Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0.$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f(x)=7$ och $g(x)=\text{-}18$ lika med $0.$

Härledning
$D(a)=0$

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen $f(x)=a$ som $f(x)=a\cdot 1,$ och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten $0$ är $1.$

$f(x)=a \cdot 1$

Skriv $1$ som $x^0$

$f(x)=a \cdot x^0$

Derivera funktion

$f'(x)=D\left(a \cdot x^0\right)$

$D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}$

$f'(x)=a \cdot 0\cdot x^{\text{-}1}$

Multiplicera faktorer

$f'(x)=0$

Alltså är derivatan av $f(x)=a$ lika med $0,$ oavsett värdet på $a.$

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition, $f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h},$ för att visa att derivatan av en konstant är $0.$ Eftersom $f(x)=a$ inte innehåller någon variabel blir även $f(x+h)=a.$

$f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$f(x+h)={\color{#0000FF}{a}}$, $f(x)={\color{#009600}{a}}$

$f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a}}-{\color{#009600}{a}}}{h}$

Förenkla termer

$f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{0}{h}$

Beräkna kvot

$f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} 0$

$\displaystyle{\lim_{x\to a}}\ C = C$

$f'(x) = 0$

Även på detta sätt ser man att $f'(x)=0.$

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f(x)=a$ är en horisontell linje med $k$-värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f'(x)=0.$