Pq-formeln

Vi börjar med pqt.ex.-formeln. Först skriver vi om ekvationen på pqt.ex.-form och sätter sedan in i formeln.

Nu löser vi ekvationen 9x^2+54x+72=0 igen, fast med abct.ex.-formeln.

Med abc-formeln får vi stora tal som kan vara knepiga att beräkna i huvudet.

Vi börjar återigen med pqt.ex.-formeln.

Nu löser vi samma ekvation igen, fast med abct.ex.-formeln.

I det här fallet ger abct.ex.-formeln en något kortare lösning.

Sammanfattning

Den första ekvationen ger trevliga heltalskoefficienter då den skrivs på pqt.ex.-form, medan när samma ekvation löses med abct.ex.-formeln får vi stora tal som är svårare att räkna ut i huvudet. Den andra ekvationen ger bråktal då den skrivs på pqt.ex.{-}form, medan om vi använder abct.ex.-formeln slipper vi en del bråkräkning.

Vi låter x^2=t. Då blir x^4=t^2 och den nya ekvationen blir av graden 2.

Nu har vi en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.

Nu är det viktigt att man kommer ihåg att byta tillbaka variabeln. Vi söker ju värdena på x, inte t. I början gjorde vi variabelbytet x^2=t, och vi vet att t=1 eller t=4, så för att ta fram ekvationens rötter ska vi lösa x^2=t ⇒ x^2=1 x^2=4. Vi löser dessa ekvationer, en i taget.

Nu löser vi den andra.

De fyra lösningarna till ekvationen är alltså x=±1 och x=±2.

Det kan vara lite svårt att se, men ekvationen är skriven på pq-form, där koefficienten framför x-termen är b och konstanttermen är - 2b^2. Vi kan alltså använda pq-formeln med p = b och q = - 2b^2. Det blir lite krångligare eftersom vi inte vet vad b är, men lösningsgången är likadan som om det bara hade varit ett vanligt tal.

Lösningarna till ekvationen är alltså x = - 2b och x = b.

Om man använder pq-formeln när man löser ekvationen får man rötterna x_1=-p/2-sqrt((p/2)^2-q) och x_2=-p/2+sqrt((p/2)^2-q). Vi sätter in dessa uttryck och förenklar summan.

De två sista termerna är likadana, med ett minustecken mellan. På samma sätt som t.ex. 3-3=0 kommer differensen av rottuttrycken också att bli 0.

Summan av rötterna blir alltså - p, dvs. koefficienten framför x i ekvationen, men med ombytt tecken.

Vi använder uttrycken på för rötterna på samma sätt som i föregående deluppgift. x_1 * x_()2 = (-p/2-sqrt((p/2)^2-q))(-p/2+sqrt((p/2)^2-q)) Vi har nu produkten av två binom. De är likadana sånär som på tecknet mellan termerna. I den första är det ett minustecken och i den andra är det ett plustecken. Det betyder att vi kan använda konjugatregeln.

Produkten av rötterna är alltså lika med q, dvs. konstanttermen i ekvationen.

Med abc-formeln kan vi direkt lösa ekvationer på formen ax^2+bx+c=0. I vår ekvation x^2+px+q=0 är a=1, b=p och c=q. Vi sätter in dessa värden i abc-formeln.

Som vi ser får vi inte direkt lösningarna på pq-form, utan vi måste göra lite omskrivningar.

Vi har nu alltså visat att pq-formeln är ett specialfall av abc-formeln för ekvationer som står på eller är omskrivna till formen x^2+px+q=0.

Vi använder pq-formeln för att ta fram uttryck för rötterna. Eftersom q är negativ kallar vi den för - k, där k är ett positivt tal.

Eftersom k är ett positivt tal kommer sqrt(1+k) vara större än 1. De två rötterna blir x_1=1-sqrt(1+k) och x_2=1+sqrt(1+k). Den första roten, x_1, blir negativ eftersom man subtraherar ett tal större än 1 från 1. T.ex. är 1-2 negativt. Den andra roten blir positiv eftersom man lägger till ett positivt tal till 1. Man får alltså en positiv och negativ lösning. Man kan visa att man alltid får en positiv och en negativ rot om q är negativ.

Studsmattans långsida är dubbelt så lång som dess kortsida, så om vi kallar kortsidan för x måste långsidan vara 2x. Vi vet även att säkerhetszonen runt studsmattan är 2 meter bred vilket innebär att säkerhetszonen har en bredd och längd på Bredd:& x+4 m och Längd:& 2x+4 m Vi ritar en figur som visar studsmattan och säkerhetszonen runt omkring.

Den gröna delen av figuren, dvs. studsmattan, har formen av en rektangel så dess area blir 2x* x=2x^2 m^2. Vad blir då säkerhetszonens area, dvs. det röda området? Eftersom säkerhetszonen inte går in under studsmattan måste vi dra bort studsmattans area när vi beräknar säkerhetszonens area: (2x+4)(x+4)-2x^2=12x+16 m^2 Från uppgiften vet vi att säkerhetszonens area är 3 gånger större än studsmattans vilket ger oss ekvationen 12x+16=3* 2x^2 ⇔ 12x+16=6x^2 Detta är en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.

Nu ser vi att den ena sidan är ca 2,9 meter vilket innebär att den andra är ca 2* 2,9=5,8 meter.