Skissa andragradskurvor: Funktionens egenskaper

Andragradsfunktionen $y = a x^{2} + b x + c$ har sin minimipunkt på den negativa $y -$ axeln. Bestäm villkoren för $a,$ $b$ och $c .$

Vi kan börja med att skissa en andragradskurva som uppfyller villkoren. Extrempunkten ligger på den negativa y-axeln, vilket betyder att den ligger under x-axeln och på y-axeln.

Vi vet också att extrempunkten är ett minimum, så grafen går uppåt på båda sidor av punkten. Att grafen har en minimipunkt betyder också att koefficienten framför x^2 är positiv, vilket ger oss villkoret att a är större än noll: a > 0.

Konstanten c är skärningspunkten med y-axeln. Grafen skär y-axeln på den negativa delen så c måste vara negativt, dvs. vi får villkoret c < 0.

Vad finns det för villkor på b? En andragradsfunktions extrempunkt ligger alltid på symmetrilinjen. Eftersom den ligger på y-axeln är den x_s=0. Detta kan vi använda för att bestämma b. Vi ställer upp y=0 och använder pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen. Eftersom vi vet att den är x_s=0 kan vi ställa upp ekvationen -b/a/2=0. Vi löser ut b.

b är alltså lika med 0. Nu har vi tagit fram alla villkor för konstanterna: a>0, b=0 och c<0.

Beskriv de möjliga värdena av $a .$

Låt oss börja med att granska effekterna av parametern a på grafen för funktionen y=ax^2.

Om a<0 orsakar det en spegling i x-axeln.
Om 0 < |a| <1 orsakar det en vertikal krympning, vilket tar grafen närmare x-axeln.
Om 1 < |a| orsakar det en vertikal sträckning, vilket tar grafen bort från x-axeln.

Med detta i åtanke, låt oss ta en titt på grafen som ges i övningen för Del A.

Som vi kan se ovan, sträcks grafen för g(x) vertikalt, men den speglas inte i x-axeln. Därför kan parametern a vara vilket reellt tal som helst som är större än 1.

Låt oss börja med att analysera grafen som ges för Del B.

Som vi kan se ovan, krymps grafen för g(x) vertikalt och speglas i x-axeln. Därför, med samma argument som nämns i Del A, kan parametern a vara vilket reellt tal som helst -1

För en kvadratisk funktion $f,$ vad representerar $f (- \frac{b}{2 a}) ?$ Förklara din resonemang.

Låt oss börja med att påminna oss om standardformen för en kvadratisk funktion och ekvationen för symmetriaxeln. ccc Kvadratisk funktion & & Symmetriaxel [0.8em] f(x)=ax^2+bx+c & & x=- b/2a Eftersom symmetriaxeln är den vertikala linjen genom parabelns vertex, är x-koordinaten för vertexen - b2a. För att hitta y-koordinaten för vertexen måste vi därför utvärdera funktionen i x=- b2a. Detta innebär att vi måste beräkna värdet av f(- b2a). Följaktligen representerar f(- b2a) y-koordinaten för parabelns vertex.

Som vi kan se ovan kan vertexen vara parabelns maximi- eller minimipunkt. Därför representerar f(- b2a) också funktionens maximala eller minimala värde.

Grafen av en kvadratisk funktion har ett vertex vid

(2; 0) .

En punkt på grafen är

(5; 9) .

Hitta en annan punkt på grafen. Förklara hur du hittade den.

Kom ihåg att symmetriaxeln är den vertikala linjen genom vertexen. Låt oss plotta vertexen, den givna punkten och bestämma symmetriaxeln.

Kom ihåg att grafen för en kvadratisk funktion är symmetrisk kring symmetriaxeln. Som vi kan se ovan är symmetriaxeln linjen x=2. Nu kommer vi att spegla (5;9) över denna linje. Observera att (5;9) ligger 3 enheter till höger om linjen, så dess spegling kommer att vara 3 enheter till vänster om linjen.

Därför är en annan punkt på grafen (-1;9).

Skissa andragradskurvor

Förkunskaper

Grafen av en andragradsfunktion

Andragradsfunktioner och deras grafer

Skissa en andragradskurva

Hitta det extrema punktet eller symmetrilinjen för en andragradfunktion

Kommer en schäfer att hoppa över stängslet?

Svar

Ledtråd

Lösning

Bestäm Symmetrilinjen

Bestäm Extrempunkten

Bestäm Två Ytterligare Punkter

Anslut Punkterna

Skissa andragradskurvor

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.