Skissa andragradskurvor

Vi börjar med att konstatera att kurvan har en negativ koefficient, -1, framför x^2 vilket innebär att den har en maximipunkt. Vi hittar först symmetrilinjen med pq-formeln. Genom att sätta funktionsuttrycket lika med 0 får vi ekvationen - x^2-x+2=0, som vi skriver på pq-form genom att byta tecken på alla termer: x^2+x-2=0. Vi ställer upp pq-formlen och läser av symmetrilinjen. x=-1/2±sqrt((1/2)^2-(-2)). Symmetrilinjen är termen framför ±-tecknet.

Symmetrilinjen är x_s=0,5. Nu kan vi bestämma maximipunkten genom att sätta in detta x-värde i ursprungsfunktionen, eftersom symmetrilinjen alltid går genom andragradskurvans extrempunkt.

Andragradskurvans extrempunkt ligger i (-0,5;2,25), vilket vi ritar in tillsammans med symmetrilinjen i ett koordinatsystem.

Vi vet att kurvan kommer att skära x-axeln på två ställen. För att kunna rita kurvan korrekt behöver vi veta dessa nollställen. Vi gör detta genom att förenkla klart uttrycket vi ställde upp med pq-formeln tidigare.

Punkterna (-2,0) och (1,0) ligger också på kurvan. Dessutom vet vi att c=2, så kurvan skär y-axeln där y=2. Nu kan vi sammanbinda punkterna och bilda oss en uppfattning om andragradskurvans utseende.

Kontroll med räknare

Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen.

Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.

Form, nollställen och skärning med y-axeln verkar stämma överens. Vår egen skiss bör alltså vara korrekt.

Den här kurvan har en minimipunkt. Vi gör på samma sätt, bestämmer symmetrilinjen genom att använda pq-formeln. Genom att likställa funktionen med 0 och dividera med 2 får vi pq-form: x^2-2x-3=0. Vi ställer upp pq-formlen och läser av symmetrilinjen. x=--2/2±sqrt((-2/2)^2-(-3)). Symmetrilinjen är termen framför ±-tecknet.

Symmetrilinjen är alltså x_s=1. Nu bestämmer vi minimipunkten genom att sätta in det i ursprungsfunktionen.

Andragradskurvans extrempunkt ligger i (1,-8). Nu ritar vi det vi vet i ett koordinatsystem.

Även här är det lämpligt att bestämma nollställena med hjälp av pq-formeln.

Punkterna (-1,0) och (3,0) ligger också på kurvan. Dessutom vet vi att c=-6, så kurvan skär y-axeln där y=-6. Nu kan vi sammanbinda punkterna för att ge en uppfattning om andragradskurvans utseende.

Kontroll med räknare

Vi skriver in grafen på räknare som i tidigare deluppgift och trycker på GRAPH.

Vi kan även nu konstatera att vår egen skiss var korrekt ritad.

För att kunna skissa kurvan kan vi använda symmetrilinjen. En metod är att ställa upp pq-formeln, vilket går utmärkt. Men vi kommer ändå att behöva veta två punkter till, exempelvis nollställena. Eftersom ekvationen vi får, om vi sätter funktionen lika med 0, 5x-x^2=0, snabbt kan lösas med nollproduktmetoden börjar vi med att bestämma nollställena och sedan symmetrilinjen som ligger mittemellan dessa.

Funktionens skär alltså x-axeln då x=0 och x=5. Symmetrilinjen ligger mittemellan dessa: x_s=0+5/2=2,5. Kurvan har en maximipunkt eftersom x^2-termen har ett minustecken framför sig. Vi beräknar dennas y-koordinat genom att sätta in symmetrilinjens x-värde.

Nu vet vi att grafen har nollställena x=0 och x=5. Vi har också beräknat att den har en maximipunkt i (2,5;6,25). Då har vi allt för att kunna skissa den.

Kontroll med räknare

Genom att trycka på knappen Y= kan vi skriva in funktionen i fråga.

Vi trycker nu på GRAPH för att rita upp grafen.

Här ser vi nu att grafen vi skissade ser ut som räknarens. Formen, nollställena och maximipunkten verkar stämma. Vill man kontrollera maximipunkten exakt kan man använda räknarens verktyg för detta.

Vi kan använda pq-formeln, men eftersom 0,25x^2-4=0 går att lösa med balansmetoden kan vi lika gärna resonera på liknande sätt som i förra deluppgiften och först hitta nollställena och därefter extrempunkten, som i detta fall är en minimipunkt.

Funktionens graf skär x-axeln i x=4 och x=-4. Symmetrilinjen ligger mittemellan, alltså x=0. Vi använder den för att beräkna det minsta värdet.

Grafens minimipunkt är alltså (0,-4) och nollställena är x=-4 och x=4. Nu kan vi skissa kurvan.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar på samma sätt som i föregående deluppgift.

Vi ser att skissen var välritad även i detta fall.

Låt oss undersöka grafen nedan för de olika värdena på a, större än noll.

Vi ser att grafen för f(x)=ax^2 är smalare än grafen för g(x)=x^2 endast om a>1. För 0ibland smalare än grafen för den andra funktionen.

Låt oss undersöka grafen nedan.

Vi ser att grafen för f(x)=ax^2 är bredare än grafen för g(x)=x^2 när 0alltid bredare.

Låt oss börja med att komma ihåg att när x^2 multipliceras med ett tal vars absolutbelopp är större än ett får vi en vertikal sträckning. Om x^2 multipliceras med ett tal vars absolutbelopp är "mindre än" ett kommer en vertikal krympning att ske.

Observera att i fall av sträckning och krympning påverkar förändringen i värdet på a inte vertexen. Detta betyder att vår vän har inte rätt. Men om vi ändrar värdet på c kommer vertexen för denna ekvation att förskjutas antingen uppåt eller nedåt.

Vi får tre punkter som ligger på grafen till en kvadratisk funktion. ( 3; 2), (4;7), (9; 2) Vi ser att två punkter har samma y-koordinat, 2, så symmetriaxeln ligger mellan punkterna ( 3; 2) och (9; 2). Den del av parabeln mellan dessa två punkter passerar genom vertexen. Vi måste avgöra om vertexen ligger ovanför dessa punkter eller inte. Den andra punkten hjälper oss att räkna ut det. (4; 7) Dess y-koordinat är 7, vilket är större än 2. Därför bör vertexen ligga ovanför punkterna ( 3; 2) och (9; 2). Grafen öppnar sig nedåt.

Låt oss plotta punkterna (3;2), (4;7), och (9;2) och rita en jämn kurva genom dem.

Vi ser att grafen öppnar sig nedåt.