{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Integraler

Primitiva funktioner

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

F(x) kallas en primitiv funktion till f(x) om derivatan är lika med f(x).

Samband mellan derivata och primitiv funktion

Exempelvis är F(x)=x2 en primitiv funktion till f(x)=2x eftersom derivatan av x2 är just 2x. Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.

Notation

Primitiv funktion: F(x)

En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan F(x) vara primitiv funktion till f(x) vilket utläses som att "stora F av x" är primitiv funktion till "lilla f av x". Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion Primitiv funktion
f(x) F(x)
g(x) G(x)
f(x)
f(x)

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är f(x) en primitiv funktion till

Exempel

Kontrollera om F(x) är en primitiv funktion till f(x)

fullscreen


Är en primitiv funktion till

Visa Lösning expand_more

F(x) är en primitiv funktion till f(x) om Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

Om vi jämför med ser vi att den sista termen skiljer sig åt: Det innebär att
F(x) är alltså inte en primitiv funktion till f(x).

Förklaring

Varför kan f(x) ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen F(x)=x3 är en primitiv funktion till f(x)=3x2, eftersom derivatan till x3 är 3x2. Men kan 3x2 ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan 3x2, exempelvis
Det betyder att funktionen 3x2 har minst tre primitiva funktioner: x3, x3+5 och x33.8. Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till 3x2 skrivas
F(x)=x3+C,
där C är en godtycklig konstant. F(x)=x3+C representerar då alla primitiva funktioner till f(x)=3x2. Eftersom det finns oändligt många värden som C kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till f(x).

Exempel

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

fullscreen

Para ihop funktionerna 13 med motsvarande primitiva funktioner AE.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
Visa Lösning expand_more

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera AE. Då kan vi se vilka par som uppfyller att

vilket ska gälla om F(x) är en primitiv funktion till f(x).
F(x)
A x45 4x3
B x2+0.1 2x
C x4 4x3
D 777 0
E 23 0

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 13. Då ser vi att A är primitiv funktion till 1, B är primitiv funktion till 3, etc.

funktioner och några tillhörande primitiva funktioner
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community