Skissa andragradskurvor

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen $y = a x^{2} + b x + c$ avgör $a$ både åt vilket håll kurvan är krökt $(⌣ eller ⌢)$ och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. $100$ eller $- 100$ ), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. $0.5$ eller $- 0.5$ ) ger bredare kurvor. Konstanten $c$ avgör grafens skärningspunkt med $y$ -axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. $y = x^{2} - 2 x + 1,$ behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med $p q$ -formeln. Ställer man upp ekvationen $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ får man $x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 1 .$ Symmetrilinjen $x_{s}$ är termen framför rottecknet.

x_{s} = - \frac{- 2}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{s} = - (- 1)

NegNeg

$- (- a) = a$

x_{s} = 1

Kurvan är alltså symmetrisk runt $x_{s} = 1 .$

2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens $x$ -koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. $y$ -koordinaten bestäms genom att sätta in detta $x$ i funktionen.

y = x^{2} - 2 x + 1

Substitute

$x = 1$

y = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

y = 1 - 2 + 1

AddSubTerms

Förenkla termer

y = 0

Extrempunkten är $(1, 0),$ vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt $x$ -värde i funktionen och beräkna motsvarande $y$ -värde.

y = x^{2} - 2 x + 1

Substitute

$x = 2$

y = 2^{2} - 2 \cdot 2 + 1

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

y = 4 - 4 + 1

AddSubTerms

Förenkla termer

y = 1

Punkten $(2, 1)$ ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma $y$ -värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten $(0, 1) .$

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Skissa graf