Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid 0.0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7f(x)=7 och g(x)=-18g(x)=\text{-}18 lika med 0.0.

Härledning

D(a)=0D(a)=0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=af(x)=a som f(x)=a1, f(x)=a\cdot 1, och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 00 är 1.1.

f(x)=a1f(x)=a \cdot 1
f(x)=ax0f(x)=a \cdot x^0
f(x)=D(ax0)f'(x)=D\left(a \cdot x^0\right)
f(x)=a0x-1f'(x)=a \cdot 0\cdot x^{\text{-}1}
f(x)=0f'(x)=0

Alltså är derivatan av f(x)=af(x)=a lika med 0,0, oavsett värdet på a.a.

Derivatans definition

Man kan även använda derivatans definition, f(x)=limh0f(x+h)f(x)h, f'(x) = \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, för att visa att derivatan av en konstant är 0.0. Eftersom f(x)=af(x)=a inte innehåller någon variabel blir även f(x+h)=a.f(x+h)=a.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
f(x+h)=af(x+h)={\color{#0000FF}{a}}, f(x)=af(x)={\color{#009600}{a}}
f(x)=limh0aahf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a}}-{\color{#009600}{a}}}{h}
f(x)=limh00hf'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{0}{h}
f(x)=limh00f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} 0
f(x)=0f'(x) = 0

Även på detta sätt ser man att f(x)=0.f'(x)=0.

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=af(x)=a är en horisontell linje med kk-värdet 0,0, dvs. lutningen är 00 för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan 00 i alla punkter, dvs. f(x)=0.f'(x)=0.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}