Sinussatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.

sin(A)a=sin(B)b=sin(C)c\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}

AA, BB och CC är triangelns vinklar medan aa, bb och cc är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.

Mellan 00^\circ och 180180^\circ finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas asin(A)=bsin(B)=csin(C), \dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}=\dfrac{c}{\sin(C)},

vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.

Bevis

Bevis för sinussatsen

För att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.

Om man studerar sidorna bb och cc blir AA mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas Area=bcsin(A)2. \text{Area}=\dfrac{bc\sin(A)}{2}. Utgår man istället ifrån vinkel BB respektive CC får man två nya samband som beskriver samma area: Area=acsin(B)2ochArea=absin(C)2. \text{Area}=\dfrac{ac\sin(B)}{2} \quad \text{och}\quad \text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}. Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.

bcsin(A)2=acsin(B)2=absin(C)2\dfrac{bc\sin(A)}{2}=\dfrac{ac\sin(B)}{2}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
bcsin(A)=acsin(B)=absin(C)bc\sin(A)=ac\sin(B)=ab\sin(C)
bcsin(A)abc=acsin(B)abc=absin(C)abc\dfrac{bc\sin(A)}{abc}=\dfrac{ac\sin(B)}{abc}=\dfrac{ab\sin(C)}{abc}
sin(A)a=sin(B)b=sin(C)c\dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}
Detta är alltså sinussatsen.
Q.E.D.
Uppgift

Bestäm sidan x.x. Avrunda till en decimal.

Lösning

Enligt sinussatsen gäller sambandet asin(A)=bsin(B)=csin(C), \dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}=\dfrac{c}{\sin(C)}, där A,A, BB och CC är vinklar och a,a, bb och cc är respektive vinkels motstående sida. Vi bestämmer först motstående vinkel till xx med hjälp av triangelns vinkelsumma: 1807941=60. 180^\circ-79^\circ-41^\circ=60^\circ. Vi kompletterar figuren med den sista vinkeln.

Vi sätter in värden på vinklar och sidor i sinussatsen och löser ut x.x.
asin(A)=bsin(B)\dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}
xsin(60)=1.7sin(79)\dfrac{x}{\sin(60^\circ)}=\dfrac{1.7}{\sin(79^\circ)}
x=1.7sin(79)sin(60)x=\dfrac{1.7}{\sin(79^\circ)} \cdot \sin(60^\circ)
x=1.49979x=1.49979 \ldots
x1.5x \approx 1.5
Sidan xx är alltså ca 1.51.5 le.
Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestämma vinklar med sinussatsen

När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna XX och YY i triangeln XYZXYZ när man vet att motstående sida till XX är x=10x=10 mm och att Z=30Z=30 ^\circ är motstående vinkel till sidan z=7z=7 mm.

1

Sätt in känd vinkel och sidor i sinussatsen

Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna xx och zz samt vinkeln Z.Z. Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen: sin(X)10=sin(30)7. \dfrac{\sin(X)}{10}=\dfrac{\sin(30^\circ)}{7}.

2

Lös ut den okända vinkeln

Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.

sin(X)10=sin(30)7\dfrac{\sin(X)}{10}=\dfrac{\sin(30^\circ)}{7}
sin(X)=10sin(30)7\sin(X)=\dfrac{10\sin(30^\circ)}{7}
sin(X)=10127\sin(X)=\dfrac{10\cdot\frac{1}{2}}{7}
sin(X)=57\sin(X)=\dfrac{5}{7}
X=arcsin(57)X=\arcsin\left(\dfrac{5}{7}\right)
X=45.58469X=45.58469\ldots^\circ
Avrunda till närmaste heltal
X46X \approx 46^\circ

Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: X46.X \approx 46^\circ. Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, Y,Y, är 1803046=104.180^\circ-30^\circ-46^\circ=104^\circ.

3

Bestäm vinkeln 180v180^\circ-v

Mellan 00^\circ och 180180^\circ finns det två vinklar som ger samma sinusvärde, så en annan möjlig vinkel är 18046=134. 180^\circ-46^\circ=134^\circ. Både X=46X=46^\circ och X=134X=134^\circ är alltså lösningar på ekvationen sin(X)10=sin(30)7.\frac{\sin(X)}{10}=\frac{\sin(30^\circ)}{7}. Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln XX är 134134^\circ. Vi kontrollerar detta geometriskt.

4

Är vinkeln 180v180^\circ-v rimlig?

För att undersöka om 134134^\circ är en möjlig vinkel i triangeln kontrollerar man att summan av 134134^\circ och 3030^\circ är mindre än triangelns vinkelsumma: 134+30=164. 134^\circ+30^\circ=164^\circ. Eftersom summan av vinklarna är mindre än 180180^\circ finns det "grader över" till triangelns sista vinkel, Y=180164=16.Y = 180^\circ-164^\circ=16^\circ.

Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än 180180^\circ skulle det inte gå att bilda en triangel där X=134X=134^\circ och Y=16.Y=16^\circ. Då hade triangeln där X=46X=46^\circ och Y=104Y=104^\circ varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar: X=46 och Y=104ellerX=134 och Y=16.\begin{aligned} X=46^\circ&\text{ och }Y=104^\circ\\[0.7em] &\text{eller}\\[0.7em] X=134^\circ&\text{ och }Y=16^\circ. \end{aligned}

Uppgift

I triangeln ABCABC är AA är motstående vinkel till sida a,a, att BB är motstående vinkel till sida b,b, osv. Bestäm vinkel AA givet att a=5,b=8  och  B=99. a=5,\quad b=8\ \ \text{och}\ \ B=99^\circ. Avrunda AA till närmaste heltal.

Lösning
Vi börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen. sin(A)5=sin(99)8 \dfrac{\sin(A)}{5}=\dfrac{\sin(99^\circ)}{8} Genom att lösa ekvationen bestämmer vi nu vinkel A.A.
sin(A)5=sin(99)8\dfrac{\sin(A)}{5}=\dfrac{\sin(99^\circ)}{8}
sin(A)=5sin(99)8\sin(A)=\dfrac{5\sin(99^\circ)}{8}
A=arcsin(5sin(99)8)A=\arcsin\left(\dfrac{5\sin(99^\circ)}{8}\right)
A=38.11961A=38.11961\ldots^\circ
Avrunda till närmaste heltal
A38A\approx38^\circ
Ett värde på AA är alltså 38.38^\circ. Vi undersöker nu om vinkeln 180A,180^\circ-A, dvs. 18038=142,180^\circ-38^\circ=142^\circ, också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln, 9999^\circ: 142+99=241. 142^\circ+99^\circ=241^\circ. Summan överstiger triangelns vinkelsumma180.180^\circ. Då kan vinkel AA inte vara 142,142^\circ, utan det enda rimliga svaret är 38.38^\circ.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm längden på sida xx i respektive triangel. Avrunda till en decimal.

a


b


c
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna triangelns omkrets. Avrunda till 11 decimal.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangeln ABCABC är sidorna ACAC och BCBC lika långa. Beräkna triangelns area.

Nationella provet VT05 MaD
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Dana har en pool längs med åkrarna kring sin trädgård. Om en vecka ska hon ha barnkalas och eftersom hon är orolig för att något av barnen ska ramla ner i poolen tänker hon bygga ett provisoriskt staket längs den kant som vetter mot gräsmattan, där barnen kommer att leka. Beräkna hur långt staketet måste vara, givet informationen i figuren. Längderna är angivna i meter. Avrunda till en decimal.

Tomt med pool och hus
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en triangel ABCABC gäller det att sin(A)a=sin(B)b=sin(C)c=0.25. \dfrac{\sin(A)}{a}=\dfrac{\sin(B)}{b}=\dfrac{\sin(C)}{c}=0.25. Man vet också att en av sidorna är 11 le. Kan denna sidas motstående vinkel vara 30?30^\circ? Motivera!

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Matematikläraren Halldór-Steingrímur har ritat två skalenliga trianglar på whiteboarden.


a

Bestäm sin(u)\sin(u) och sin(v)\sin(v) exakt.

b

Med utgångspunkt i resultatet på deluppgift A, förklara hur det kommer sig att vinklarna uu och vv kan vara olika stora. Använd enhetscirkeln.

c

Bestäm vinklarna uu och v.v. Avrunda till heltal.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangeln ABCABC gäller att AA är motstående vinkel till sida a,a, att BB är motstående vinkel till sida bb osv. Bestäm triangelns vinklar givet att


a
b=45.6,c=35  och  C=47.b=45.6,\quad c=35 \ \ \text{och}\ \ C=47^\circ.
b
a=120,b=188  och  A=33.a=120,\quad b=188\ \ \text{och}\ \ A=33^\circ.


c
a=3.1,b=2.9  och  A=79.a=3.1,\quad b=2.9\ \ \text{och}\ \ A=79^\circ.
d
a=71,b=130  och  A=33.a=71,\quad b=130\ \ \text{och}\ \ A=33^\circ.
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det en triangel ABCABC som uppfyller villkoren: AC=4 cm,BC=2.5 cmochA=39? AC=4 \text{ cm}, \quad BC=2.5 \text{ cm} \quad \text{och} \quad \wedge A=39^\circ? Motivera ditt svar.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linda och Eimear har i uppgift att avgöra vilken av vinklarna i en triangel XYZXYZ som är störst, givet att X=25,YZ=2.8 cm   och   XZ=6.3 cm. X=25^\circ,\quad YZ=2.8\text{ cm}\ \ \ \text{och} \ \ \ XZ=6.3\text{ cm.} De löser uppgiften var för sig och kommer fram till olika svar. Linda menar att vinkel ZZ är störst medan Eimear påstår att det är vinkel YY som är störst. Vem av dem har rätt?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangeln ABCABC har bisektrisen BDBD ritats ut. Den delar vinkeln BB på mitten och skapar två nya trianglar: ABDABD och BCD.BCD.

Enligt bisektrissatsen förhåller sig sidlängderna i de nya trianglarna enligt xy=ca.\frac{x}{y}=\frac{c}{a}. Använd sinussatsen för att visa att detta stämmer.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Alma ser en kväll ett vackert norrsken i skyn rakt norrut. Hon mäter höjdvinkeln till 7575^\circ med sin gradskiva, se figur nedan.


Hon tittar på kartan och upptäcker att klasskompisen Bert bor rakt norr om henne på avståndet 30 km. Hon ringer Bert och berättar om norrskenet. Bert ser samma norrsken men rakt ovanför sig, se figur.


  • På vilken höjd, h,h, låg norrskenet? Jordytan kan betraktas som plan vid beräkningarna.
NP-norrsken1.svg
  • En annan kväll ser Alma och Bert återigen ett norrsken och mäter samtidigt den höjdvinkel som de observerar norrskenet på. Vinklarna de mäter är A=83A=83^\circ i nordlig riktning respektive B=87B=87^\circ i sydlig riktning, se figur nedan. På vilken höjd, h,h, ligger norrskenet denna gång?
NP-norrsken2.svg
  • Alma och Bert bestämmer sig för att ägna sitt kommande projektarbete åt norrsken. De vill hitta en formel som direkt ger höjden om man matar in uppmätta värden på vinklarna AA och B.B. Härled en lämplig formel i förenklad form.
  • Gäller formeln även om norrskenet befinner sig norr om Bert så att vinkeln BB är trubbig? Motivera ditt svar.
Nationella provet HT06 Ma D
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}