Primitiva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

F(x)F(x) kallas en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F(x)F'(x) är lika med f(x).f(x).

Samband mellan derivata och primitiv funktion

Exempelvis är F(x)=x2F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x)=2xf(x)=2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.

Notation

Primitiv funktion: F(x)F(x)
Uppgift


Är F(x)=4x315x+2e2xF(x)=4x^3-15x+2e^{2x} en primitiv funktion till f(x)=12x215+4ex?f(x)=12x^2-15+4e^x?

Visa lösning Visa lösning
Förklaring

Varför kan f(x)f(x) ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen F(x)=x3F(x) = x^3 är en primitiv funktion till f(x)=3x2,f(x)=3x^2, eftersom derivatan till x3x^3 är 3x2.3x^2. Men kan 3x23x^2 ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan 3x2,3x^2, exempelvis G(x)=x3+5 och H(x)=x33.8. G(x) = x^3 + 5 \quad \text{ och } \quad H(x) = x^3 - 3.8. Det betyder att funktionen 3x23x^2 har minst tre primitiva funktioner: x3,x^3, x3+5x^3+5 och x33.8.x^3 - 3.8. Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till 3x23x^2 skrivas F(x)=x3+C, F(x)=x^3 + C,

där CC är en godtycklig konstant. F(x)=x3+CF(x)=x^3 + C representerar då alla primitiva funktioner till f(x)=3x2.f(x)=3x^2. Eftersom det finns oändligt många värden som CC kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till f(x).f(x).
Uppgift

Para ihop funktionerna 1-3 med motsvarande primitiva funktioner A-E.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är F(x)F(x) en primitiv funktion till f(x)?f(x)? Motivera ditt svar.

a

f(x)=8x33F(x)=2x43x+5f(x)=8x^3-3 \qquad \qquad F(x)=2x^4-3x+5

b

f(x)=35e7xex2xF(x)=5e7xex2f(x)=35e^{7x}-e^x-2x \qquad F(x)=5e^{7x}-e^x-2

c

f(x)=34e3xF(x)=3xe4xf(x)=3-4e^{3x} \qquad \qquad F(x)=3x-e^{4x}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en primitiv funktion F(x)F(x) till


a

f(x)=3x2.f(x)=3x^2.

b

f(x)=5e5x.f(x)=5e^{5x}.

c

f(x)=2x.f(x)=2x.

d

f(x)=10x4.f(x)=10x^4.

e

f(x)=e7x.f(x)=e^{7x}.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

F(x)=x55+x2F(x)=\dfrac{x^5}{5} +x^2 är en primitiv funktion till f(x)=x4+2x.f(x)=x^4+2x.

a

Ge ytterligare två exempel på primitiva funktioner till f(x).f(x).


b

Ange alla primitiva funktioner till f(x).f(x).

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange alla primitiva funktioner till funktionerna.

a

f(x)=4x3.f(x)=4x^3.

b

f(x)=ex.f(x)=e^x.

c

f(x)=10e5x.f(x)=10e^{5x}.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd pilar för att markera hur funktioner och primitiva funktioner i bilden hänger ihop, så att F(x)F(x) pekar på f(x). f(x).

samling av funktionsuttryck
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koefficienten kk om

a

F(x)=ke3xF(x)=ke^{3x} är en primitiv funktion till

f(x)=e3x3. f(x)=\frac{e^{3x}}{3}.


b

F(x)=e3x3F(x)=\dfrac{e^{3x}}{3} är en primitiv funktion till f(x)=ke3x. f(x)=ke^{3x}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x).f(x). Bestäm konstanterna aa och b.b.

a

F(x)=ax3+4xF(x)=ax^3+4x och f(x)=x2+4f(x)=x^2+4

b

F(x)=xb+(b1)x2F(x)=x^b+(b-1)x^2 och f(x)=bxb120xf(x)=bx^{b-1}-20x

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en funktion g(x)g(x) vars andraderivata är g(x)=30x412x.g''(x)=30x^4-12x.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sammare och en naturare ska bestämma en primitiv funktion till samma funktion f(x).f(x). Sammaren får svaret F1(x)=5x4+16F_1(x) = \dfrac{5}{x^4} + 16 och naturaren svarar F2(x)=5x-4.F_2(x) = 5x^{\text{-}4}.


a

Skulle båda svar kunna vara korrekta?


b

Funktionen de skulle bestämma primitiv funktion till var f(x)=20x5.f(x) = \dfrac{20}{x^5}. Vem hade rätt?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken eller vilka av de ritade graferna kan representera en primitiv funktion till f(x)=kx?f(x) = kx?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen G(x)G(x) är en primitiv funktion till g(x)=5x10. g(x)=5x-10. Har G(x)G(x) en lokal extrempunkt i intervallet 0<x<30 < x < 3? Motivera ditt svar.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)=x.f(x) = x. Vad är lutningen, k,k,F(x)F(x) för de olika xx-värdena?


xx -2\text{-}2 -1\text{-}1 00 11 22
Lutning
b

Hur kan grafen till F(x)F(x) se ut? Använd tabellen för att skissa F(x)F(x) i ett koordinatsystem.


c

Finns det fler sätt att rita F(x)F(x) på?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange alla primitiva funktioner till

a

f(x)=2x2+x22.f(x) = \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{x^2}{2}.

b

g(x)=(3x3-1/2)2.g(x) = \left(\sqrt{3}x - 3^{\text{-}1/2}\right)^2.

c

h(x)=5xx.h(x) = \dfrac{5x}{\sqrt{x}}.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är följande påståenden korrekta? Motivera dina svar.

a

F(x)=3exF(x)=3e^x är en primitiv funktion till f(x)=e3x.f(x)=e^{3x}.

b

Grafen till f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax har tre olika nollställen om konstanten a0.a\leq 0.

Nationella provet HT12 3b/3c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}