Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Trigonometri - tangens sinus och cosinus


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.
Regel

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel vv definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

sin(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Na¨rliggande katetHypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motsta˚ende katetNa¨rliggande katet\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0.50.5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna.
Uppgift

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln v.v.

Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för v.v.

Exempel

sin(v)\sin(v)

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är 33 respektive 55 längdenheter.
sin(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(v)=35\sin(v)=\dfrac{3}{5}
sin(v)=0.6\sin(v)=0.6
Sinusvärdet för vinkeln är alltså 0.6.0.6.
Exempel

cos(v)\cos(v)

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är 44 och 5.5.
cos(v)=Na¨rliggande katetHypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}
cos(v)=45\cos(v)=\dfrac{4}{5}
cos(v)=0.8\cos(v)=0.8

Cosinusvärdet är alltså 0.8.0.8.

Exempel

tan(v)\tan(v)

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder: 33 och 4.4.
tan(v)=Motsta˚ende katetNa¨rliggande katet\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}
tan(v)=34\tan (v) = \dfrac{3}{4}
tan(v)=0.75\tan(v) = 0.75
Tangensvärdet blir 0.75.0.75.
info Visa lösning Visa lösning

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.

TI-meny som visar MODE

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på ENTER.

TI-meny som visar MODE

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.

TI-beräkning som visar tangens
Uppgift

Bestäm sidan xx i triangeln.

Skills trigsida 1.svg
Lösning

För att bestämma xx kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Exempel

Cosinus

Definitionen för cosinus är cos(v)=Na¨rliggande katetHypotenusa. \cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}. Sidan xx är närliggande katet till vinkeln 3030^\circ och hypotenusan har längden 1.8 längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut x.x.

cos(v)=Na¨rliggande katetHypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}
cos(30)=x1.8\cos (30^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
cos(30)1.8=x\cos (30^\circ) \cdot 1.8 = x
x=cos(30)1.8x = \cos (30^\circ) \cdot 1.8

För att beräkna värdet på xx använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

TI-räknare med cosinus

Sidan xx är alltså ca 1.561.56 le.

Exempel

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan xx med sinus: sin(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. Hypotenusan är 1.8 och xx är nu den motstående kateten, vilket innebär att vv måste vara vinkeln 60.60^\circ.
sin(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(60)=x1.8\sin (60^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
sin(60)1.8=x\sin (60^\circ) \cdot 1.8 = x
x=sin(60)1.8x = \sin (60^\circ) \cdot 1.8
x=1.558845x = 1.558845\ldots
x1.56x \approx 1.56
Vi får samma svar. Sidlängden xx är ca 1.561.56 le.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward