Primitiva funktioner

En funktion är derivatan av sin primitiva funktion. Då är alltså $f(x) = x$ derivatan av $F(x),$ vilket innebär att $f(x)$ beskriver lutningen av $F(x).$ Varje $x$ kan då sättas in i $f(x)$ för att ge lutningen i den punkten. Vi visar $x=\N2$ som exempel.

Lutningen är alltså $\N2$ i den punkt på $F(x)$ som har $x\text{-}$koordinaten $\N2.$ På samma sätt blir alla lutningar lika med motsvarande $x\text{-}$koordinat.

Tabellen anger hur mycket $F(x)$ lutar vid olika $x\text{-}$värden. T.ex. ser vi att i $x=\N2$ har $F(x)$ en tangent med lutningen $k=\N2,$ dvs. att tangentens $y\text{-}$värde minskar två rutor för varje steg åt höger. I $x=1$ är $k=1,$ så tangentens $y\text{-}$värde ökar med en ruta för varje steg åt höger.

Med hjälp av dessa tangenter ska kurvan $F(x)$ skissas. Punkterna kan inte placeras exakt eftersom vi inte vet deras $y$-värden, men lutningsvärdena hjälper oss lista ut hur punkterna sitter i förhållande till varandra. Börja t.ex. från punkten i $x=0.$ Punkterna intill måste ligga högre upp än den för att lutningarna ska peka rätt.

Samma sak gäller för det yttersta paret av punkter. För att lutningarna ska peka i rätt riktning måste punkterna ligga ännu högre upp.

Nu kan vi byta ut tangenterna mot en kontinuerlig kurva i ett koordinatsystem.

I förra deluppgiften såg vi hur lutningen beskriver hur punkterna sitter i förhållande till varandra, dvs. formen på kurvan. Så när punkten till $x=0$ placerats i origo kunde övriga punkter sättas ut. Men "startpunkten" i $x=0$ kunde lika gärna ha satts i $y=\N0,5,$ eller vad som helst. Den här kurvan är alltså precis lika giltig som den andra.

Svaret är alltså Ja: Det finns oändligt många sätt att rita $F(x).$ Derivatan $f(x)$ beskriver endast lutningen av $F(x)$ för olika $x\text{-}$värden, vilket ger kurvans form. Däremot finns ingen information om kurvans position i höjdled, så den kan väljas fritt. Det är detta som motsvaras av konstanten $C$ i primitiva funktioner.

Eftersom $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ ska $F'(x)$ vara lika med $f(x).$ Vi deriverar därför $F(x).$

Om vi sätter detta lika med $f(x)$ kan vi lösa ut $a.$

Vi gör samma sak och deriverar $F(x).$

Om vi nu jämför $F'(x)$ och $f(x)$ ser vi att den första termen är samma i båda, så den hjälper inte till så mycket. Istället tittar vi på den andra termen. I $F'(x)$ är den $2(b-1)x$ och i $f(x)$ är den $\N20x.$ Dessa ska vara lika.

Innan vi bestämmer alla funktioner bestämmer vi en. Vi söker en funktion som om den deriveras två gånger blir g(x)=30x^4-12x. Det är alltså samma sak som att hitta en primitiv funktion två steg bakåt. Eftersom gradtalet för polynomfunktioner minskar med 1 vid en derivering måste vi hitta en primitiv funktion med ett gradtal som är 2 större än g(x). Vi kan utgå från y=x^6-x^3 som innehåller rätt antal termer med rätt exponenter för att kunna vara en primitiv funktion till g(x). Vi deriverar y två gånger och ser vad vi får.

Resultatet stämmer nästan med g(x)=30x^4-12x, vi behöver bara dubbla andra termens koefficient för att den ska bli 12 efter båda deriveringarna. Detta kan vi göra genom att låta termen vara -2x^3 istället för - x^3. Vi gör denna justering och kontrollerar att g(x)=x^6-2x^3 är ett korrekt svar genom att derivera två gånger. g(x)=& x^6-2x^3 [0.5em] g'(x)=& 6x^5-6x^2 [0.5em] g(x)=& 30x^4-12x Ett exempel på en sökt funktion g(x) är alltså g(x)=x^6-2x^3. Nu vill vi generalisera detta till alla sådana funktioner. Konstanter försvinner när man deriverar, så vi kan absolut lägga till en sådan. Men, eftersom vi deriverar två gånger försvinner även polynom av grad 1. Vi lägger därför till två termer, Cx och D, där C och D är konstanter. Vi får då att alla g(x) är g(x)=x^6-2x^3+Cx+D.

Frågan är alltså om båda svar kan vara primitiva funktioner till samma funktion. Vilken konstant de valt spelar ingen roll eftersom den ändå försvinner i deriveringen, så trots att ena konstanten är $16$ och den andra $0$ kan de ändå vara primitiva funktioner till samma funktion. Nu undersöker vi om variabeltermen är samma genom att skriva om t.ex. sammarens funktion.

Vi ser då att variabeltermen i $F_1(x)$ är samma som i $F_2(x) = 5x^{\N4}.$ Svaret är alltså ja, båda svaren skulle kunna vara korrekta.

Ett sätt att kontrollera om deras funktioner är primitiva till \begin{aligned} f(x) = \dfrac{20}{x^5} \end{aligned} är genom att derivera dem och se om man får samma funktionsuttryck som $f(x).$ Eftersom både $F_1(x)$ och $F_2(x)$ kommer ge samma resultat vid derivering räcker det att derivera den ena.

Det skiljer ett minustecken i svaret. Därför är $F_1'(x) \neq f(x)$ och därmed inte en primitiv funktion till $f(x).$ Då det enda som skiljer elevernas funktioner åt är en konstant är inte heller naturarens svar korrekt. Ingen av dem hade alltså rätt.

Några förslag på primitiva funktioner till f(x) är ritade, och vi ska avgöra vilken eller vilka av dessa grafer som kan deriveras till just f(x) = kx. Vi kan se att f(x) är ett monom av grad 1, vilket innebär att dess primitiva funktion F(x) måste vara av grad 2 eftersom en polynomfunktions grad minskar med $1$ när den deriveras. Det innebär alltså att F(x)är en andragradsfunktion. Vi kan se att graferna a och b är andragradsfunktioner, men kan båda vara giltiga primitiva funktioner? Som ett test sätter vi in x=0 i derivatan. Då får vi reda på vad F(x) ska ha för lutning i punkten där x=0.

Lutningen ska alltså vara noll där x=0, vilket utesluter den gröna grafen a eftersom den har positiv lutning där.

Grafen b har däremot en stationär punkt i x=0, så den uppfyller kriteriet. Graf b kan alltså representera en primitiv funktion till f(x) = kx.