body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

4. Skissa andragradskurvor

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 4

4.

Skissa andragradskurvor

Innehållet handlar om hur man skissar andragradskurvor och förklarar begreppet på ett pedagogiskt sätt. Den beskriver hur en andragradsfunktion kan skissas genom att identifiera tre punkter på kurvan: extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen. Sidan förklarar också hur olika värden på konstanterna i funktionen påverkar kurvans form och bredd. Det finns även interaktiva verktyg som hjälper användaren att visualisera och förstå hur andragradskurvor ser ut. Sidan är en del av Mathleaks digitala plattform som erbjuder en mängd lektionener för att studera matematik online.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	8 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Skissa andragradskurvor

Sida av 7

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Andragradsfunktioner och deras grafer
Skissa en andragradskurva

Förkunskaper

Symmetrilinje - andragradskurva
Extrempunkt

Utforska

Grafen av en andragradsfunktion

Den följande appen visar hur grafen för en andragradsfunktion $f (x) = a x^{2} + b x + c$ förändras när värdena för de konstanterna $a,$ $b,$ och $c$ ändras.

Graph of a quadratic function

Koncept

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen

y = a x^{2} + b x + c

avgör

a

både åt vilket håll kurvan är krökt

(⌣ eller ⌢)

och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex.

100

eller

- 100),

ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex.

0, 5

eller

- 0, 5)

ger bredare kurvor. Konstanten

c

avgör grafens skärningspunkt med

y -

axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.

y = x^{2} - 2 x + 1,

behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med

p q

-formeln. Ställer man upp ekvationen

x^{2} - 2 x + 1 = 0

får man

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 1 .

Symmetrilinjen

x_{s}

är termen framför rottecknet.

x_{s} = - \frac{- 2}{2}

Beräkna kvot

x_{s} = - (- 1)

$- (- a) = a$

x_{s} = 1

Kurvan är alltså symmetrisk runt

x_{s} = 1 .

2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens

x -

koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen.

y -

koordinaten bestäms genom att sätta in detta

x

i funktionen.

y = x^{2} - 2 x + 1

$x = 1$

y = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1

Beräkna potens & produkt

y = 1 - 2 + 1

Addera och subtrahera termer

y = 0

Extrempunkten är

(1, 0),

vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt

x -

värde i funktionen och beräkna motsvarande

y -

värde.

y = x^{2} - 2 x + 1

$x = 2$

y = 2^{2} - 2 \cdot 2 + 1

Förenkla potens & produkt

y = 4 - 4 + 1

Addera och subtrahera termer

y = 1

Punkten

(2, 1)

ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma

y

-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten

(0, 1) .

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Övning

Hitta det extrema punktet eller symmetrilinjen för en andragradfunktion

Bestäm den begärda informationen för den givna andragradsfunktionen.

Slumpmässig andragradsekvation. Applet'en begär det extrema punktet eller symmetrilinjen.

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Exempel

Kommer en schäfer att hoppa över stängslet?

Den följande andragradsfunktionen representerar den paraboliska banan för en vuxen schäfers hopp.

h (x) = - 0, 075 x^{2} + 1, 35 x

Här är

x

hundens horisontella avstånd från hoppstället och

h (x)

är höjden på det hoppet. Båda värdena ges i fot.

a Rita funktionens graf.

b Kan en vuxen schäfer hoppa över ett

7 -

fot högt stängsel?

Svar

a Graf:

b Nej

Ledtråd

a Börja med att bestämma symmetrilinjen och extrempunkten. Sedan, hitta två ytterligare punkter som ligger på kurvan.

b Tänk på koordinaterna för parabolens extrempunkt.

Lösning

a Det finns fyra steg att följa för att rita en andragradsfunktion.

Bestäm Symmetrilinjen

För att hitta ekvationen för symmetrilinjen bör koefficienterna

a,

b,

och

c

först hittas.

h (x) = - 0, 075 x^{2} + 1, 35 x ⇕ h (x) = - 0, 075 x^{2} + 1, 35 x + 0

Här är

a = - 0, 075,

b = 1, 35,

och

c = 0 .

Symmetrilinjen är en vertikal linje med ekvationen

x = \frac{- b}{2 a},

vilket är uttrycket framför radikaluttrycket i

p q -

x = \frac{- b}{2 a}

$a = - 0, 075$ och $b = 1, 35$

x = \frac{- 1 , 3 5}{2 ( - 0 , 0 7 5 )}

▼

Beräkna högerled

$a (- b) = - a \cdot b$

x = \frac{- 1 , 3 5}{- 0 , 1 5}

$\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

x = \frac{1 , 3 5}{0 , 1 5}

Beräkna kvot

x = 9

Symmetrilinjen är den vertikala linjen

x = 9 .

Bestäm Extrempunkten

Extrempunkten ligger på symmetrilinjen. Detta innebär att

x -

koordinaten är

9 .

Nu, för att hitta

y -

koordinaten, kommer

x = 9

att sättas in i funktionsuttrycket.

h (x) = - 0, 075 x^{2} + 1, 35 x

$x = 9$

h (9) = - 0, 075 (9)^{2} + 1, 35 (9)

▼

Beräkna högerled

Beräkna potens & produkt

h (9) = - 0, 075 (81) + 12, 15

$(- a) b = - a b$

h (9) = - 6, 075 + 12, 15

Addera termer

h (9) = 6, 075

Extrempunkten är

(9; 6, 075) .

Bestäm Två Ytterligare Punkter

För enkelhetens skull, bestäm $y -$ interceptet, vilket ges av konstanttermen $c$ i funktionsuttrycket. I detta fall är denna term lika med $0,$ vilket innebär att $y -$ interceptet inträffar vid $(0, 0)$ — origo.

Nu kan en annan punkt som ligger på parabeln hittas genom att spegla denna punkt i symmetrilinjen.

Den tredje punkten som ligger på parabeln är $(18; 0) .$

Anslut Punkterna

Slutligen kommer punkterna att kopplas samman med en jämn kurva för att rita den paraboliska formen. Eftersom funktionen representerar en hunds hopp, kommer negativa värden av funktionen inte att inkluderas.

b För att avgöra om den vuxna hunden kommer att kunna hoppa över stängslet, kommer stängslet att ritas i samma koordinatsystem. Anta att stängslet är placerat vid symmetrilinjen, där höjden på hoppet skulle vara som störst.

Eftersom den största höjd som hunden kommer att nå är

6, 075

fot och stängslets höjd är

7

fot, kommer hunden inte att kunna hoppa över stängslet.

Skissa andragradskurvor

Övningar

Andragradsfunktionen $y = a x^{2} + b x + c$ har sin minimipunkt på den negativa $y -$ axeln. Bestäm villkoren för $a,$ $b$ och $c .$

Vi kan börja med att skissa en andragradskurva som uppfyller villkoren. Extrempunkten ligger på den negativa y-axeln, vilket betyder att den ligger under x-axeln och på y-axeln.

Vi vet också att extrempunkten är ett minimum, så grafen går uppåt på båda sidor av punkten. Att grafen har en minimipunkt betyder också att koefficienten framför x^2 är positiv, vilket ger oss villkoret att a är större än noll: a > 0.

Konstanten c är skärningspunkten med y-axeln. Grafen skär y-axeln på den negativa delen så c måste vara negativt, dvs. vi får villkoret c < 0.

Vad finns det för villkor på b? En andragradsfunktions extrempunkt ligger alltid på symmetrilinjen. Eftersom den ligger på y-axeln är den x_s=0. Detta kan vi använda för att bestämma b. Vi ställer upp y=0 och använder pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen. Eftersom vi vet att den är x_s=0 kan vi ställa upp ekvationen -b/a/2=0. Vi löser ut b.

b är alltså lika med 0. Nu har vi tagit fram alla villkor för konstanterna: a>0, b=0 och c<0.

Skissa andragradskurvor

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll