{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
{{ "ml-topbar-info-01" | message }} {{ "ml-topbar-info-02" | message }} {{ "ml-topbar-info-03" | message }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Trigonometri

Sinussatsen

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.

A, B och C är triangelns vinklar medan a, b och c är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.

Mellan och finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas
vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.

Bevis

Bevis för sinussatsen

För att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.

Om man studerar sidorna b och c blir A mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas
Utgår man istället ifrån vinkel B respektive C får man två nya samband som beskriver samma area:
Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.
Detta är alltså sinussatsen.
Q.E.D.

Exempel

Bestäm sidan med sinussatsen

fullscreen

Bestäm sidan x. Avrunda till en decimal.

Visa Lösning expand_more
Enligt sinussatsen gäller sambandet
där A, B och C är vinklar och a, b och c är respektive vinkels motstående sida. Vi bestämmer först motstående vinkel till x med hjälp av triangelns vinkelsumma:
Vi kompletterar figuren med den sista vinkeln.
Vi sätter in värden på vinklar och sidor i sinussatsen och löser ut x.
Sidan x är alltså ca 1.5 le.

Metod

Bestämma vinklar med sinussatsen

När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna X och Y i triangeln XYZ när man vet att motstående sida till X är x=10 mm och att är motstående vinkel till sidan z=7 mm.

1
Sätt in känd vinkel och sidor i sinussatsen
expand_more
Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna x och z samt vinkeln Z. Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen:
2
Lös ut den okända vinkeln
expand_more

Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.

Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, Y, är

3
Bestäm vinkeln
expand_more
Mellan och finns det två vinklar som ger samma sinusvärde, så en annan möjlig vinkel är
Både och är alltså lösningar på ekvationen Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln X är . Vi kontrollerar detta geometriskt.
4
Är vinkeln rimlig?
expand_more
För att undersöka om är en möjlig vinkel i triangeln kontrollerar man att summan av och är mindre än triangelns vinkelsumma:
Eftersom summan av vinklarna är mindre än finns det "grader över" till triangelns sista vinkel,
Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än skulle det inte gå att bilda en triangel där och Då hade triangeln där och varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar:

Exempel

Bestäm vinkeln med sinussatsen

fullscreen
I triangeln ABC är A är motstående vinkel till sida a, att B är motstående vinkel till sida b, osv. Bestäm vinkel A givet att
Avrunda A till närmaste heltal.
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen.
Genom att lösa ekvationen bestämmer vi nu vinkel A.
Ett värde på A är alltså Vi undersöker nu om vinkeln dvs. också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln, :
Summan överstiger triangelns vinkelsumma Då kan vinkel A inte vara utan det enda rimliga svaret är
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community