Trigonometri - tangens sinus och cosinus

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.
Regel

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel vv definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0.50.5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna.
Uppgift

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln v.v.

Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för v.v.

Exempel

sin(v)\sin(v)

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är 33 respektive 55 längdenheter.
sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(v)=35\sin(v)=\dfrac{3}{5}
sin(v)=0.6\sin(v)=0.6
Sinusvärdet för vinkeln är alltså 0.6.0.6.
Exempel

cos(v)\cos(v)

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är 44 och 5.5.
cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}
cos(v)=45\cos(v)=\dfrac{4}{5}
cos(v)=0.8\cos(v)=0.8

Cosinusvärdet är alltså 0.8.0.8.

Exempel

tan(v)\tan(v)

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder: 33 och 4.4.
tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}
tan(v)=34\tan (v) = \dfrac{3}{4}
tan(v)=0.75\tan(v) = 0.75
Tangensvärdet blir 0.75.0.75.
Visa lösning Visa lösning

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.

TI-meny som visar MODE

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på ENTER.

TI-meny som visar MODE

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.

TI-beräkning som visar tangens
Uppgift

Bestäm sidan xx i triangeln.

Skills trigsida 1.svg
Lösning

För att bestämma xx kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Exempel

Cosinus

Definitionen för cosinus är cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa. \cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}. Sidan xx är närliggande katet till vinkeln 3030^\circ och hypotenusan har längden 1.8 längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut x.x.

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}
cos(30)=x1.8\cos (30^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
cos(30)1.8=x\cos (30^\circ) \cdot 1.8 = x
x=cos(30)1.8x = \cos (30^\circ) \cdot 1.8

För att beräkna värdet på xx använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

TI-räknare med cosinus

Sidan xx är alltså ca 1.561.56 le.

Exempel

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan xx med sinus: sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. Hypotenusan är 1.8 och xx är nu den motstående kateten, vilket innebär att vv måste vara vinkeln 60.60^\circ.
sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(60)=x1.8\sin (60^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
sin(60)1.8=x\sin (60^\circ) \cdot 1.8 = x
x=sin(60)1.8x = \sin (60^\circ) \cdot 1.8
x=1.558845x = 1.558845\ldots
x1.56x \approx 1.56
Vi får samma svar. Sidlängden xx är ca 1.561.56 le.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}