4. Skissa andragradskurvor
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
4.
Skissa andragradskurvor
Innehållet handlar om hur man skissar andragradskurvor och förklarar begreppet på ett pedagogiskt sätt. Den beskriver hur en andragradsfunktion kan skissas genom att identifiera tre punkter på kurvan: extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen. Sidan förklarar också hur olika värden på konstanterna i funktionen påverkar kurvans form och bredd. Det finns även interaktiva verktyg som hjälper användaren att visualisera och förstå hur andragradskurvor ser ut. Sidan är en del av Mathleaks digitala plattform som erbjuder en mängd lektionener för att studera matematik online.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 8 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Skissa andragradskurvor
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsfunktioner och deras grafer
- Skissa en andragradskurva
Förkunskaper
Utforska
Grafen av en andragradsfunktion
Den följande appen visar hur grafen för en andragradsfunktion f(x)=ax2+bx+c förändras när värdena för de konstanterna a, b, och c ändras.
Koncept
Andragradsfunktioner och deras grafer
Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+c avgör a både åt vilket håll kurvan är krökt (⌣ eller ⌢) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100 eller −100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0,5 eller −0,5) ger bredare kurvor. Konstanten c avgör grafens skärningspunkt med y-axeln.
Metod
Skissa en andragradskurva
För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.
y=x2−2x+1,
behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.
1
Bestäm symmetrilinjen
expand_more Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Ställer man upp ekvationen x2−2x+1=0 får man
x=−2−2±(2−2)2−1.
Symmetrilinjen xs är termen framför rottecknet.
Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1. 2
Bestäm extrempunkten
expand_more Extrempunktens x-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten bestäms genom att sätta in detta x i funktionen.
Extrempunkten är (1,0), vilket ger den första punkten på grafen. 
y=x2−2x+1
Substitute
x=1
y=12−2⋅1+1
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
y=1−2+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=0
3
Bestäm två punkter till
expand_more För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt x-värde i funktionen och beräkna motsvarande y-värde.
Punkten (2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma y-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1). 
y=x2−2x+1
Substitute
x=2
y=22−2⋅2+1
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
y=4−4+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=1
4
Sammanbind punkterna
expand_more Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.
Övning
Hitta det extrema punktet eller symmetrilinjen för en andragradfunktion
Bestäm den begärda informationen för den givna andragradsfunktionen.
Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Exempel
Kommer en schäfer att hoppa över stängslet?
Den följande andragradsfunktionen representerar den paraboliska banan för en vuxen schäfers hopp.
Extrempunkten är (9;6,075). 
Eftersom den största höjd som hunden kommer att nå är 6,075 fot och stängslets höjd är 7 fot, kommer hunden inte att kunna hoppa över stängslet.
h(x)=−0,075x2+1,35x
Här är x hundens horisontella avstånd från hoppstället och h(x) är höjden på det hoppet. Båda värdena ges i fot. a Rita funktionens graf.
b Kan en vuxen schäfer hoppa över ett 7-fot högt stängsel?
Svar
a Graf:
b Nej
Ledtråd
a Börja med att bestämma symmetrilinjen och extrempunkten. Sedan, hitta två ytterligare punkter som ligger på kurvan.
b Tänk på koordinaterna för parabolens extrempunkt.
Lösning
a Det finns fyra steg att följa för att rita en andragradsfunktion.
Bestäm Symmetrilinjen
För att hitta ekvationen för symmetrilinjen bör koefficienterna a, b, och c först hittas.h(x)=−0,075x2+1,35x⇕h(x)=−0,075x2+1,35x+0
Här är a=−0,075, b=1,35, och c=0. Symmetrilinjen är en vertikal linje med ekvationen x=2a−b, vilket är uttrycket framför radikaluttrycket i pq-formeln.
Symmetrilinjen är den vertikala linjen x=9. Bestäm Extrempunkten
Extrempunkten ligger på symmetrilinjen. Detta innebär att x-koordinaten är 9. Nu, för att hitta y-koordinaten, kommer x=9 att sättas in i funktionsuttrycket.h(x)=−0,075x2+1,35x
Substitute
x=9
h(9)=−0,075(9)2+1,35(9)
▼
Beräkna högerled
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
h(9)=−0,075(81)+12,15
MultNegPos
(−a)b=−ab
h(9)=−6,075+12,15
AddTerms
Addera termer
h(9)=6,075
Bestäm Två Ytterligare Punkter
För enkelhetens skull, bestäm y-interceptet, vilket ges av konstanttermen c i funktionsuttrycket. I detta fall är denna term lika med 0, vilket innebär att y-interceptet inträffar vid (0,0) — origo.
Nu kan en annan punkt som ligger på parabeln hittas genom att spegla denna punkt i symmetrilinjen.
Den tredje punkten som ligger på parabeln är (18;0).
Anslut Punkterna
Slutligen kommer punkterna att kopplas samman med en jämn kurva för att rita den paraboliska formen. Eftersom funktionen representerar en hunds hopp, kommer negativa värden av funktionen inte att inkluderas.
b För att avgöra om den vuxna hunden kommer att kunna hoppa över stängslet, kommer stängslet att ritas i samma koordinatsystem. Anta att stängslet är placerat vid symmetrilinjen, där höjden på hoppet skulle vara som störst.
Skissa andragradskurvor
Övningar
Figuren visar graferna till fyra funktioner.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
security
report
code
security
report
code
I en exponentialfunktion anger startvärdet C var grafen skär y-axeln. Genom avläsningar från figuren ser vi att det är 4 för f(x).
Med samma resonemang som i föregående deluppgift avläser vi C ur figuren och får att det är ca. 1,5 för g(x).
Även i andragradsfunktioner anger lilla c var grafen skär y-axeln. Vi avläser värdet c=-3 för h(x).
Vi repeterar att lilla c anger var grafen skär y-axeln i andragradsfunktioner. Vi avläser värdet c=5 för h(x).
security
report
code
En andragradsfunktion har nollställena x=−1 och x=2. Minimipunkten är (0,5;−2). Skissa kurvan för hand.
En andragradskurva skär y-axeln i (0,2). Dess nollställen är x=−4 och x=2. Skissa kurvan för hand.
security
report
code
security
report
code
Minimipunkten har koordinaterna (0,5;-2). Vi markerar den, och eftersom det är en minimipunkt kommer den att gå uppåt på båda sidor.
Nollställena är x=-1 och x=2 vilket betyder att grafen skär x-axeln där. Vi förlänger den blå grafen så att den skär x-axeln på rätt ställen.
Vi börjar med att markera nollställena i ett koordinatsystem.
Skärningspunkten med y-axeln är (0,2) så vi markerar den också och ritar en parabel genom punkterna.
security
report
code
Figuren visar grafen till funktionen y=−x2+c.
Bestäm funktionens nollställen med hjälp av figuren.
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","2"]}}
Bestäm värdet på konstanten c med hjälp av figuren.
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollställen är de x-värden där funktionsvärdet är 0. Grafiskt kan detta tolkas som x-värdena där funktionens graf skär x-axeln, eftersom y-värdet är 0 där. Vi läser av dessa värden i figuren.
Funktionen har alltså nollställena x=-2 och x=2.
Här kan vi använda att grafen till en andragradsfunktion på formen
y=ax^2+bx+c
skär y-axeln där y=c. Det kan verka som att vår funktion,
y=- x^2+c,
inte står på denna form eftersom den saknar x-term, men man kan se det som att b=0. Vi läser av c som y-värdet där grafen skär y-axeln.
Vi ser då att c=4.
security
report
code
Bestäm skärningspunkten med y-axeln för följande funktioner utan att använda räknare.
y=2x2−5x−7
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":true,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-7"}}
y=ax2+bx+c
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a","b","c"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"c"}}
security
report
code
security
report
code
På y-axeln är x-värdet alltid 0. Vi sätter därför in x=0 i funktionsuttrycket och beräknar y.
När x är lika med 0 är y lika med -7. Det betyder att skärningspunkten med y-axeln är (0,-7).
Vi gör på samma sätt och sätter in x=0.
y är lika med c när x är 0. Det betyder att skärningspunkten är (0,c). Detta är generellt och man kan alltid läsa av en funktions skärning med y-axeln som konstanttermen i funktionsuttrycket.
security
report
code
Du har graferna f, g, h och k.
Ay=−x2+7x−10By=0,6x2+3x+3Cy=1,1x2−2,5x+3Dy=−4x2−12x−11.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">h<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03148em;\">k<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"}],[{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.02778em;\">D<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[1,2,0,3],[1,3,0,2]]}
security
report
code
security
report
code
Andragradsfunktioner skrivs på formen
y=ax^2+bx+c.
Vi vet att a bestämmer bredd och om grafen är glad eller sur
, samt att c anger skärningen med y-axeln. Vi kan börja med graferna f(x) och h(x), som har positivt värde på koefficienten a.
Positivt a
Funktionerna B och C har positiva koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop f(x) och h(x) med &B y=0,6x^2+3x+3 &C y=1,1x^2-2,5x+3. Vi ser att f(x) är något bredare än h(x), vilket i det här fallet innebär att den har ett mindre värde på a. Eftersom 0,6 är mindre än 1,1 kan vi avgöra hur funktionsuttrycken passar med graferna: &f(x) - B y=0,6x^2+3x+3 &h(x) - C y=1,1x^2-2,5x+3.
Negativt a
Funktionerna A och D har negativa koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av &A y=- x^2+7x-10 &D y=-4 x^2-12x-11. Här ser vi att k(x) är betydligt bredare än g(x), vilket innebär att den bör ha ett mindre negativt a-värde än g(x). Då kan vi se att k(x) måste höra ihop med A och g(x) med D.
Sammanfattning
Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck på följande sätt. &f(x) → B y=0,6x^2+3x+3 &g(x) → D y=-4 x^2-12x-11 &h(x) → C y=1,1x^2-2,5x+3 &k(x) → A y=- x^2+7x-10.
security
report
code
Skissa andragradskurvor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll