body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Räta linjens ekvation
Parallella linjer
Allmän form - rät linje

Förkunskaper

Koordinatsystem
Ekvation
Riktningskoefficient ( $k -$ värde)
$m -$ värde

Teori

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k -$ form.

y = k x + m

$k -$ och $m -$ värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y -$ värde där linjen skär $y -$ axeln. I koordinatsystemet har linjen $k -$ värdet $2$ och $m -$ värdet $1 .$

Teori

Parallella linjer

Två linjer är parallella om de har samma lutning. För linjer skrivna på $k -$ form innebär det att deras $k -$ värden, $k_{1}$ och $k_{2},$ är samma.

$k_{1} = k_{2}$

I figuren kan man se att parallella linjer aldrig skär varandra.

Parallella linjer har inte samma $m -$ värde eftersom de då är identiska och har oändligt många skärningspunkter.

Bevis

Betrakta två olika icke-vertikala linjer

ℓ_{1}

och

ℓ_{2}

som har samma lutning

k_{1} = k_{2} = k .

Deras ekvationer kan skrivas i

k -

form.

ℓ_{1} : y = k x + m_{1} ℓ_{2} : y = k x + m_{2}

Eftersom dessa linjer är distinkta, är

m_{1}

och

m_{2}

inte lika. Med denna information i åtanke, anta att linjerna skär varandra. Att lösa ekvationssystemet ger skärningspunkten. Substitutionsmetoden kommer att användas.

{y = k x + m_{1} y = k x + m_{2} (I) (II)

$(I):$ $y = k x + m_{2}$

{k x + m_{2} = k x + m_{1} y = k x + m_{2}

$(I):$ $VL - k x = HL - k x$

{m_{2} = m_{1} y = k x + m_{2}

Det erhållna resultatet motsäger faktumet att

m_{1}

och

m_{2}

är olika. Därför finns det ingen skärningspunkt mellan linjerna

ℓ_{1}

och

ℓ_{2} .

Detta betyder att de är parallella linjer.

$k_{1} = k_{2} \Rightarrow ℓ_{1} ∥ ℓ_{2}$

Den andra implikationen är också sann. Om linjerna är parallella, då har de samma lutning.

Exempel

Är linjerna parallella?

Är den räta linjen som går igenom punkterna

(1, 2)

och

(3, 8)

parallell med linjen

y = 3 x + 5 ?

Ledtråd

Hitta ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna. Jämför lutningarna och $m -$ värdena för linjerna.

Lösning

För att linjerna ska vara parallella måste de ha samma lutning, dvs. samma $k -$ värde. Den räta linjen $y = 3 x + 5$ har $k -$ värdet $3 .$ Vi beräknar den okända linjens lutning genom att sätta in de kända punkterna i $k$ -formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 8)$ & $(1, 2)$

k = \frac{8 - 2}{3 - 1}

Subtrahera termer

k = \frac{6}{2}

Beräkna kvot

k = 3

Linjerna har alltså samma $k -$ värde. För att de ska vara parallella måste de dock ha olika $m -$ värden. Vi undersöker om de har det genom att sätta in $k = 3$ samt koordinaterna för en av punkterna vi vet ligger på linjen, t.ex. $(1, 2),$ i räta linjens ekvation.

y = 3 x + m

$x = 1$ och $y = 2$

2 = 3 \cdot 1 + m

Multiplicera faktorer

2 = 3 + m

$VL - 3 = HL - 3$

- 1 = m

Omarrangera ekvation

m = - 1

Ekvationen för linjen som går genom de givna punkterna är alltså

y = 3 x - 1 .

Denna linje och $y = 3 x + 5$ har samma $k -$ värde men olika $m -$ värden och är därmed parallella.

Teori

Allmän form - rät linje

Alla linjer går inte att skriva på $k -$ form. Däremot finns det ett allmänt sätt att skriva alla räta linjer, inklusive vertikala. Denna form är känd som den allmänna formen.

$a x + b y + c = 0$

Flera kombinationer av konstanterna $a,$ $b$ och $c$ kan beskriva samma linje, men man föredrar så små heltal som möjligt. Beroende på vad som ser bäst ut kan man ibland ändra ordningen på termerna men ofta samlar man dem på samma sida om likhetstecknet. Det förekommer även att ekvationen för en rät linje skrivs med variablerna i vänster led och konstanten i höger led.

Allmän form	$2 x + 3 y - 5 = 0$	$2 x + 3 y = 5$
Horisontell linje	$y - 4 = 0$	$y = 4$
Vertikal linje	$x - 7 = 0$	$x = 7$

För icke-vertikala linjer, om du löser ut

y,

får du linjen skriven i

k -

form.

Exempel

Omvandla från allmän form till $k -$ form

Skriv den räta linjen

2 y + 8 - 4 x = 0

på

k -

Ledtråd

Isolera $y -$ variabeln.

Lösning

För att skriva om linjen till

k -

form löser vi ut

y .

2 y + 8 - 4 x = 0

$VL + 4 x = HL + 4 x$

2 y + 8 = 4 x

$VL - 8 = HL - 8$

2 y = 4 x - 8

$VL / 2 = HL / 2$

y = 2 x - 4

Den räta linjen är alltså $y = 2 x - 4$ på $k -$ form.

Exempel

Omvandla från $k$ -form till allmän form

Skriv linjen

y = 0, 4 x - 7

på allmän form.

Ledtråd

Gruppera alla termer på samma sida. Använd heltalskoefficienter.

Lösning

När man skriver en rät linje på allmän form samlar man alla termer på ena sidan likhetstecknet och låter, om det är möjligt, koefficienterna vara så små heltal som möjligt. Vi kan t.ex. multiplicera alla termer med $10$ eftersom produkten av $10 \cdot 0, 4$ är ett heltal. Sedan flyttar vi över alla termer till vänsterledet.

y = 0, 4 x - 7

$VL \cdot 10 = HL \cdot 10$

10 y = 4 x - 70

$VL - 4 x = HL - 4 x$

10 y - 4 x = - 70

$VL + 70 = HL + 70$

10 y - 4 x + 70 = 0

Eftersom vi vill att konstanterna ska vara så små heltal som möjligt dividerar vi till sist med

2 .

På allmän form skrivs linjen alltså

5 y - 2 x + 35 = 0 .

Avslut

Sammanfattning - Räta Linjers Egenskaper

Vi utforskade två olika sätt att skriva ekvationen för en linje:

k -

form och allmän form.

k - form y = k x + m

Här är

k

lutningen på linjen, och

m

är där grafen skär

y -

axeln. Denna form är användbar för att rita linjära ekvationer och jämföra egenskaperna hos två linjer — deras lutningar och deras

y -

intercept.

Tyvärr kan inte alla linjer skrivas i

k -

form. Till exempel kan inte vertikala linjer skrivas så. Det är här den andra typen av ekvation kommer in.

Allm \ddot{a} n ekvation a x + b y + c = 0

I denna form kan olika värden på

a,

b

och

c

beskriva samma linje. Vi använder dock vanligtvis de minsta möjliga heltalen. Det är också vanligt att behålla variabeltermerna till vänster och konstanten till höger.

a x + b y = c

Slutligen konstaterade vi att om två linjer har samma lutning, är de parallella.

Utifrån detta vet vi att om två linjer har olika lutningar, måste de skära varandra.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll