Räta linjers egenskaper

Allmän form	$2 x + 3 y - 5 = 0$	$2 x + 3 y = 5$
Horisontell linje	$y - 4 = 0$	$y = 4$
Vertikal linje	$x - 7 = 0$	$x = 7$

Skriv ekvationerna på $k -$ form.

3 x - 4 y + 2 = 0

15 x + 10 y - 5 = 0

Vi skriver om ekvationen så att den står på k-form.

Vi upprepar proceduren.

Vilka av linjerna är parallella?

I : II : III : 4 x + y + 2 = 0 2 y + 4 = 8 x 8 x = 6 - 2 y

Om två linjer är parallella måste de ha samma k-värde. Man kan läsa av k-värdet om man skriver om linjernas ekvationer till k-form. Vi gör detta för var och en av linjerna.

Linje I

k-värdet är - 4.

Linje II

Linje II har k-värdet 4.

Linje III

Linje III har alltså lutningen k = - 4.

Slutsats

Jämför vi linjernas lutning ser vi att linje I och linje III har samma lutning. Eftersom dessa linjer även har olika m-värden (m = - 2 respektive m = 3) sammanfaller de inte. Linje I och linje III alltså parallella.

I diagrammet finns grafen av en rätlinjig funktion.

Ett av nedanstående uttryck är en funktion på allmän form som beskriver grafen. Vilket av uttrycken är det?

I : II : III : IV : V : 3 x - 2 y - 2 = 0 - 3 x - 2 y + 2 = 0 3 x + 2 y + 2 = 0 - 3 x + 2 y + 2 = 0 - 3 x + 2 y - 2 = 0

Om vi tar reda på linjens k- och m-värde kan vi skriva formeln på k-form. m-värdet visar var linjen skär y-axeln så det kan vi läsa av direkt i koordinatsystemet.

m-värdet är alltså - 1. Hittills har vi då funktionen y=kx-1. Vi måste även hitta riktningskoefficienten k. För att göra detta måste vi bestämma skillnaden i x- och y-led mellan två godtyckliga punkter som ligger på linjen: (0, - 1) och (2, 2).

Vi ser att grafen stiger 3 steg i y-led när man går 2 steg åt höger i x-led. Detta ger lutningen k = 32 och uttrycket för linjen på k-form blir då y = 3/2x - 1. Nu skriver vi om funktionen på allmän form genom att flytta över alla termer till vänsterledet och multiplicera med 2 för att bli av med bråket fram x-termen.

Ett sätt att skriva ekvationen för linjen på allmän form är alltså - 3x+2y+2=0. Detta är svarsalternativ IV.

Skriv ekvationerna på allmän form. Använd så små heltal som möjligt på konstanterna.

y = 8 - \frac{x}{3}

x = 3

Vi skriver ekvationen på formen ax + by + c = 0 genom att flytta över termerna till vänsterledet så att högerledet blir noll. Vi försöker också se till så att a, b och c blir så små heltal som möjligt. Bråket gör vi oss av med genom att multiplicera med 3.

Det finns flera sätt att skriva linjen på allmän form. Genom att multiplicera alla termer med samma värde skulle vi kunna hitta en oändlig mängd sätt att skriva samma linje.

Ekvationen x = 3 beskriver en lodrät linje där samtliga punkter längs linjen har x-koordinaten 3.

Lodräta linjer kan beskrivas med allmän form, men inte med k-form. Vi skriver om ekvationen på allmän form. Notera att y inte står med i ekvationen vilket kan tolkas som att b=0.

En linjär funktion går genom punkterna

(2, 6)

och

(8, 6) .

Skriv linjens ekvation på allmän form.

Vi börjar med att markera punkterna i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.

Funktionens graf är alltså vågrät och skär y-axeln vid y=6, vilket innebär att linjens lutning är noll och att m-värdet är 6. y=0x+6 ⇔ y=6. Räta linjens ekvation på allmän form har utseendet ax+by+c=0. I det här fallet är a=0 så ax-termen försvinner. Genom att flytta över konstanten till vänsterledet skriver vi linjens ekvation på allmän form: y-6=0.

De räta linjerna i koordinatsystemet är parallella. Vilken lutning har linjerna?

Tre parallella linjer f(x), g(x) och h(x).

Eftersom linjerna är parallella behöver man endast bestämma riktningskoefficienten för en av dem. Vi väljer y=f(x) eftersom den är den enda linje som verkar gå genom koordinater med heltalsvärden. Vi väljer ut ett par sådana punkter.

Linjen y=f(x) passerar (0,3) och (1,5). Nu kan lutningen beräknas med k-formeln.

Linjen y=f(x) har lutningen k=2 och eftersom de andra linjerna är parallella de också lutningen 2.

Skriv

y = \frac{5}{3} x - 4

på allmän form,

a x + b y + c = 0,

men så att

a, b

och

c

är heltal,

b

och

c

är negativa, samt att

c

ett så litet negativt tal som möjligt (d.v.s. ju närmare

0

desto bättre).

För att skriva en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan om likhetstecknet och ser till att koefficienterna blir så små som möjligt. För att bli av med bråket framför x-termen multiplicerar vi hela uttrycket med 3.

Detta är den räta linjen skriven på allmän form med alla kriterier uppfyllda. både b och c är negativa, och det finns inget tal vi kan dividera ekvationen med för att få c till att hamna närmare 0.

Para ihop linjerna

y_{1},

y_{2}

och

y_{3}

med linjerna

y_{4},

y_{5}

och

y_{6}

baserat på om de är parallella.

Parallella linjer har samma lutning vilket innebär att koefficienten framför x, dvs. deras k-värde, är likadant. Vi kan börja med att förenkla de bråk som kan förkortas. Både 1820 och 24 kan förkortas med 2: 18/2/20/2=9/10 och 2/2/4/2=1/2. För att lättare jämföra med de andra ekvationernas k-värden skriver vi om bråken på decimalform, vilket ger 9/10 = 0,9, 3/4=0,75 och 1/2=0,5. Vi skriver ut alla ekvationerna med k-värden i decimalform.

Ekvationer
y_1= 0,5x+50	y_4= 0,9x-11
y_2= 0,9x-1	y_5= 0,75x+11
y_3= 0,75x+2	y_6 = 0,5x+700

Nu kan vi se vilka linjer som har samma k-värde: &y_1 → y_6 &y_2 → y_4 &y_3 → y_5

Vilka av nedanstående linjer är parallella?

Om två linjer är parallella innebär det att de har samma k-värde. Tänk på att om det inte står något värde framför x-termen finns det en underförstådd etta, och att eventuella minustecken också ingår i k-värdet.

Linje	k-värde
y_1 = 4x + 3	4
y_2 = x + 2	1
y_3 = 3 + 5x	5
y_4 = 1 - 4x	- 4
y_5 = 4 + 4x	4
y_6 = - x + 5	- 1

I tabellen ovan kan vi se att det finns två linjer med k-värdet 4, men att alla andra linjer har olika k-värden. Alltså är y_1 och y_5 de enda parallella linjerna.

Skriv den räta linjens ekvation på $k -$ form.

10 x - 5 y + 20 = 0

3 x + y - 7 = 0

- x + 2 y + 18 = 0

Det enda man behöver göra för att skriva ekvationerna på k-form är att lösa ut y. Vi gör det för första linjen.

Vi gör samma sak för andra linjen.

Tredje uppgiften löser vi på samma sätt.

Arthur påstår att det är onödigt att skriva ut båda linjerna

4 y + 12 x + 20 = 0 och 12 y + 36 x + 60 = 0

eftersom det egentligen är samma linje. Har han rätt?

Ekvationer skrivna på allmän form kan multipliceras eller divideras med ett valfritt tal för att skapa en ny ekvation som beskriver samma linje. Skriver man linjer på allmän form brukar man oftast skriva dem med a, b och c som så små koefficienter som möjligt. Vi skriver om båda linjer på detta sättet och undersöker om vi får samma ekvation.

Vi gör samma sak med den andra ekvationen.

Båda ekvationer kan skrivas som y+3x+5=0 vilket innebär att linjerna är identiska. Arthur har alltså rätt!

En linje $L_{1}$ ritas genom punkterna $A$ och $B .$ En annan linje $L_{2}$ ritas genom punkterna $C$ och $D .$

Är linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ parallella? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT12 2b/2c

Vi ritar linjerna L_1 (blå) och L_2 (röd).

Två linjer som är parallella har samma lutning, alltså samma k-värde. Vi undersöker om så är fallet genom att beräkna deras respektive lutning med k-formeln. Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater: A=&(- 5,- 1) B=(4,7) C=&(- 4,- 5) D=(7,5). Därefter beräknar vi linjernas k-värden.

Lutningen av L_1

Lutningen för L_1 är alltså k_1= 89 ≈ 0,89.

Lutningen av L_2

Lutningen för L_2 är alltså k_2= 1011 ≈ 0,91.

Slutsats

Linjerna är inte parallella då linjernas k-värden är olika: k_1 ≠ k_2.

Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren.

Nationella provet VT12 2b/2c

För att bestämma ekvationen för den räta linjen behöver vi bestämma linjens k- och m-värde. Eftersom m-värdet representerar y-värdet där linjen skär y-axeln kan vi läsa av det i figuren: m=4.

k-värdet representerar linjens lutning och kan bestämmas genom att man undersöker hur y-värdet förändras när x-värdet ökar med 1.

Vi ser att y-värdet ökar med 2 när x-värdet ökar med 1, så k=2. Nu sätter vi in k- och m-värdena i räta linjens ekvation för att få ekvationen för linjen i figuren: y=2x+4.

En rät linje har riktningskoefficienten $k = 1, 2$ och skär $y -$ axeln i punkten $(0, 3) .$ Ligger punkten $(175, 207)$ på linjen? Motivera ditt svar.

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c

Vi vet att riktningskoefficient är k=1,2 även att grafen skär y-axeln i (0,3) vilket betyder att m=3. Vi har alltså funktionen y=1,2x+3. Vi kan nu avgöra om punkten (175,207) ligger på linjen genom att sätta in den i den räta linjens ekvation. Om höger- och vänsterled är lika ligger punkten på linjen.

Eftersom VL och HL inte är lika ligger punkten inte på linjen.

Förkunskaper

Räta linjens ekvation

Parallella linjer

Bevis

Är linjerna parallella?

Ledtråd

Lösning

Allmän form - rät linje

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Ledtråd

Lösning

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Ledtråd

Lösning

Sammanfattning - Räta Linjers Egenskaper

Linje I

Linje II

Linje III

Slutsats

Lutningen av L_1

Lutningen av L_2

Slutsats

Räta linjers egenskaper

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	26 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.