Skissa andragradskurvor

För att kunna skissa kurvan kan vi använda symmetrilinjen. En metod är att ställa upp pq-formeln, vilket går utmärkt. Men vi kommer ändå att behöva veta två punkter till, exempelvis nollställena. Eftersom ekvationen vi får, om vi sätter funktionen lika med 0, 5x-x^2=0, snabbt kan lösas med nollproduktmetoden börjar vi med att bestämma nollställena och sedan symmetrilinjen som ligger mittemellan dessa.

Funktionens skär alltså x-axeln då x=0 och x=5. Symmetrilinjen ligger mittemellan dessa: x_s=0+5/2=2,5. Kurvan har en maximipunkt eftersom x^2-termen har ett minustecken framför sig. Vi beräknar dennas y-koordinat genom att sätta in symmetrilinjens x-värde.

Nu vet vi att grafen har nollställena x=0 och x=5. Vi har också beräknat att den har en maximipunkt i (2,5;6,25). Då har vi allt för att kunna skissa den.

Kontroll med räknare

Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen i fråga.

Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.

Här ser vi nu att grafen vi skissade ser ut som räknarens. Formen, nollställena och maximipunkten verkar stämma. Vill man kontrollera maximipunkten exakt kan man använda räknarens verktyg för detta.

Vi kan använda pq-formeln, men eftersom 0,25x^2-4=0 går att lösa med balansmetoden kan vi lika gärna resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften och först hitta nollställena och därefter extrempunkten, som i detta fall är en minimipunkt.

Funktionens graf skär x-axeln i x=4 och x=-4. Symmetrilinjen ligger mittemellan, alltså x=0. Vi använder den för att beräkna det minsta värdet.

Grafens minimipunkt är alltså (0,-4) och nollställena är x=-4 och x=4. Nu kan vi skissa kurvan.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi ser att skissen var välritad även i detta fall.

Låt oss undersöka grafen nedan för de olika värdena på a, större än noll.

Vi ser att grafen för f(x)=ax^2 är smalare än grafen för g(x)=x^2 endast om a > 1. För 0 < a < 1, är grafen bredare. Därför är grafen för f ibland smalare än grafen för den andra funktionen.

Låt oss undersöka grafen nedan.

Vi ser att grafen för f(x)=ax^2 är bredare än grafen för g(x)=x^2 när 0 < a < 1. Det gäller även för speglingen i x-axeln av graferna för funktionerna. Med andra ord, det gäller för alla a-värden mellan - 1 och 0. Därför är grafen för f alltid bredare.

Låt oss börja med att komma ihåg att när x^2 multipliceras med ett tal vars absolutbelopp är större än ett får vi en vertikal sträckning. Om x^2 multipliceras med ett tal vars absolutbelopp är "mindre än" ett kommer en vertikal krympning att ske.

Observera att i fall av sträckning och krympning påverkar förändringen i värdet på a inte vertexen. Detta betyder att vår vän har inte rätt. Men om vi ändrar värdet på c kommer vertexen för denna ekvation att förskjutas antingen uppåt eller nedåt.

Vi får tre punkter som ligger på grafen till en kvadratisk funktion. ( 3; 2), (4;7), (9; 2) Vi ser att två punkter har samma y-koordinat, 2, så symmetriaxeln ligger mellan punkterna ( 3; 2) och (9; 2). Den del av parabeln mellan dessa två punkter passerar genom vertexen. Vi måste avgöra om vertexen ligger ovanför dessa punkter eller inte. Den andra punkten hjälper oss att räkna ut det. (4; 7) Dess y-koordinat är 7, vilket är större än 2. Därför bör vertexen ligga ovanför punkterna ( 3; 2) och (9; 2). Grafen öppnar sig nedåt.

Låt oss plotta punkterna (3;2), (4;7), och (9;2) och rita en jämn kurva genom dem.

Vi ser att grafen öppnar sig nedåt.