Skissa andragradskurvor

I en exponentialfunktion anger startvärdet C var grafen skär y-axeln. Genom avläsningar från figuren ser vi att det är 4 för f(x).

Med samma resonemang som i föregående deluppgift avläser vi C ur figuren och får att det är ca. 1,5 för g(x).

Även i andragradsfunktioner anger lilla c var grafen skär y-axeln. Vi avläser värdet c=-3 för h(x).

Vi repeterar att lilla c anger var grafen skär y-axeln i andragradsfunktioner. Vi avläser värdet c=5 för h(x).

Minimipunkten har koordinaterna (0,5;-2). Vi markerar den, och eftersom det är en minimipunkt kommer den att gå uppåt på båda sidor.

Nollställena är x=-1 och x=2 vilket betyder att grafen skär x-axeln där. Vi förlänger den blå grafen så att den skär x-axeln på rätt ställen.

Vi börjar med att markera nollställena i ett koordinatsystem.

Skärningspunkten med y-axeln är (0,2) så vi markerar den också och ritar en parabel genom punkterna.

Nollställen är de x-värden där funktionsvärdet är 0. Grafiskt kan detta tolkas som x-värdena där funktionens graf skär x-axeln, eftersom y-värdet är 0 där. Vi läser av dessa värden i figuren.

Funktionen har alltså nollställena x=-2 och x=2.

Här kan vi använda att grafen till en andragradsfunktion på formen y=ax^2+bx+c skär y-axeln där y=c. Det kan verka som att vår funktion, y=- x^2+c, inte står på denna form eftersom den saknar x-term, men man kan se det som att b=0. Vi läser av c som y-värdet där grafen skär y-axeln.

Vi ser då att c=4.

På y-axeln är x-värdet alltid 0. Vi sätter därför in x=0 i funktionsuttrycket och beräknar y.

När x är lika med 0 är y lika med -7. Det betyder att skärningspunkten med y-axeln är (0,-7).

Vi gör på samma sätt och sätter in x=0.

y är lika med c när x är 0. Det betyder att skärningspunkten är (0,c). Detta är generellt och man kan alltid läsa av en funktions skärning med y-axeln som konstanttermen i funktionsuttrycket.

Andragradsfunktioner skrivs på formen y=ax^2+bx+c. Vi vet att a bestämmer bredd och om grafen är glad eller sur, samt att c anger skärningen med y-axeln. Vi kan börja med graferna f(x) och h(x), som har positivt värde på koefficienten a.

Positivt a

Funktionerna B och C har positiva koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop f(x) och h(x) med &B y=0,6x^2+3x+3 &C y=1,1x^2-2,5x+3. Vi ser att f(x) är något bredare än h(x), vilket i det här fallet innebär att den har ett mindre värde på a. Eftersom 0,6 är mindre än 1,1 kan vi avgöra hur funktionsuttrycken passar med graferna: &f(x) - B y=0,6x^2+3x+3 &h(x) - C y=1,1x^2-2,5x+3.

Negativt a

Funktionerna A och D har negativa koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av &A y=- x^2+7x-10 &D y=-4 x^2-12x-11. Här ser vi att k(x) är betydligt bredare än g(x), vilket innebär att den bör ha ett mindre negativt a-värde än g(x). Då kan vi se att k(x) måste höra ihop med A och g(x) med D.

Sammanfattning

Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck på följande sätt. &f(x) → B y=0,6x^2+3x+3 &g(x) → D y=-4 x^2-12x-11 &h(x) → C y=1,1x^2-2,5x+3 &k(x) → A y=- x^2+7x-10.

Vi har en kvadratisk funktion skriven i standardform. f(x)=ax^2+bx+c Den här typen av ekvation kan ge oss mycket information om parabeln genom att observera värdena på a, b, och c. f(x)=3x^2-2x ⇔ f(x)=3x^2+(-2)x+ Vi ser att för den givna ekvationen är a=3, b=-2, och c= . Dessa värden kommer att ge oss information om parabeln. Låt oss betrakta punkten där parabelns kurva ändrar riktning.

Denna punkt är parabelns vertex och definierar symmetriaxeln. Om vi vill beräkna x-värdet för denna punkt kan vi sätta in de givna värdena för a och b i uttrycket - b2a och förenkla.

Kom ihåg att symmetriaxeln är den vertikala linjen genom vertexen och delar en parabel i två spegelbilder. Eftersom varje punkt på den här linjen kommer att ha samma x-koordinat som vertexen kan vi skriva dess ekvation. x=1/3

I del A har vi redan funnit att x-koordinaten för vertexen är 13. Låt oss nu sätta in detta värde i den givna funktionen för att hitta y-koordinaten för vertexen.

Vertexen ligger på punkten ( 13;- 13).

Ett vanligt misstag när man identifierar nyckelegenskaper hos en parabel algebraiskt är att glömma att inkludera minustecknen i värdena för dessa konstanter. Standardformen är endast addition, så varje subtraktion måste behandlas som negativa värden på a, b, eller c. Låt oss titta på ett exempel. ax^2 + bx + c y=3x^2-4x-2 ⇔ y=3x^2 + (-4x) + (-2) I det här fallet är värdena på a, b, och c lika med 3, -4, och -2. De är INTE 3, 4, och 2. a=3, b=4, c=2 * a=3, b=-4, c=-2 ✓

Vi har en kvadratisk funktion skriven i standardform. g(x)=ax^2+bx+c Den här typen av ekvation kan ge oss mycket information om parabeln genom att observera värdena på a, b, och c. g(x)=8x^2-8x+6 ⇔ g(x)=8x^2+(-8)x+6 Vi ser att för den givna ekvationen är a=8, b=-8, och c=6.

x-koordinat för vertex

Betrakta punkten där parabelns kurva ändrar riktning.

Denna punkt är parabelns vertex och definierar symmetriaxeln. Om vi vill beräkna x-koordinaten för denna punkt kan vi sätta in de givna värdena för a och b i uttrycket - b2a och förenkla.

y-koordinat för vertex

Den punkt där grafen för en parabel ändrar riktning definierar också grafens maximi- eller minimipunkt. Om parabeln har ett minimum eller maximum bestäms av värdet på a.

Eftersom a=8 är positivt har parabeln ett minsta värde vid vertex. För att hitta detta värde, sätt in x-koordinaten för vertex i den givna funktionen och förenkla.

Det minsta värdet för den givna funktionen är 4.

Ett vanligt misstag när man identifierar nyckelegenskaperna hos en parabel algebraiskt är att glömma att inkludera minustecknen i värdena för dessa konstanter. Standardformen är endast addition, så all subtraktion måste behandlas som negativa värden på a, b, eller c. Låt oss titta på ett exempel. ax^2 + bx + c y=2x^2-10x+13 ⇔ y=2x^2 + (-10x) + 13 I det här fallet är värdena på a, b, och c lika med 2, -10, och 13. De är INTE 2, 10, och 13. a=2, b=10, c=13 * a=2, b=-10, c=13 ✓

Låt oss börja med att hitta parabelns vertex. Kom ihåg att vertex är kurvans högsta eller lägsta punkt och ligger på symmetriaxeln.

Parabeln öppnar sig uppåt och därför är vertex dess lägsta punkt. Vi ser att vertex är punkten (2;-1). Därefter hittar vi ekvationen för symmetriaxeln. Symmetriaxeln är den vertikala linjen genom vertex och delar parabeln i kongruenta halvor.

Ekvationen för symmetriaxeln är x=2. Slutligen hittar vi y-interceptet med vetskapen om att y-interceptet är den punkt där grafen skär y-axeln.

Som vi kan se är y-interceptet placerat vid (0;1.)