Primitiva funktioner: Lär dig vad primitiv funktion och antiderivata är

$F (x)$ kallas en primitiv funktion till $f (x)$ om derivatan $F^{'} (x)$ är lika med $f (x) .$

Exempelvis är $F (x) = x^{2}$ en primitiv funktion till $f (x) = 2 x$ eftersom derivatan av $x^{2}$ är just $2 x .$ Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler. En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan $F (x)$ vara primitiv funktion till $f (x)$ vilket utläses som att "stora $F$ av $x$ " är primitiv funktion till "lilla $f$ av $x$ ". Men det finns även andra vanliga beteckningar.

Funktion	Primitiv funktion
$f (x)$	$F (x)$
$g (x)$	$G (x)$
$f (x)$	$D^{- 1} (f (x))$
$f (x)$	$\int f (x) d x$

Det är inte alltid någon speciell notation används. Exempelvis är

f (x)

en primitiv funktion till

f^{'} (x) .

Kontrollera om $F (x)$ är en primitiv funktion till $f (x)$

fullscreen

Är $F (x) = 4 x^{3} - 15 x + 2 e^{2 x}$ en primitiv funktion till $f (x) = 12 x^{2} - 15 + 4 e^{x} ?$

Visa Lösning

$F (x)$ är en primitiv funktion till $f (x)$ om $F^{'} (x) = f (x) .$ Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.

F (x) = 4 x^{3} - 15 x + 2 e^{2 x}

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (4 x^{3}) - D (15 x) + D (2 e^{2 x})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

F^{'} (x) = 12 x^{2} - D (15 x) + D (2 e^{2 x})

DeriveXCo

$D (a x) = a$

F^{'} (x) = 12 x^{2} - 15 + D (2 e^{2 x})

DeriveEInitialCo

$D (a e^{k x}) = a \cdot k e^{k x}$

F^{'} (x) = 12 x^{2} - 15 + 4 e^{2 x}

Om vi jämför

f (x) = 12 x^{2} - 15 + 4 e^{x}

med

F^{'} (x)

ser vi att den sista termen skiljer sig åt:

4 e^{2 x} \neq = 4 e^{x} .

Det innebär att

F^{'} (x) \neq = f (x) .

F (x)

är alltså inte en primitiv funktion till

f (x) .

Förklaring

Varför kan $f (x)$ ha oändligt många primitiva funktioner?

Funktionen

F (x) = x^{3}

är en primitiv funktion till

f (x) = 3 x^{2},

eftersom derivatan till

x^{3}

är

3 x^{2} .

Men kan

3 x^{2}

ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan

3 x^{2},

exempelvis

G (x) = x^{3} + 5 och H (x) = x^{3} - 3.8 .

Det betyder att funktionen

3 x^{2}

har minst tre primitiva funktioner:

x^{3},

x^{3} + 5

och

x^{3} - 3.8 .

Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till

3 x^{2}

skrivas

F (x) = x^{3} + C,

där

C

är en godtycklig konstant.

F (x) = x^{3} + C

representerar då alla primitiva funktioner till

f (x) = 3 x^{2} .

Eftersom det finns oändligt många värden som

C

kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till

f (x) .

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

fullscreen

Para ihop funktionerna 1 $-$ 3 med motsvarande primitiva funktioner A $-$ E.

Visa Lösning

Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera A $-$ E. Då kan vi se vilka par som uppfyller att

F^{'} (x) = f (x),

vilket ska gälla om

F (x)

är en primitiv funktion till

f (x) .

	$F (x)$	$F^{'} (x)$
A	$x^{4} - 5$	$4 x^{3}$
B	$x^{2} + 0.1$	$2 x$
C	$x^{4}$	$4 x^{3}$
D	$777$	$0$
E	$2^{3}$	$0$

Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 1 $-$ 3. Då ser vi att A är primitiv funktion till $1,$ B är primitiv funktion till $3,$ etc.

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Exempel

Kontrollera om $F (x)$ är en primitiv funktion till $f (x)$

Förklaring

Varför kan $f (x)$ ha oändligt många primitiva funktioner?

Exempel

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Exempel

Kontrollera om F(x) är en primitiv funktion till f(x)

Exempel

Para ihop funktion med rätt primitiv funktion

Kontrollera om $F (x)$ är en primitiv funktion till $f (x)$