Sinussatsen

Vi känner till två sidor och en mellanliggande vinkel. Vi kan då bestämma en vinkel till med sinussatsen, dvs. sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c. Vi börjar alltså med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i satsen: sin(B)/45.6=sin(47 ^(∘))/35, och bestämmer vinkel B genom att lösa ekvationen.

Ett värde på B är alltså cirka 72^(∘). Eftersom vi vet att vinkel C=47^(∘) ger triangelns vinkelsumma att den sista vinkeln är 180^(∘) - 72 ^(∘) - 47 ^(∘)=61 ^(∘).

Nu vet vi alltså vinklarna i en möjlig triangel. Men eftersom sin(v)=sin(180^(∘)-v) måste vi även undersöka nu om vinkeln 180^(∘)-B, dvs. 180^(∘)-72^(∘)=108^(∘), också är ett rimligt svar. Det gör vi genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln, 47^(∘): 108^(∘)+47^(∘)=155^(∘).

Summan överstiger inte triangelns vinkelsumma på 180^(∘). Det finns alltså ytterligare en triangel som uppfyller de givna förutsättningarna, där vinkel A=180^(∘) - 108 ^(∘) - 47 ^(∘)=25 ^(∘).

Det finns alltså två rimliga kombinationer av vinklar för triangeln: 47 ^(∘), 72 ^(∘) och 61 ^(∘) samt 47 ^(∘), 108 ^(∘) och 25 ^(∘).

Vi tänker på samma sätt här och börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen. sin(33^(∘))/120=sin(B)/188 Sedan bestämmer vi vinkel B.

Vi får ett värde på B som är 59^(∘). Den sista vinkeln blir då 180^(∘) - 59 ^(∘) - 33 ^(∘)=88 ^(∘).

Vi undersöker nu om vinkeln 180^(∘)-B, dvs. 180^(∘)-59^(∘)=121^(∘), också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln: 121^(∘)+33^(∘)=154^(∘).

Detta överstiger inte triangelns vinkelsumma på 180^(∘), vilket ger oss triangeln i figuren nedan.

De två möjliga trianglarna har vinklarna 33 ^(∘), 59 ^(∘) och 88 ^(∘) eller 33 ^(∘), 66 ^(∘) och 121 ^(∘).

Även här börjar vi med att sätta in givna värden i sinussatsen och lösa ekvationen.

Ett värde på B är alltså 67^(∘) vilket ger oss triangeln i figuren nedan.

På samma sätt som tidigare undersöker vi summan av vinkeln 180^(∘)-67^(∘)=113^(∘) och den givna vinkeln, 79^(∘): 113^(∘)+79^(∘)=192^(∘).

Summan överstiger triangelns vinkelsumma på 180^(∘). Därför är vinklarna 79 ^(∘), 67^(∘) och 34 ^(∘) de enda möjliga för dessa förutsättningar.

Inget nytt, vi sätter in kända värden i satsen.

Detta värde på B ger att triangeln kommer att se ut på följande sätt.

Sedan undersöker vi summan av vinkeln 180^(∘)-86^(∘)=94^(∘) och 33^(∘): 94^(∘)+33^(∘)=127^(∘).

Denna summa överstiger inte triangelns vinkelsumma på 180^(∘) vilket gör att vi får ett alternativt utseende på triangeln.

Triangeln kan alltså ha vinklarna 33 ^(∘), 86 ^(∘) och 61 ^(∘) eller 33 ^(∘), 53 ^(∘) och 94 ^(∘).

Vi börjar med att rita en triangel som illustrerar villkoren.

Men kan man överhuvudtaget rita denna triangel? Vi börjar med att beräkna B med sinussatsen för att undersöka om vi får ut en rimlig vinkel.

Om man slår in detta på räknaren kommer den att svara med ett felmeddelande. Men vad beror det på? Jo, att kvoten i högerledet är större än 1: 4 sin(39^(∘))/2.5=1.00691... Om man tittar på enhetscirkeln ser man att det största y-värdet som antas är 1. Det betyder att ett sinusvärde inte kan vara större än detta. Därför får man ett felmeddelande när man försöker ta arcsin av ett värde större än 1. I det här fallet blir den geometriska tolkningen att sidan BC är för kort för att det ska kunna bildas en triangel utifrån de givna villkoren.

För att avgöra vem av dem som har rätt måste vi ta reda på vilka vinklar triangel XYZ kan ha. Vi börjar med att skissa en triangel baserat på de sidor och den vinkel vi redan vet, för att få en uppfattning om ungefär hur den ser ut.

Frågan är nu vilken storlek vinklarna Y och Z kan ha. Vi börjar med att bestämma vinkel Y med hjälp av sinussatsen.

Vinkel Y är alltså ca 72^(∘) och triangelns vinkelsumma ger att Z är lika med 180^(∘)-72^(∘)-25^(∘)=83^(∘). Innan vi drar någon slutsats om vem av Linda och Eimear som har rätt måste vi komma ihåg att det enligt sambandet sin(v)=sin(180^(∘)-v) finns två vinklar på intervallet 0^(∘)≤ v≤180^(∘) med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln 180^(∘)-Y: 180^(∘)-72^(∘)=108^(∘). Eftersom summan av 108^(∘) och 25^(∘) blir mindre än 180^(∘) finns det "grader över" till den tredje vinkeln Z även när Y är 108^(∘). Då kommer vinkel Z vara lika med 180^(∘)-108^(∘)-25^(∘)=47^(∘). Triangel XYZ kan alltså se ut på följande två sätt.

I den vänstra triangeln ser vi att vinkel Z är störst (83^(∘)) medan vinkeln Y är störst i den högra triangeln (108^(∘)). Både Linda och Eimear har alltså rätt, beroende på vilken av de två trianglarna man studerar.