mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometri

Sinussatsen

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.

, och är triangelns vinklar medan , och är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.

Mellan och finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas

vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.

Bevis

Bevis för sinussatsen

För att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.

Om man studerar sidorna och blir mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas Utgår man istället ifrån vinkel respektive får man två nya samband som beskriver samma area: Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.

Detta är alltså sinussatsen.
Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Bestäm sidan Avrunda till en decimal.

Visa Lösning
Lösning

Enligt sinussatsen gäller sambandet där och är vinklar och och är respektive vinkels motstående sida. Vi bestämmer först motstående vinkel till med hjälp av triangelns vinkelsumma: Vi kompletterar figuren med den sista vinkeln.

Vi sätter in värden på vinklar och sidor i sinussatsen och löser ut
Sidan är alltså ca le.
Metod

Bestämma vinklar med sinussatsen

När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna och i triangeln när man vet att motstående sida till är mm och att är motstående vinkel till sidan mm.

1

Sätt in känd vinkel och sidor i sinussatsen

Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna och samt vinkeln Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen:

2

Lös ut den okända vinkeln

Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.

Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, är

3

Bestäm vinkeln

Mellan och finns det två vinklar som ger samma sinusvärde, så en annan möjlig vinkel är Både och är alltså lösningar på ekvationen Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln är . Vi kontrollerar detta geometriskt.

4

Är vinkeln rimlig?

För att undersöka om är en möjlig vinkel i triangeln kontrollerar man att summan av och är mindre än triangelns vinkelsumma: Eftersom summan av vinklarna är mindre än finns det "grader över" till triangelns sista vinkel,

Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än skulle det inte gå att bilda en triangel där och Då hade triangeln där och varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar:

fullscreen
Uppgift

I triangeln är är motstående vinkel till sida att är motstående vinkel till sida osv. Bestäm vinkel givet att Avrunda till närmaste heltal.

Visa Lösning
Lösning
Vi börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen. Genom att lösa ekvationen bestämmer vi nu vinkel
Ett värde på är alltså Vi undersöker nu om vinkeln dvs. också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln, : Summan överstiger triangelns vinkelsumma Då kan vinkel inte vara utan det enda rimliga svaret är
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward