4. Skissa andragradskurvor
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
4.
Skissa andragradskurvor
Innehållet handlar om hur man skissar andragradskurvor och förklarar begreppet på ett pedagogiskt sätt. Den beskriver hur en andragradsfunktion kan skissas genom att identifiera tre punkter på kurvan: extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen. Sidan förklarar också hur olika värden på konstanterna i funktionen påverkar kurvans form och bredd. Det finns även interaktiva verktyg som hjälper användaren att visualisera och förstå hur andragradskurvor ser ut. Sidan är en del av Mathleaks digitala plattform som erbjuder en mängd lektionener för att studera matematik online.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 8 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Skissa andragradskurvor
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsfunktioner och deras grafer
- Skissa en andragradskurva
Förkunskaper
Utforska
Grafen av en andragradsfunktion
Den följande appen visar hur grafen för en andragradsfunktion f(x)=ax2+bx+c förändras när värdena för de konstanterna a, b, och c ändras.
Koncept
Andragradsfunktioner och deras grafer
Om en andragradsfunktion står på formen y=ax2+bx+c avgör a både åt vilket håll kurvan är krökt (⌣ eller ⌢) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100 eller −100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0,5 eller −0,5) ger bredare kurvor. Konstanten c avgör grafens skärningspunkt med y-axeln.
Metod
Skissa en andragradskurva
För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex.
y=x2−2x+1,
behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.
1
Bestäm symmetrilinjen
expand_more Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Ställer man upp ekvationen x2−2x+1=0 får man
x=−2−2±(2−2)2−1.
Symmetrilinjen xs är termen framför rottecknet.
Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1. 2
Bestäm extrempunkten
expand_more Extrempunktens x-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten bestäms genom att sätta in detta x i funktionen.
Extrempunkten är (1,0), vilket ger den första punkten på grafen. 
y=x2−2x+1
Substitute
x=1
y=12−2⋅1+1
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
y=1−2+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=0
3
Bestäm två punkter till
expand_more För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt x-värde i funktionen och beräkna motsvarande y-värde.
Punkten (2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma y-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1). 
y=x2−2x+1
Substitute
x=2
y=22−2⋅2+1
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
y=4−4+1
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
y=1
4
Sammanbind punkterna
expand_more Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.
Övning
Hitta det extrema punktet eller symmetrilinjen för en andragradfunktion
Bestäm den begärda informationen för den givna andragradsfunktionen.
Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.
Exempel
Kommer en schäfer att hoppa över stängslet?
Den följande andragradsfunktionen representerar den paraboliska banan för en vuxen schäfers hopp.
Extrempunkten är (9;6,075). 
Eftersom den största höjd som hunden kommer att nå är 6,075 fot och stängslets höjd är 7 fot, kommer hunden inte att kunna hoppa över stängslet.
h(x)=−0,075x2+1,35x
Här är x hundens horisontella avstånd från hoppstället och h(x) är höjden på det hoppet. Båda värdena ges i fot. a Rita funktionens graf.
b Kan en vuxen schäfer hoppa över ett 7-fot högt stängsel?
Svar
a Graf:
b Nej
Ledtråd
a Börja med att bestämma symmetrilinjen och extrempunkten. Sedan, hitta två ytterligare punkter som ligger på kurvan.
b Tänk på koordinaterna för parabolens extrempunkt.
Lösning
a Det finns fyra steg att följa för att rita en andragradsfunktion.
Bestäm Symmetrilinjen
För att hitta ekvationen för symmetrilinjen bör koefficienterna a, b, och c först hittas.h(x)=−0,075x2+1,35x⇕h(x)=−0,075x2+1,35x+0
Här är a=−0,075, b=1,35, och c=0. Symmetrilinjen är en vertikal linje med ekvationen x=2a−b, vilket är uttrycket framför radikaluttrycket i pq-formeln.
Symmetrilinjen är den vertikala linjen x=9. Bestäm Extrempunkten
Extrempunkten ligger på symmetrilinjen. Detta innebär att x-koordinaten är 9. Nu, för att hitta y-koordinaten, kommer x=9 att sättas in i funktionsuttrycket.h(x)=−0,075x2+1,35x
Substitute
x=9
h(9)=−0,075(9)2+1,35(9)
▼
Beräkna högerled
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
h(9)=−0,075(81)+12,15
MultNegPos
(−a)b=−ab
h(9)=−6,075+12,15
AddTerms
Addera termer
h(9)=6,075
Bestäm Två Ytterligare Punkter
För enkelhetens skull, bestäm y-interceptet, vilket ges av konstanttermen c i funktionsuttrycket. I detta fall är denna term lika med 0, vilket innebär att y-interceptet inträffar vid (0,0) — origo.
Nu kan en annan punkt som ligger på parabeln hittas genom att spegla denna punkt i symmetrilinjen.
Den tredje punkten som ligger på parabeln är (18;0).
Anslut Punkterna
Slutligen kommer punkterna att kopplas samman med en jämn kurva för att rita den paraboliska formen. Eftersom funktionen representerar en hunds hopp, kommer negativa värden av funktionen inte att inkluderas.
b För att avgöra om den vuxna hunden kommer att kunna hoppa över stängslet, kommer stängslet att ritas i samma koordinatsystem. Anta att stängslet är placerat vid symmetrilinjen, där höjden på hoppet skulle vara som störst.
Skissa andragradskurvor
Övningar
Skissa för hand grafen till funktionen. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.
y=−x2−x+2
y=2x2−4x−6
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att konstatera att kurvan har en negativ koefficient, -1, framför x^2 vilket innebär att den har en maximipunkt. Vi hittar först symmetrilinjen med pq-formeln. Genom att sätta funktionsuttrycket lika med 0 får vi ekvationen - x^2-x+2=0, som vi skriver på pq-form genom att byta tecken på alla termer: x^2+x-2=0. Vi ställer upp pq-formlen och läser av symmetrilinjen. x=-1/2±sqrt((1/2)^2-(-2)). Symmetrilinjen är termen framför ±-tecknet.
Symmetrilinjen är x_s=0,5. Nu kan vi bestämma maximipunkten genom att sätta in detta x-värde i ursprungsfunktionen, eftersom symmetrilinjen alltid går genom andragradskurvans extrempunkt.
Andragradskurvans extrempunkt ligger i (-0,5;2,25), vilket vi ritar in tillsammans med symmetrilinjen i ett koordinatsystem.
Vi vet att kurvan kommer att skära x-axeln på två ställen. För att kunna rita kurvan korrekt behöver vi veta dessa nollställen. Vi gör detta genom att förenkla klart uttrycket vi ställde upp med pq-formeln tidigare.
Punkterna (-2,0) och (1,0) ligger också på kurvan. Dessutom vet vi att c=2, så kurvan skär y-axeln där y=2. Nu kan vi sammanbinda punkterna och bilda oss en uppfattning om andragradskurvans utseende.
Kontroll med räknare
Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen.
Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.
Form, nollställen och skärning med y-axeln verkar stämma överens. Vår egen skiss bör alltså vara korrekt.
Den här kurvan har en minimipunkt. Vi gör på samma sätt, bestämmer symmetrilinjen genom att använda pq-formeln. Genom att likställa funktionen med 0 och dividera med 2 får vi pq-form:
x^2-2x-3=0.
Vi ställer upp pq-formlen och läser av symmetrilinjen.
x=--2/2±sqrt((-2/2)^2-(-3)).
Symmetrilinjen är termen framför ±-tecknet.
Symmetrilinjen är alltså x_s=1. Nu bestämmer vi minimipunkten genom att sätta in det i ursprungsfunktionen.
Andragradskurvans extrempunkt ligger i (1,-8). Nu ritar vi det vi vet i ett koordinatsystem.
Även här är det lämpligt att bestämma nollställena med hjälp av pq-formeln.
Punkterna (-1,0) och (3,0) ligger också på kurvan. Dessutom vet vi att c=-6, så kurvan skär y-axeln där y=-6. Nu kan vi sammanbinda punkterna för att ge en uppfattning om andragradskurvans utseende.
Kontroll med räknare
Vi skriver in grafen på räknare som i tidigare deluppgift och trycker på GRAPH.
Vi kan även nu konstatera att vår egen skiss var korrekt ritad.
security
report
code
Skissa grafen till funktionen för hand. Kontrollera dina skisser med räknarens grafverktyg.
y=5x−x2
y=0,25x2−4
security
report
code
security
report
code
För att kunna skissa kurvan kan vi använda symmetrilinjen. En metod är att ställa upp pq-formeln, vilket går utmärkt. Men vi kommer ändå att behöva veta två punkter till, exempelvis nollställena. Eftersom ekvationen vi får, om vi sätter funktionen lika med 0, 5x-x^2=0, snabbt kan lösas med nollproduktmetoden börjar vi med att bestämma nollställena och sedan symmetrilinjen som ligger mittemellan dessa.
Funktionens skär alltså x-axeln då x=0 och x=5. Symmetrilinjen ligger mittemellan dessa: x_s=0+5/2=2,5. Kurvan har en maximipunkt eftersom x^2-termen har ett minustecken framför sig. Vi beräknar dennas y-koordinat genom att sätta in symmetrilinjens x-värde.
Nu vet vi att grafen har nollställena x=0 och x=5. Vi har också beräknat att den har en maximipunkt i (2,5;6,25). Då har vi allt för att kunna skissa den.
Kontroll med räknare
Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen i fråga.
Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.
Här ser vi nu att grafen vi skissade ser ut som räknarens. Formen, nollställena och maximipunkten verkar stämma. Vill man kontrollera maximipunkten exakt kan man använda räknarens verktyg för detta.
Vi kan använda pq-formeln, men eftersom
0,25x^2-4=0
går att lösa med balansmetoden kan vi lika gärna resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften och först hitta nollställena och därefter extrempunkten, som i detta fall är en minimipunkt.
Funktionens graf skär x-axeln i x=4 och x=-4. Symmetrilinjen ligger mittemellan, alltså x=0. Vi använder den för att beräkna det minsta värdet.
Grafens minimipunkt är alltså (0,-4) och nollställena är x=-4 och x=4. Nu kan vi skissa kurvan.
Kontroll med räknare
Vi kontrollerar på samma sätt som i föregående deluppgift.
Vi ser att skissen var välritad även i detta fall.
security
report
code
Skissa andragradskurvor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll