Skissa andragradskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c avgör aa både åt vilket håll kurvan är krökt ( eller )(\smile \text{ eller } \frown) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100100 eller -100\text{-} 100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0.50.5 eller -0.5\text{-} 0.5) ger bredare kurvor. Konstanten cc avgör grafens skärningspunkt med yy-axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. y=x22x+1, y=x^2-2x+1, behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pqpq-formeln. Ställer man upp ekvationen x22x+1=0x^2-2x+1=0 får man x=--22±(-22)21. x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1}. Symmetrilinjen xsx_s är termen framför rottecknet.

xs=--22x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}
xs=-(-1)x_s=\text{-}(\text{-} 1)
xs=1x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.x_s=1.


2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens xx-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. yy-koordinaten bestäms genom att sätta in detta xx i funktionen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=1221+1y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1
y=12+1y=1-2+1
y=0y=0

Extrempunkten är (1,0),(1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt xx-värde i funktionen och beräkna motsvarande yy-värde.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=2222+1y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1
y=44+1y=4-4+1
y=1y=1

Punkten (2,1)(2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma yy-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).(0,1).

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Skissa graf

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till fyra funktioner.


a

Funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) är exponentialfunktioner på formen y=Cax.y=Ca^x. Bestäm CC för de båda funktionerna.

b

Funktionerna h(x)h(x) och k(x)k(x) är andragradsfunktioner på formen y=ax2+bx+c.y=ax^2+bx+c. Bestäm cc för de båda funktionerna.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

En andragradsfunktion har nollställena x=-1x=\text{-}1 och x=2.x=2. Minimipunkten är (0.5,-2).(0.5,\text{-}2). Skissa kurvan för hand.

b

En andragradskurva skär yy-axeln i (0,2).(0,2). Dess nollställen är x=-4x=\text{-}4 och x=2.x=2. Skissa kurvan för hand.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen y=-x2+c.y=\text{-} x^2+c.

Graf NP 2a HT13 uppgift2.svg
a

Bestäm funktionens nollställen med hjälp av figuren.

b

Bestäm värdet på konstanten cc med hjälp av figuren.

Nationella provet HT13 2a
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm skärningspunkten med yy-axeln för följande funktioner utan att använda räknare.


a

y=2x25x7y=2x^2-5x-7

b

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har graferna f,f, g,g, hh och k.k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare. Det finns fler funktionsuttryck än grafer.

Ay=-x2+7x10By=0.6x2+3x+3Cy=x25x10Dy=-2x2+5x+3Ey=1.1x22.5x+3Fy=-4x212x11.\begin{aligned} &A \quad \quad y=\text{-} x^2+7x-10 \\ &B \quad \quad y=0.6x^2+3x+3 \\ &C \quad \quad y=x^2-5x-10 \\ &D \quad \quad y=\text{-}2 x^2+5x+3 \\ &E \quad \quad y=1.1x^2-2.5x+3 \\ &F \quad \quad y=\text{-}4 x^2-12x-11. \end{aligned}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand graferna till funktionerna. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.


a

y=-x2x+2y=\text{-} x^2-x+2

b

y=2x24x6y=2x^2-4x-6

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa graferna till funktionerna för hand. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.


a

y=5xx2y=5x-x^2

b

y=0.25x24y=0.25x^2-4

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Andragradsfunktionen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c har sin minimipunkt på den negativa yy-axeln. Bestäm villkoren för a,a, bb och c.c.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}