Sinussatsen

De motstående vinklarna till sidorna x och y är båda v. För att kunna använda sinussatsen måste vi även känna till de motstående vinklarna till sidorna a och c. Låt oss då kalla den ena vinkeln vid punkt D för u. Då är den andra 180^(∘)-u eftersom detta är en sidovinkel.

Nu kan vi ställa upp två olika samband med sinussatsen: en för triangeln ABD och en för BCD: sin(v)/x=sin(u)/c och sin(v)/y=sin(180^(∘)-u)/a. Uttrycket sin(v) finns i båda ekvationerna. Det betyder att om vi löser ut det i båda kan vi likställa uttrycken: sin(v)=xsin(u)/c och sin(v)=ysin(180^(∘)-u)/a. Sedan använder vi att sinusvärdet för en vinkel u och 180^(∘)-u är samma.

Förhållandet mellan sidorna är alltså x/y=c/a.

Figuren bildar en rätvinklig triangel där höjden h är en av triangelns kateter och där den andra kateten AB är 30 km. Med denna information kan vi använda definitionen för tangens för att beräkna h.

Norrskenet låg ungefär på höjden 112 km.

I figuren hittar vi två rätvinkliga trianglar inuti en större triangel som vi kallar för ABC. Hörnet vid norrskenet kallas alltså C och vinklarna vid Alma och Bert är 83^(∘) och 87^(∘) vilket betyder att vinkeln vid norrskenet blir C=180^(∘)-83^(∘)-87^(∘)=10^(∘). Vi väljer att kalla punkten där höjden träffar sidan AB för D och kan därefter rita följande icke-skalenliga figur.

Om vi kan hitta hypotenusan i en av de rätvinkliga trianglarna ACD eller BCD, dvs. någon av sidorna AC eller BC, kan vi därefter använda definitionen för sinus för att beräkna höjden h. I triangeln ABC känner vi till samtliga vinklar och motstående sida till vinkel C. Då kan vi använda sinussatsen för att exempelvis bestämma sidan BC.

Vi behåller sidan i exakt form så länge för att minimera avrundningsfel. Nu känner vi alltså till hypotenusan i triangel BCD och använder detta för att bestämma höjden h med definitionen av sinus.

Höjden till norrskenet är nu ca 171 km.

Nu kallar vi de godtyckliga vinklarna vid Alma och Bertil för A respektive B.

Eftersom triangelns vinkelsumma är 180^(∘) kan vi även bestämma ett uttryck för vinkel C: C=180^(∘)-(A+B). Nu kan vi med hjälp av sinussatsen ställa upp ett generellt uttryck som beskriver sidan BC.

Nu använder vi definitionen för sinus för att hitta ett uttryck för h.

Med denna formel kan man hitta höjden h givet vinklarna A och B. Men vi är inte helt klara eftersom formeln kan förenklas ytterligare. Genom att använda sambandet sin(180^(∘)-v)=sin(v) kan vi ersätta nämnaren med sin(A+B): h=30sin(A)* sin(B)/sin(A+B).

För att undersöka om formeln gäller även om vinkeln vid B skulle vara trubbig ritar vi en ny figur, där D återigen är punkten rakt under norrskenet men som ligger utanför sträckan på 30 km mellan Alma och Bert.

Vi börjar på samma sätt här. Hypotenusan BC beräknas på samma sätt som tidigare med sinussatsen: BC/sin(A)=30/sin(180^(∘)-(A+B)) vilket förenklas till BC=30sin(A)/sin(180^(∘)-(A+B)). För att ta fram en formel för h behöver vi känna till vinkeln i hörn B i triangeln BCD. Eftersom denna är sidovinkel till vinkel B i triangel ABC måste den vara 180^(∘)-B. Nu kan vi använda definitionen för sinus, och genom att använda att sin(v)=sin(180^(∘)-v) ser vi att formeln kan skrivas om så att den blir identisk med tidigare.

Det går alltså att använda samma formel även om norrskenet befinner sig norr om Bert.