Primitiva funktioner

Om G(x) är en primitiv funktion till g(x) så innebär det att g(x) är derivatan av G(x). Om g(x) skär x-axeln i intervallet 0 < x < 3 så innebär detta alltså att funktionen antar en stationär punkt i detta intervall.

g(x) har ett nollställe i x=2 vilket betyder att G(x) antar en stationär punkt i x=2. Den ligger på rätt intervall, men för att veta att det är en extrempunkt måste vi försäkra oss om att det inte är en terrasspunkt. Vi gör det genom att undersöka andraderivatans värde till G(x) i x=2. Eftersom g(x) är derivata till G(x) så kan vi hitta andraderivatan genom att derivera g(x).

Andraderivatan till G(x) är 5, dvs. konstant positiv, vilket betyder att den stationära punkten är en minimipunkt. Svaret är alltså Ja, g(x) har en extrempunkt på intervallet.

En funktion är derivatan av sin primitiva funktion. Då är alltså f(x) = x derivatan av F(x), vilket innebär att f(x) beskriver lutningen av F(x). Varje x kan då sättas in i f(x) för att ge lutningen i den punkten. Vi visar x=-2 som exempel.

Lutningen är alltså -2 i den punkt på F(x) som har x-koordinaten -2. På samma sätt blir alla lutningar lika med motsvarande x-koordinat.

Tabellen anger hur mycket F(x) lutar vid olika x-värden. T.ex. ser vi att i x=-2 har F(x) en tangent med lutningen k=-2, dvs. att tangentens y-värde minskar två rutor för varje steg åt höger. I x=1 är k=1, så tangentens y-värde ökar med en ruta för varje steg åt höger.

Med hjälp av dessa tangenter ska kurvan F(x) skissas. Punkterna kan inte placeras exakt eftersom vi inte vet deras y-värden, men lutningsvärdena hjälper oss lista ut hur punkterna sitter i förhållande till varandra. Börja t.ex. från punkten i x=0. Punkterna intill måste ligga högre upp än den för att lutningarna ska peka rätt.

Samma sak gäller för det yttersta paret av punkter. För att lutningarna ska peka i rätt riktning måste punkterna ligga ännu högre upp.

Nu kan vi byta ut tangenterna mot en kontinuerlig kurva i ett koordinatsystem.

I förra deluppgiften såg vi hur lutningen beskriver hur punkterna sitter i förhållande till varandra, dvs. formen på kurvan. Så när punkten till x=0 placerats i origo kunde övriga punkter sättas ut. Men "startpunkten" i x=0 kunde lika gärna ha satts i y=-0,5, eller vad som helst. Den här kurvan är alltså precis lika giltig som den andra.

Svaret är alltså Ja: Det finns oändligt många sätt att rita F(x). Derivatan f(x) beskriver endast lutningen av F(x) för olika x-värden, vilket ger kurvans form. Däremot finns ingen information om kurvans position i höjdled, så den kan väljas fritt. Det är detta som motsvaras av konstanten C i primitiva funktioner.

Eftersom vi letar efter en primitiv funktion måste f(x) vara en derivata. Vad deriveras till 2x^2 + x^22? Det är inte så lätt att se, men det blir lättare om båda termer står på potensform. Eftersom vi har deriveringsregler för sådana blir det då lättare att se vad det är som deriverats.

När en potens deriveras multipliceras allt med exponenten, och exponenten minskar sedan med 1: D( x^n ) = nx^(n-1). Det som deriverats har alltså en exponent som är 1 större än derivatan. Därför borde x^(-1) och x^3 användas i F(x), eftersom -1 är 1 större än -2 och 3 är 1 större än 2. Vi måste också göra ett noggrant val av koefficienter till dessa termer. För att avgöra dem gör vi först en provderivering.

Detta uttryck ska matcha f(x) genom att vi inför koefficienter. Vi kallar dessa a och b, och dessa ska alltså väljas så att F'(x) = f(x). Notera också att F(x) ska innehålla en godtycklig konstant C, eftersom vi letar efter samtliga primitiva funktioner.

Koefficenterna i f(x) och F'(x) ska vara samma, vilket betyder att - a=2 och 3b= 12.

Nu har vi våra primitiva funktioner. För prydlighetens skull kan den negativa exponenten bytas till ett bråk: F(x) = - 2/x + x^3/6 + C.

Även här behöver vi göra lite omskrivningar för att kunna se vad som deriverats till detta. Precis som i förra deluppgiften är det en bra strategi att försöka få alla termer på potensform. Vi utvecklar därför parentesen med kvadreringsregeln.

Nu ser termerna mer ut som derivator vi sett tidigare. Kom ihåg att en potens deriveras med regeln D(x^n) = nx^(n-1), och termerna 3x^2 och 2x följer precis den form som ges av regelns högerled. På så sätt ser vi att 3x^2 är derivatan av x^3, medan 2x är derivatan av x^2. Den sista termen, 13, är en konstant vilket är vad man får om man deriverar ett uttryck på formen ax. Alltså är 13 derivatan av 13* x, eller x3. Detta ger G(x) = x^3 - x^2 + x/3 + C, där C:et är en valfri konstant som läggs till för att få alla primitiva funktioner istället för bara en.

Även här kan funktionen skrivas om till potensform, vilket gör den lättare att hitta primitiva funktioner till.

Exponenten i H(x) måste vara 1 högre, och därför måste x^(1,5) ingå där. De primitiva funktionerna har alltså formen H(x) = ax^(1,5) + C, där a är någon väl vald koefficient och C en helt godtycklig konstant. För att bestämma a deriverar vi H(x) och jämför med h(x).

Nu kan vi jämföra H'(x) med h(x).

a ska vara det tal som gör att 1,5a = 5. Vi löser den ekvationen.

De primitiva funktionerna är alltså H(x) = 10/3x^(1,5) + C. Om man vill kan man skriva om detta.

Det är dock inte fel att svara med potensformen istället.

F(x) är en primitiv funktion till f(x) om F'(x)=f(x). Vi deriverar F(x) och ser om likheten stämmer.

Eftersom F'(x)≠ f(x) kan F(x) inte vara en primitiv funktion till f(x). Påståendet stämmer inte.

Om grafen har tre olika nollställen betyder det att f(x)=0 för tre olika x-värden. Vi likställer funktionen med 0.

Vi har minst ett nollställe: x=0. Om vi ska få tre olika lösningar får a > 0 inte gälla eftersom uttrycket under rotuttrycket då blir negativt vilket ger imaginära rötter. Om a är mindre än 0, a < 0, blir däremot sqrt(- a) reellt och nollskilt. Det betyder att funktionen får totalt tre olika nollställen. Vad händer då om a=0? Vi sätter in det och undersöker vad som händer.

Om a=0 får vi alltså bara ett nollställe och inte tre. Sammanfattningsvis betyder detta att funktionen har tre olika nollställen om a < 0. Detta är inte samma intervall som ges i uppgiften. Påståendet är alltså inte korrekt.