Skissa andragradskurvor

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen $y=ax^2+bx+c$ avgör $a$ både åt vilket håll kurvan är krökt $(\smile \text{ eller } \frown)$ och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. $100$ eller $\text{-} 100$ ), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. $0.5$ eller $\text{-} 0.5$ ) ger bredare kurvor. Konstanten $c$ avgör grafens skärningspunkt med $y$ -axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. $y=x^2-2x+1,$ behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med $pq$ -formeln. Ställer man upp ekvationen $x^2-2x+1=0$ får man $x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1}.$ Symmetrilinjen $x_s$ är termen framför rottecknet.

x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}

Beräkna kvot

x_s=\text{-}(\text{-} 1)

\text{-} (\text{-} a)=a

x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt $x_s=1.$

2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens $x$ -koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. $y$ -koordinaten bestäms genom att sätta in detta $x$ i funktionen.

y=x^2-2x+1

x={\color{#0000FF}{1}}

y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1

Beräkna potens & produkt

y=1-2+1

Förenkla termer

y=0

Extrempunkten är $(1,0),$ vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt $x$ -värde i funktionen och beräkna motsvarande $y$ -värde.

y=x^2-2x+1

x={\color{#0000FF}{2}}

y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1

Förenkla potens & produkt

y=4-4+1

Förenkla termer

y=1

Punkten $(2,1)$ ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma $y$ -värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten $(0,1).$

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Skissa graf

Skissa andragradskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Andragradsfunktioner och deras grafer

Skissa en andragradskurva

1

2

3

4

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Icke-linjära funktioner

1

2

3

4

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}