4. Räta linjers egenskaper
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
4.
Räta linjers egenskaper
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 26 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Räta linjens ekvation
- Parallella linjer
- Allmän form - rät linje
Förkunskaper
Teori
Räta linjens ekvation
En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad k-form.
y=kx+m
k- och m-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. k anger lutningen och m är det y-värde där linjen skär y-axeln. I koordinatsystemet har linjen k-värdet 2 och m-värdet 1.
Teori
Parallella linjer
Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på k-form innebär det att deras k-värden, k1 och k2, är samma.
k1=k2
I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.
Parallella linjer har inte samma m-värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.
Bevis
Betrakta två olika icke-vertikala linjer ℓ1 och ℓ2 som har samma lutning k1=k2=k. Deras ekvationer kan skrivas i k-form.
Det erhållna resultatet motsäger faktumet att m1 och m2 är olika. Därför finns det ingen skärningspunkt mellan linjerna ℓ1 och ℓ2. Detta betyder att de är parallella linjer.
ℓ1:y=kx+m1ℓ2:y=kx+m2
Eftersom dessa linjer är distinkta, är m1 och m2 inte lika. Med denna information i åtanke, anta att linjerna skär varandra. Att lösa ekvationssystemet ger skärningspunkten. Substitutionsmetoden kommer att användas.
{y=kx+m1y=kx+m2(I)(II)
Substitute
(I): y=kx+m2
{kx+m2=kx+m1y=kx+m2
SubEqn
(I): VL−kx=HL−kx
{m2=m1y=kx+m2
k1=k2⇒ℓ1∥ℓ2
Den andra implikationen är också sann. Om linjerna är parallella, då har de samma lutning.
Exempel
Är linjerna parallella?
Är den räta linjen som går igenom punkterna (1,2) och (3,8) parallell med linjen y=3x+5?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej","G\u00e5r inte att best\u00e4mma"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
Ledtråd
Hitta ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna. Jämför lutningarna och m-värdena för linjerna.
Lösning
För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma k-värde. Den räta linjen y=3x+5 har k-värdet 3. Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i k-formeln.
k=x2−x1y2−y1
SubstitutePoints
Sätt in (3,8) & (1,2)
k=3−18−2
SubTerms
Subtrahera termerna
k=26
CalcQuot
Beräkna kvot
k=3
Linjerna har alltså samma k-värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika m-värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in k=3 samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. (1,2), i räta linjens ekvation.
y=3x+m
SubstituteII
x=1 och y=2
2=3⋅1+m
Multiply
Multiplicera faktorer
2=3+m
SubEqn
VL−3=HL−3
−1=m
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
m=−1
y=3x−1.
Denna linje och y=3x+5 har samma k-värde men olika m-värden och är därmed parallella.
Teori
Allmän form - rät linje
Alla linjer går inte att skriva på k-form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.
ax+by+c=0
Flera kombinationer av konstanterna a, b och c kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.
| Allmän form | 2x+3y−5=0 | 2x+3y=5 |
|---|---|---|
| Horisontell linje | y−4=0 | y=4 |
| Vertikal linje | x−7=0 | x=7 |
Exempel
Omvandla från allmän form till k-form
Skriv den räta linjen 2y+8−4x=0 på k-form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["y=2x-4"]}}
Ledtråd
Isolera y-variabeln.
Exempel
Omvandla från k-form till allmän form
Skriv linjen y=0,4x−7 på allmän form.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5y-2x+35=0"]}}
Ledtråd
Gruppera alla termer på samma sida. Använd heltalskoefficienter.
Lösning
När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med 10 eftersom produkten av 10⋅0,4 är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.
Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med 2. På allmän form skrivs linjen alltså5y−2x+35=0.
Avslut
Sammanfattning - Räta Linjers Egenskaper
Vi utforskade två olika sätt att skriva ekvationen för en linje: k-form och allmän form.
Tyvärr kan inte alla linjer skrivas i k-form. Till exempel kan inte vertikala linjer skrivas så. Det är här den andra typen av ekvation kommer in.
Utifrån detta vet vi att om två linjer har olika lutningar, måste de skära varandra.
k-formy=kx+m
Här är k lutningen på linjen, och m är där grafen skär y-axeln. Denna form är användbar för att rita linjära ekvationer och jämföra egenskaperna hos två linjer — deras lutningar och deras y-intercept.
Allma¨n ekvationax+by+c=0
I denna form kan olika värden på a, b och c beskriva samma linje. Vi använder dock vanligtvis de minsta möjliga heltalen. Det är också vanligt att behålla variabeltermerna till vänster och konstanten till höger.
ax+by=c
Slutligen konstaterade vi att om två linjer har samma lutning, är de parallella.
När går det inte att skriva linjen ax+by+c=0 på k-form? Motivera ditt svar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a","b","c"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["b=0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om ekvationen så att den står på formen y = kx + m. Sedan undersöker vi om det finns något eller några värden på a, b eller c som inte är tillåtna.
Om b = 0 får vi en division med noll vilket inte är definierat. Därför kan en ekvation inte skrivas om från allmän form till k-form om koefficienten framför y-termen är 0.
security
report
code
Hitta lutningen och y-skärningen av grafen för den linjära ekvationen.
y=4x−5
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":true,"numinput":2,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.9829537500000001em;vertical-align:-0.2080078125em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">Lutning<\/span><\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">-<\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">sk<\/span><span class=\"mord accent\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.7749459375000001em;\"><span style=\"top:-3em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">a<\/span><\/span><span style=\"top:-3.1070859375em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:3em;\"><\/span><span class=\"accent-body\" style=\"left:-0.25em;\"><span class=\"mord\">\u00a8<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.009765625em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">rningen<\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">{<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mclose\">}<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["4","-5"]}}
security
report
code
security
report
code
Ekvationer i k-form följer ett specifikt format, där m representerar linjens lutning och b är y-skärningen. y= mx+ b Låt oss skriva om vår ekvation lite så att den liknar detta format mer. Detta kommer att göra det lättare att identifiera ekvationens egenskaper. y = 4x - 5 ⇔ y= 4x+( - 5) Vi kan se att lutningen är 4 och y-skärningen är - 5.
security
report
code
Vilken ekvation hör inte ihop med de andra tre? Förklara din resonemang.
y=−5x−12x−y=8y=x+4y=−3x+13
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><span class=\"mbin\">\u2212<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><span class=\"mbin\">\u2212<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">8<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.66666em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><span class=\"mbin\">+<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">4<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><span class=\"mbin\">+<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2222222222222222em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">1<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Två former av linjära ekvationer som vi känner till hittills är standardformen, Ax+By=C, och k-form, y=mx+b. Låt oss titta på varje ekvation och identifiera i vilken form de är skrivna. & y=-5x-1 &&⇔ &&& k-form & 2x-y=8 &&⇔ &&& standardform & y=x+4 &&⇔ &&& k-form & y=-3x+13 &&⇔ &&& k-form Den andra ekvationen, 2x-y=8, är skriven i standardform medan de andra tre ekvationerna är skrivna i k-form. Det är den som inte hör hemma.
security
report
code
En linje passerar genom punkterna (0;−2) och (0;5). Är det möjligt att skriva en ekvation för linjen i lutnings-interceptform? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Nej","Ja"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Låt oss beräkna lutningen först. Om vi har två punkter på en linje, kan vi använda denna formel för att hitta lutningen: Lutning=y_2-y_1/x_2-x_1 De två punkterna på linjen ges som (0;-2) och (0;5). Låt oss sätta in dessa i lutningsformeln.
Eftersom division med 0 inte är tillåtet (det är ett stort nej nej
), är lutningen odefinierad. Linjen genom de givna punkterna är vertikal. Dess ekvation är x=0, vilket inte är i k-form.
security
report
code
Räta linjers egenskaper
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll