela basen i två lika stora delar eftersom triangeln ABC är likbent.

Vi känner till vinkeln A och hypotenusan i den rätvinkliga triangeln ABD. Sätter vi in dessa värden i definitionen för cosinus kan vi bestämma sträckan AD.

Basen AC kommer att vara dubbelt så lång som AD.

Basen är alltså cirka 16,1 cm.

Trädstammen är lika lång som summan av personens längd och resten av trädstammens längd upp till början av trädkronan. Vi kallar den översta delen av stammen för x.

Vi ska ta reda på den motstående kateten och vi känner till den närliggande kateten och vinkeln. Vi sätter in det i i definitionen för tangens.

Resten av trädstammen är alltså cirka 7,3 meter. Lägger vi ihop detta med gubbens längd blir den totalt 7,3+1,8=9,1 meter. Trädets totala höjd är alltså 10,9+9,1=20 meter.

Vi blir ombedda att hitta tangenten för den mindre spetsiga vinkeln i en rätvinklig triangel med sidlängderna 5, 12, och 13. Låt oss göra ett diagram. Vi kommer att namnge hörnen med på varandra följande bokstäver.

Låt oss notera att i en rätvinklig triangel ligger den mindre spetsiga vinkeln mittemot det kortare benet. Detta betyder att vi vill utvärdera tan ∠ C. Låt oss nu komma ihåg att tangenten för ∠ C är förhållandet mellan benet mittemot ∠ C och benet intill ∠ C. tan ∠ C=5/12≈ 0,4167

Vi får en rätvinklig likbent triangel och ombeds att avgöra vilka av följande förhållanden som är lika. Låt oss först komma ihåg definitionerna av sinus och cosinus för en vinkel i en rätvinklig triangel.

Låt oss nu ta en titt på den givna triangeln.

Vi kommer att beräkna vart och ett av de givna förhållandena enligt de definitioner vi kom ihåg i början.

Som vi kan se är alla ovanstående förhållanden lika.

Vi har fått ett diagram över en rätvinklig triangel.

Från diagrammet kan vi se att den närliggande sidan till θ är x.

På samma sätt kan vi se att den motsatta sidan till θ är y.

Vi kommer att påminna oss om två av de trigonometriska förhållandena. cos θ = Närliggande/Hypotenusa sin θ = Motstående/Hypotenusa Vi vet att den närliggande sidan till θ är x och att hypotenusan är lika med h. Då kan vi skriva ovanstående ekvation i termer av dessa värden. cos θ = x/h Nu kan vi skriva om denna ekvation genom att notera att x är den motsatta sidan till vinkeln som är 90^(∘) - θ.

Därför kan vi skriva om ekvationen som sinus för 90^(∘) - θ. cos θ = sin (90^(∘) - θ)