Primitiva funktioner

F(x) är en primitiv funktion till f(x) om F'(x)=f(x).

Vi deriverar för att se om detta stämmer.

Om vi jämför funktionerna ser vi att F'(x)=f(x), och därför är F(x) en primitiv funktion till f(x).

Vi gör på samma sätt.

Funktionsuttrycket för F'(x) är inte samma som f(x), eftersom f(x) har en extra term, 2x, som F'(x) inte har. Därför är F(x) inte en primitiv funktion till f(x).

Inget nytt, vi fortsätter på samma sätt.

Funktionsuttrycket för F'(x) är inte samma som f(x), eftersom exponenten på e är olika. Därför är F'(x) ≠ f(x) och F(x) är därmed inte en primitiv funktion till f(x).

När man hittar en primitiv funktion till f(x) letar man efter en funktion som deriveras till f(x).

Vi söker alla primitiva funktioner F(x) till f(x)=3x^2, alltså funktioner som blir detta om de deriveras. Vid derivering minskar exponenten med 1 så för att derivatan ska bli 3x^2 bör graden vara ett högre, dvs. grad 3. Vi testar med x^3 och ser om det stämmer: F(x)=x^3 ⇒ F'(x)=3x^2. Alltså är F(x)=x^3 en primitiv funktion till f(x)=3x^2. Men likaså är x^3+1 också en primitiv funktion, eftersom 1:an försvinner vid derivering. Vi inför därför en godtycklig konstant C som täcker alla primitiva funktioner och får då F(x)=x^3+C.

Här letar vi efter en funktion F(x) som blir f(x)=5e^(5x) om den deriveras. Exponentialfunktioner med basen e behåller samma exponent vid derivering, alltså 5x. Vi testar med e^(5x) och ser om det stämmer: F(x)=e^(5x) ⇒ F'(x)=5e^(5x). Alltså är F(x)=e^(5x) en primitiv funktion till f(x). Vi lägger nu till en godtycklig konstant C och får F(x)=e^(5x)+C.

För att F(x) ska ha derivatan 2x måste termen vara av grad 2. Eftersom derivatan av x^2 är 2x är F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x). Lägger vi till C får vi F(x)=x^2+C.

Vad ska deriveras för att man ska få f(x)=10x^4? Vi börjar med x^5. F(x)=x^5 ⇒ F'(x)=5x^4. Det stämmer nästan, men för att det ska stämma helt måste vi dubbla koefficienten. Alltså är F(x)=2x^5 en primitiv funktion till f(x) och då blir alla primitiva funktioner F(x)=2x^5+C.

Nu letar vi efter den primitiva funktionen till f(x)=e^(7x). Om den hade varit e^(7x) hade derivatan blivit 7e^(7x). Men vi vill att koefficienten ska bli 1, så därför dividerar vi e^(7x) med 7: F(x)=e^(7x)/7 ⇒ F'(x)=7e^(7x)/7=e^(7x). Därför är F(x)= e^(7x)7 en primitiv funktion till f(x)=e^(7x). Lägger vi till konstanten C får vi F(x)= e^(7x)7+C.

Om man vill ange alla primitiva funktioner till f(x) brukar man lägga till ett C till funktionsuttrycket för F(x), där C är en godtycklig konstant: F(x)=x^5/5 +x^2+C.

Oavsett vad C är kommer derivatan att bli funktionen f(x)=x^4+2x, och därför representerar den alla primitiva funktioner till f(x).

En primitiv funktion till f(x) är en funktion F(x) som deriveras till f(x).

När vi deriverar potensfunktioner används regeln D(x^n) = nx^(n-1). Vi ska alltså derivera en potensfunktion för att få 4x^3, dvs. vilket värde på n i potensen x^n gör att likheten nx^(n-1)= 4x^3 stämmer? Skriver vi om 4x^3 som 4x^(4-1) och jämför med nx^(n-1) ser vi att när n=4 så stämmer likheten. Men vi är inte klara! Den primitiva funktionen skulle även kunna innehålla en konstant C eftersom dessa försvinner när man deriverar. För att få med alla primitiva funktioner till f(x) skriver vi alltså F(x)=x^4+C.

För exponentialfunktioner med basen e gäller det att e^x är sin egen derivata, dvs. D(e^x)=e^x. Den primitiva funktionen till e^x måste alltså därför också vara e^x. Vi lägger även på en godtycklig konstant C för att få med alla primitiva funktioner: F(x)=e^x+C.

När exponenten i en exponentialfunktion med basen e har en koefficient, dvs. e^(kx) så används deriveringsregeln D(e^(kx))=ke^(kx). Vid derivering ska alltså koefficienten till x multipliceras med e^(kx). I funktionen e^(5x) ser vi att k=5 så vid derivering får vi 5e^(5x). Men i uppgiften är f(x) = 10e^(5x) vilket betyder att e^(5x) i den primitiva funktionen måste ha koefficienten 2 redan från början (eftersom 2* 5=10). Lägger vi till en godtycklig konstant får vi F(x)=2e^(5x)+C.

En primitiv funktion till f(x) är en funktion som deriveras till f(x). Uppgiften är därför att sätta ut pilar så att varje funktion pekar på sin derivata. Vi går igenom de olika uttryckstyperna ett i taget.

Konstanter

Konstanterna är 0, 2 och 6. Derivatan av en konstant är alltid noll, så alla dessa boxar ska peka på 0. Notera alltså att 0 är primitiv funktion till sig själv!

Förstagradsuttryck

Det finns tre uttryck av första graden: 2x-3, 2x+1 och 6x. Precis som ovan försvinner konstanter i deriveringen, medan x-termerna följer regeln D(ax) = a. Vi deriverar dessa tre uttryck, och resultaten visas i tabellen.

Andragradsuttryck

Andragradsuttrycken är 3x^2 och x^2 - 3x. Med samma regel som ovan samt deriveringsregeln för potensfunktioner får vi derivatorna i tabellen.

Tredjegradsuttryck

Det finns bara ett tredjegradsuttryck. Eftersom det är lite krångligare visar vi deriveringen steg för steg.

Tredjegradsuttrycket ska alltså peka på x^2 - 3x.

Exponentialuttryck

Exponentialuttrycken är de som innehåller e^x. Termen e^5 är en konstant som går bort, medan övriga deriveras med deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen e. För e^x är k=1, och den blir då lika med sin egen derivata.

Derivatan 25e^(5x) finns inte med i bilden, så den pilen måste utelämnas. Sammanställer vi våra resultat och drar pilarna så att varje uttryck pekar på sin derivata får vi trasslet nedan.