Skissa andragradskurvor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c avgör aa både åt vilket håll kurvan är krökt ( eller )(\smile \text{ eller } \frown) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100100 eller -100\text{-} 100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0.50.5 eller -0.5\text{-} 0.5) ger bredare kurvor. Konstanten cc avgör grafens skärningspunkt med yy-axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. y=x22x+1, y=x^2-2x+1, behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pqpq-formeln. Ställer man upp ekvationen x22x+1=0x^2-2x+1=0 får man x=--22±(-22)21. x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1}. Symmetrilinjen xsx_s är termen framför rottecknet.

xs=--22x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}
xs=-(-1)x_s=\text{-}(\text{-} 1)
xs=1x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.x_s=1.

Extrempunktens xx-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. yy-koordinaten bestäms genom att sätta in detta xx i funktionen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=1221+1y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1
y=12+1y=1-2+1
y=0y=0

Extrempunkten är (1,0),(1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt xx-värde i funktionen och beräkna motsvarande yy-värde.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
y=2222+1y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1
y=44+1y=4-4+1
y=1y=1

Punkten (2,1)(2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma yy-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).(0,1).

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Skissa graf

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till fyra funktioner.


a

Funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) är exponentialfunktioner på formen y=Cax.y=Ca^x. Bestäm CC för de båda funktionerna.

b

Funktionerna h(x)h(x) och k(x)k(x) är andragradsfunktioner på formen y=ax2+bx+c.y=ax^2+bx+c. Bestäm cc för de båda funktionerna.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

En andragradsfunktion har nollställena x=-1x=\text{-}1 och x=2.x=2. Minimipunkten är (0.5,-2).(0.5,\text{-}2). Skissa kurvan för hand.

b

En andragradskurva skär yy-axeln i (0,2).(0,2). Dess nollställen är x=-4x=\text{-}4 och x=2.x=2. Skissa kurvan för hand.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen y=-x2+c.y=\text{-} x^2+c.

Graf NP 2a HT13 uppgift2.svg
a

Bestäm funktionens nollställen med hjälp av figuren.

b

Bestäm värdet på konstanten cc med hjälp av figuren.

Nationella provet HT13 2a
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm skärningspunkten med yy-axeln för följande funktioner utan att använda räknare.


a

y=2x25x7y=2x^2-5x-7

b

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har graferna f,f, g,g, hh och k.k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare. Det finns fler funktionsuttryck än grafer.

Ay=-x2+7x10By=0.6x2+3x+3Cy=x25x10Dy=-2x2+5x+3Ey=1.1x22.5x+3Fy=-4x212x11.\begin{aligned} &A \quad \quad y=\text{-} x^2+7x-10 \\ &B \quad \quad y=0.6x^2+3x+3 \\ &C \quad \quad y=x^2-5x-10 \\ &D \quad \quad y=\text{-}2 x^2+5x+3 \\ &E \quad \quad y=1.1x^2-2.5x+3 \\ &F \quad \quad y=\text{-}4 x^2-12x-11. \end{aligned}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand graferna till funktionerna. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.


a

y=-x2x+2y=\text{-} x^2-x+2

b

y=2x24x6y=2x^2-4x-6

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa graferna till funktionerna för hand. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.


a

y=5xx2y=5x-x^2

b

y=0.25x24y=0.25x^2-4

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Andragradsfunktionen y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c har sin minimipunkt på den negativa yy-axeln. Bestäm villkoren för a,a, bb och c.c.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}