Logga in
| 7 sidor teori |
| 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
sin(v)=HypotenusaMotsta˚ende katet
cos(v)=HypotenusaNa¨rliggande katet
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
Bestäm sinus-, cosinus- och tangensvärdet för vinkeln v.
Genom att använda definitionerna för tangens, cosinus och sinus kan vi bestämma de trigonometriska värdena för v.
Sätt in värden
Skriv i decimalform
Sätt in värden
Skriv i decimalform
Sätt in värden
Skriv i decimalform
Eftersom de trigonometriska funktionerna använder vinklar som argument måste man ha rätt enhet inställd. Tryck på MODE för att öppna inställningarna för detta.
Radianer brukar vara förinställt. Vill man byta till grader går man ner till tredje raden med piltangenterna och sätter markören på Degree. Därefter trycker man på ENTER.
För att t.ex. beräkna ett sinusvärde för en viss vinkel trycker man på SIN. Skriv sedan vinkeln och slutparentes och tryck ENTER.
Bestäm sidan x i triangeln.
För att bestämma x kan man använda sinus eller cosinus. Vi visar båda.
Sätt in uttryck
VL⋅1,8=HL⋅1,8
Omarrangera ekvation
Sidan x är alltså ca 1,56 le.
Sätt in uttryck
VL⋅1.8=HL⋅1.8
Omarrangera ekvation
Slå in på räknare
Avrunda till 2 decimal(er)
I de rätvinkliga trianglarna nedan är en spetsig vinkel och en sidlängd given. Använd det motsvarande trigonometriska förhållandet för att hitta längden på sidan markerad med x. Avrunda svaret till en decimal.
En gummibandstillverkare vill ha ett mått på hans gummibands elasticitet (dvs. hur töjbara de är). Han bestämmer sig för att göra stickprovskontroller genom att klippa upp vart tjugonde gummiband han tillverkar och fästa ändarna mellan två väggar. Därefter hänger han en vikt i mitten av bandet så att det sträcks ut och bildar två identiska vinklar v med bandets ursprungsläge (streckad linje).
Vi kallar bandets längd utan tyngd för x. När tyngden sätts på sträcks bandet ut så att vi får en likbent triangel. De lika sidorna är hälften av x multiplicerat med en förändringsfaktor som vi kan kalla för a, en utsträckningsfaktor
. Längden blir alltså 0,5ax.
Delas triangeln på mitten får vi två rätvinkliga trianglar med hypotenusa 0,5ax och en katet som är 0,5x.
Vinkeln v får vara max 35^(∘). Om vi sätter in denna vinkel, hypotenusan och närliggande katet i definitionen för cosinus, kan vi lösa ut förändringsfaktorn a.
Förändringsfaktorn a är 1,22 vilket innebär att gummibandet maximalt får sträckas ut 22 %.
Vi tittar på en godtycklig rätvinklig triangel och kallar katetlängderna för a och b och hypotenusan för c.
Vi ställer upp ett uttryck för sin(v) vilket är triangelns motstående katet delat på hypotenusan: b/c. Vi kan även skapa ett uttryck för cos(v) som är den närliggande kateten delat på hypotenusan: a/c. Nu sätter vi in detta i likhetens högerled och förenklar.
Högerledet kan alltså skrivas b/a. Funktionen tan(v) definieras som motstående katet delat på närliggande och eftersom b är motstående katet och a är närliggande har vi visat att likheten stämmer för alla vinklar.
Arean av en triangel kan beräknas med formeln Area = bh/2, dvs. basen multiplicerat med höjden delat på 2. Som figuren är ritad ligger sidan b horisontellt, så den verkar lämplig att använda som bas. Höjden h dras lodrätt från basen till den högsta punkten.
Höjden bildar den motstående kateten till vinkeln C i en rätvinklig triangel, där hypotenusan är a. Vi sätter in detta i definitionen för sinus och löser ut h.
Vi sätter in detta uttryck för h i triangelns areaformel. Basen, b, råkar heta b även i vår figur. Viktigt att komma ihåg är att i A= bh2 står b för triangelns bas, medan den i A= absin(C)2 är en av sträckorna som bildar vinkeln C. Den måste alltså inte vara triangelns bas, även om den råkar vara det i det här fallet.
Arean av triangeln ABC ges alltså av likheten. Vi är klara.
I figuren ser du en liksidig triangel och två inskrivna cirklar, dvs. cirklarnas rand nuddar precis triangelns sidor, vilket kallas för att de tangerar varandra.
Sträckan 3,96 är den blå cirkelns diameter, dvs. radien är 1,98. Om vi drar en radie från den blå cirkelns mitt till en av tangeringspunkterna med triangeln bildas en rät vinkel mellan radien och triangelsidan.
Om man sedan drar en linje från den blå cirkelns mitt till hörn A kommer den att bilda hypotenusan i en rätvinklig triangel där en av kateterna är 1,98. Triangeln ABC är liksidig så alla vinklar är 60^(∘). Eftersom både triangeln och cirklarna är symmetriska delar hypotenusan den översta vinkeln mitt itu, så den blir 30^(∘).
Nu har vi en rätvinklig triangel med kateten 1,98. Vi kan skapa ett uttryck för hypotenusan som blir summan av den blå cirkelns radie, den gröna cirkelns diameter och sträckan x-0,65: 1,98+x+x-0,65=2x+1,33. Titta nu på den rätvinkliga triangeln.
Vi känner till en vinkel, hypotenusan och vinkelns motstående katet. Genom att använda definitionen för sinus kan vi lösa ut x.
Bestäm längden på sidan a i triangeln med hjälp av tabellen. Figuren är ej skalenligt ritad.
Vi kan bestämma a med hjälp av definitionen för sinus eller cosinus. Vi väljer definitionen för sinus: sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa. I figuren ser vi att hypotenusan är 2 le. Vi kan utgå från 70^(∘)-vinkeln eller 20^(∘)-vinkeln för att bestämma den motstående kateten. Vi väljer vinkeln som är 70^(∘). Då utgör sidan med längden a motstående katet till vinkeln. Sätter vi in detta i definitionen för sinus får vi uttrycket sin(70^(∘))=a/2. Enligt tabellen är sin(70^(∘))=0,940. Vi sätter in detta värde och löser ut a.
Sidan a är alltså 1,88 le.