Trigonometri - tangens sinus och cosinus

Vi tittar på en godtycklig rätvinklig triangel och kallar katetlängderna för a och b och hypotenusan för c.

Vi ställer upp ett uttryck för sin(v) vilket är triangelns motstående katet delat på hypotenusan: b/c. Vi kan även skapa ett uttryck för cos(v) som är den närliggande kateten delat på hypotenusan: a/c. Nu sätter vi in detta i likhetens högerled och förenklar.

Högerledet kan alltså skrivas b/a. Funktionen tan(v) definieras som motstående katet delat på närliggande och eftersom b är motstående katet och a är närliggande har vi visat att likheten stämmer för alla vinklar.

Arean av en triangel kan beräknas med formeln Area = bh/2, dvs. basen multiplicerat med höjden delat på 2. Som figuren är ritad ligger sidan b horisontellt, så den verkar lämplig att använda som bas. Höjden h dras lodrätt från basen till den högsta punkten.

Höjden bildar den motstående kateten till vinkeln C i en rätvinklig triangel, där hypotenusan är a. Vi sätter in detta i definitionen för sinus och löser ut h.

Vi sätter in detta uttryck för h i triangelns areaformel. Basen, b, råkar heta b även i vår figur. Viktigt att komma ihåg är att i A= bh2 står b för triangelns bas, medan den i A= absin(C)2 är en av sträckorna som bildar vinkeln C. Den måste alltså inte vara triangelns bas, även om den råkar vara det i det här fallet.

Arean av triangeln ABC ges alltså av likheten. Vi är klara.

Sträckan 3,96 är den blå cirkelns diameter, dvs. radien är 1,98. Om vi drar en radie från den blå cirkelns mitt till en av tangeringspunkterna med triangeln bildas en rät vinkel mellan radien och triangelsidan.

Om man sedan drar en linje från den blå cirkelns mitt till hörn A kommer den att bilda hypotenusan i en rätvinklig triangel där en av kateterna är 1,98. Triangeln ABC är liksidig så alla vinklar är 60^(∘). Eftersom både triangeln och cirklarna är symmetriska delar hypotenusan den översta vinkeln mitt itu, så den blir 30^(∘).

Nu har vi en rätvinklig triangel med kateten 1,98. Vi kan skapa ett uttryck för hypotenusan som blir summan av den blå cirkelns radie, den gröna cirkelns diameter och sträckan x-0,65: 1,98+x+x-0,65=2x+1,33. Titta nu på den rätvinkliga triangeln.

Vi känner till en vinkel, hypotenusan och vinkelns motstående katet. Genom att använda definitionen för sinus kan vi lösa ut x.

Vi kan bestämma a med hjälp av definitionen för sinus eller cosinus. Vi väljer definitionen för sinus: sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa. I figuren ser vi att hypotenusan är 2 le. Vi kan utgå från 70^(∘)-vinkeln eller 20^(∘)-vinkeln för att bestämma den motstående kateten. Vi väljer vinkeln som är 70^(∘). Då utgör sidan med längden a motstående katet till vinkeln. Sätter vi in detta i definitionen för sinus får vi uttrycket sin(70^(∘))=a/2. Enligt tabellen är sin(70^(∘))=0,940. Vi sätter in detta värde och löser ut a.

Sidan a är alltså 1,88 le.

Vi börjar med att illustrera basens, läkarens och olyckans positioner.

Vi förbinder flygrutten med hjälp av vektorer i nedanstående figur. Det är den blå vinkeln och den okända vektorns storlek i nedanstående figur som är intressanta.

Vektorerna bildar en triangel. Vinkeln 135^(∘) och den röda vinkeln utgör 180^(∘). Det betyder att den röda vinkeln är 180^(∘)-135^(∘)=45^(∘).

Vi kan även bestämma den gula vinkeln i nedanstående figur. De prickade linjerna är parallella så alternatvinklarna blir lika stora, dvs. den gröna och gula vinkeln är båda 45^(∘).

Triangelns ena vinkel är alltså 45^(∘)+45^(∘)=90^(∘) vilket innebär att den är rätvinklig. Vi ritar upp den i figuren nedan och namnger hörnen A, B och C.

Nu kan vi räkna ut helikopterns sträcka tillbaka till basen genom att använda Pythagoras sats.

Helikopterpiloten befinner sig alltså 6,7 km från basen.