Skissa andragradskurvor

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+c avgör a både åt vilket håll kurvan är krökt $(⌣ eller ⌢)$ och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100 eller -100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0.5 eller -0.5) ger bredare kurvor. Konstanten c avgör grafens skärningspunkt med y-axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.

y=x2−2x+1,

behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Ställer man upp ekvationen x2−2x+1=0 får man

Symmetrilinjen

x_{s}

är termen framför rottecknet.

x_{s} = - \frac{- 2}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{s} = - (- 1)

NegNeg

-(-a)=a

x_{s} = 1

Kurvan är alltså symmetrisk runt $x_{s} = 1 .$

2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens x-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten bestäms genom att sätta in detta x i funktionen.

y=x2−2x+1

Substitute

x=1

y=12−2⋅1+1

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

y=1−2+1

AddSubTerms

Förenkla termer

y=0

Extrempunkten är (1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt x-värde i funktionen och beräkna motsvarande y-värde.

y=x2−2x+1

Substitute

x=2

y=22−2⋅2+1

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

y=4−4+1

AddSubTerms

Förenkla termer

y=1

Punkten (2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma y-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Skissa graf