Trigonometri - tangens sinus och cosinus

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Trigonometri handlar om sambanden mellan en triangels vinklar och sidlängder. Dessa samband kan användas för att beräkna okända vinklar med hjälp av sidlängderna eller vice versa.
Regel

Trigonometriska funktioner

För att koppla samman vinklar med sidor i rätvinkliga trianglar använder man trigonometriska funktioner. Dessa beror på en vinkel i triangeln och anger ett förhållande mellan längderna på två av triangelns sidor, antingen mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Med hjälp av kateterna och hypotenusan kan man för en vinkel vv definiera olika trigonometriska funktioner. Tre av de mest använda är sinus, cosinus och tangens, vilka definieras på följande sätt.

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

De trigonometriska funktionerna säger inte något om de individuella sidlängderna utan enbart något om förhållandet mellan dem. Om man exempelvis vet att sinusvärdet för en vinkel är 0.50.5 betyder det att den motstående sidan är hälften så lång som hypotenusan. Om man känner till en av sidorna och någon av de spetsiga vinklarna i triangeln kan man använda dem för att bestämma resten av sidorna.
Uppgift

Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln v.v.

Lösning

Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för v.v.

Exempel

sin(v)\sin(v)

För att bestämma sinusvärdet behöver vi längderna på den motstående kateten och hypotenusan. De är 33 respektive 55 längdenheter.
sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(v)=35\sin(v)=\dfrac{3}{5}
sin(v)=0.6\sin(v)=0.6
Sinusvärdet för vinkeln är alltså 0.6.0.6.
Exempel

cos(v)\cos(v)

Cosinus använder längderna på den närliggande kateten och hypotenusan. Dessa längder är 44 och 5.5.
cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}
cos(v)=45\cos(v)=\dfrac{4}{5}
cos(v)=0.8\cos(v)=0.8

Cosinusvärdet är alltså 0.8.0.8.

Exempel

tan(v)\tan(v)

Till sist beräknar vi tangensvärdet och då behöver vi båda katetlängder: 33 och 4.4.
tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}
tan(v)=34\tan (v) = \dfrac{3}{4}
tan(v)=0.75\tan(v) = 0.75
Tangensvärdet blir 0.75.0.75.
Visa lösning Visa lösning

Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.

TI-meny som visar MODE

Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på ENTER.

TI-meny som visar MODE

För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.

TI-beräkning som visar tangens
Uppgift

Bestäm sidan xx i triangeln.

Skills trigsida 1.svg
Lösning

För att bestämma xx kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.

Exempel

Cosinus

Definitionen för cosinus är cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa. \cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}. Sidan xx är närliggande katet till vinkeln 3030^\circ och hypotenusan har längden 1.8 längdenheter. Vi sätter in dessa värden och löser ut x.x.

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}
cos(30)=x1.8\cos (30^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
cos(30)1.8=x\cos (30^\circ) \cdot 1.8 = x
x=cos(30)1.8x = \cos (30^\circ) \cdot 1.8

För att beräkna värdet på xx använder vi räknarens cos-knapp. Räknaren ska vara inställd på grader.

TI-räknare med cosinus

Sidan xx är alltså ca 1.561.56 le.

Exempel

Sinus

Vi ska nu beräkna sidan xx med sinus: sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. Hypotenusan är 1.8 och xx är nu den motstående kateten, vilket innebär att vv måste vara vinkeln 60.60^\circ.
sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(60)=x1.8\sin (60^\circ) = \dfrac{x}{1.8}
sin(60)1.8=x\sin (60^\circ) \cdot 1.8 = x
x=sin(60)1.8x = \sin (60^\circ) \cdot 1.8
x=1.558845x = 1.558845\ldots
x1.56x \approx 1.56
Vi får samma svar. Sidlängden xx är ca 1.561.56 le.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna sin(v)\sin(v) och cos(u)\cos(u) för trianglarna. Svara i enklaste bråkform.

a
Uppgift689 1 1.svg


b
Uppgift689 2 1.svg
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Bilden visar tre olika rätvinkliga trianglar.
a

Vilken av de trigonometriska funktionerna tangens, sinus och cosinus kan användas för att bestämma längden på sida xx i respektive triangel?

b

Bestäm längden på sida xx i respektive triangel. Avrunda till heltal.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är tangensvärdet tan(v)\tan(v) i nedanstående trianglar?


a
Exercise691 1.svg
b
Exercise691 2.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

xx är en katet i en rätvinklig triangel. Bestäm xx och svara med två värdesiffror.


a

x=13tan(30)x=13\tan(30^\circ)

b

tan(70)=x5\tan(70^\circ)=\dfrac{x}{5}

c

tan(45)=18x\tan(45 ^\circ)=\dfrac{18}{x}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm tan(B)\tan(B) och tan(C)\tan(C). Svara med 2 decimaler.


a
Exercise696 1 11.svg
b
Exercise696 2 11.svg
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör vilka trigonometriska funktioner som kan användas för att bestämma den okända sidan och gör sedan det. Längderna anges i meter. Avrunda svaret till hela meter.


a
Uppgift711 1 1.svg
b
Uppgift711 2 1.svg
c
Uppgift711 3 1.svg
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm sidan xx i trianglarna. Avrunda till heltal. Längderna är angivna i cm.


a
Uppgift708 1 1.svg


b
Uppgift708 2 1.svg
c
Uppgift708 3 1.svg
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända sidorna i trianglarna. Avrunda till heltal.


a
Uppgift710 1 1.svg


b
Uppgift710 2 1.svg
1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm bb om man vet att tan(v)=0.78\tan(v)=0.78. Avrunda till en decimal.

Exercises697 1.svg
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan 1616 cm. Använd trigonometri och avrunda till heltal.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under ett oväder gick familjen Mohammeds flaggstång av och knoppen flög iväg. Den avbrutna delen bildar en rätvinklig triangel tillsammans med marken och delen av flaggstången som stod kvar.

Exercise699 1 1.svg

Beräkna flaggstångens längd, om du vet att tan(v)=0.4.\tan(v)=0.4.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på tan(C)\tan(C) i nedanstående triangel om du vet att tan(B)=0.4\tan(B)=0.4.

Exercise698 1 1.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att tan(v)\tan(v) för en vinkel v i en rätvinklig triangel är 0.25. Rita ett exempel på hur denna triangel kan se ut.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I nedanstående triangel är en sida 1212 cm och två vinklar är 48.48^\circ. Bestäm okända sidor och vinklar i triangeln.

Exercise703 1 1.svg
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett träd har en trädkrona som är 10.9 meter hög. En person står 20 meter ifrån trädet och tittar med 20 graders vinkel på var kronan börjar.

Exercise705 1.svg

Bestäm hur högt trädet är. Du vet även att personen i figuren har sina ögon 180 cm ovanför marken.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En gummibandstillverkare vill ha ett mått på hans gummibands elasticitet (dvs. hur töjbara de är). Han bestämmer sig för att göra stickprovskontroller genom att klippa upp vart tjugonde gummiband han tillverkar och fästa ändarna mellan två väggar. Därefter hänger han en vikt i mitten av bandet så att det sträcks ut och bildar två identiska vinklar v med bandets ursprungsläge (streckad linje).

Exercise701 1.svg

Om vinkeln är större än 3535^\circ bör gummibandet kastas. Hur många procent längre har gummibandet blivit då?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det finns ett samband mellan de tre trigonometriska funktionerna: tan(v)=sin(v)cos(v). \tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.

a

Visa med ett exempel att detta gäller.

b

Visa att likheten gäller för alla vinklar.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För att beräkna arean av godtyckliga trianglar, där två sidor och mellanliggande vinkel är kända, kan man använda areasatsen: Area=absin(C)2. \text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}. Visa att denna sats gäller i triangeln ABC.ABC.

Uppgift715 12.svg
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren ser du en liksidig triangel och två inskrivna cirklar, dvs. cirklarnas rand nuddar precis triangelns sidor, vilket kallas för att de tangerar varandra.

Exercise726 12.svg

Om man drar radier till cirklarnas tangeringspunkt med triangeln bildas räta vinklar. Bestäm x.x.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm längden på sidan aa i triangeln med hjälp av tabellen. Figuren är ej skalenligt ritad.

ID2619.svg
Nationella provet HT16 1c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bäring är ett vinkelmått som används inom navigation för vinkeln mellan en riktning och nordriktningen.

Exercise790 1.svg

En räddningshelikopter lämnar sin bas och flyger 33 km med bäring 4545^\circ för att hämta upp en läkare. Därefter flyger de 66 km med bäring 135135^\circ till en olycksplats. Hur långt har helikoptern tillbaka till basen när de hämtat de olycksdrabbade och vilken bäring ska de flyga i?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}