Pq-formeln: Lös andragradsekvationer snabbare

Lös ekvationen med $p q$ -formeln. Svara exakt.

2 t^{2} + 4 t = 30

\frac{a ^{2}}{3} - 120 = 3 a

4 = \frac{2 u ^{2}}{3} + 2 u

Variabeln är t istället för x men det spelar ingen roll då pq-formeln fungerar oavsett vad man väljer att kalla variabeln. För att använda pq-formeln måste ekvationen dock stå på pq-form, dvs. i det här fallet ska den stå på formen t^2+pt+q=0. Vi börjar alltså med att skriva om ekvationen så att den står på denna form genom att subtrahera båda led med 30 och därefter dividera med 2.

Nu står ekvationen på pq-form. Vi läser av p och q till 2 respektive - 15 och sätter in i pq-formeln.

t=- 5 och t=3 löser ekvationen.

Vi ser att ekvationen inte står på rätt form. Den kvadrerade termen delas med 3 och högerledet är inte lika med noll. Vi börjar med att skriva om ekvationen.

Nu sätter vi in p=- 9 och q=- 360 i pq-formeln.

a=- 15 och a=24 löser ekvationen.

Samma sak igen. Ekvationen står inte på rätt form. Vi flyttar över alla termer på ena sidan likhetstecknet. För att den kvadrerade termen ska få koefficienten 1 multiplicerar vi ekvationen med 3 och dividerar med 2.

Nu kan vi sätta in p=3 och q=- 6 i pq-formeln.

Vi skulle kunna slå in sqrt(8.25) på miniräknaren, men det är ett irrationellt tal som inte kan skrivas på decimalform. Ska vi svara exakt måste vi alltså ha kvar rottecknet. Lösningarna till ekvationen är alltså u=- 1.5-sqrt(8.25) och u=- 1.5+sqrt(8.25).

Lös ekvationen och svara exakt.

9 x^{2} - 3 x - 2 = 0

7 x^{2} - 6 x - 1 = 0

2 x^{2} - 8 x = 6

Vi börjar med att skriva om ekvationen på pq-form.

Nu använder vi pq-formeln. Koefficienten framför x-termen är lättare att se om man skriver den som - 13x, alltså är p=- 13. För att sedan förenkla rotuttrycket sätter vi bråken på gemensam nämnare.

Vi gör på samma sätt med den här ekvationen.

För att lösa andragradsekvationen måste den stå på pq-form. Vi börjar alltså med att skriva om ekvationen.

Nu kan vi lösa andragradsekvationen med pq-formeln.

Vi får två lösningar: x=2+sqrt(7) och x=2-sqrt(7). Om man vill kan man slå in lösningarna på räknaren, men då blir inte svaret exakt.

Bestäm sidan $x .$ Avstånd anges i meter.

En rätvinklig triangel med kateterna x och x-3.

Eftersom figuren visar en rätvinklig triangel kan vi använda Pythagoras sats för att få ett samband mellan sidorna. Det blir x^2 + (x - 3)^2 = 15^2. Vi utvecklar parentesen och flyttar över termer till vänsterledet för att skriva om uttrycket på pq-form.

Nu när ekvationen står på pq-form kan vi använda pq-formeln för att lösa ut x.

Längden på sidan kan inte vara negativ, vilket innebär den enda rimliga lösningen är att den är 12 m lång.

I konen nedan är avståndet $s$ från spetsen till basytans kant $6.5$ cm. Konens begränsningsarea $A$ är $130$ cm $^{2}$ . Bestäm dess radie $r$ med hjälp av formeln för begränsningsarean av en kon, $A = π r s + π r^{2}$ . Svara med en decimal.

Begränsningsarean A är 130 cm^2 och att sträckan s är 6.5 cm. Vi sätter in dessa värden i formeln för begränsningsarean av en kon och löser ut radien r med hjälp av pq-formeln.

Vi ser att ekvationen har två lösningar. Det är dock endast den positiva lösningen vi är intresserade av, eftersom längden på radien inte kan vara negativ. Konens radie är alltså ca 4.0 cm.

Lös ekvationen.

7 x^{2} - 32 x + 27 = 2 x^{2} - 2 x - 13

4 x - 13.5 + 2 x^{2} = x^{2} - 8.25 + 2 x

Vi skriver om ekvationen så att ena ledet är lika med 0.

Nu dividerar vi båda led med 5.

Ekvationen har lösningarna x=4 och x=2.

Även här skriver vi om ekvationen så ena ledet är lika med noll. Därefter använder vi pq-formeln.

Ekvationen har lösningarna x=1.5 och x=-3.5.

Lös ekvationen.

(x + 2) (x + 4) = 3

(x + 5) (6 - x) = 5.25

Vi börjar med att multiplicera ihop parenteserna med varandra.

Om vi nu subtraherar 3 från båda led blir andragradsekvationen lika med 0 . Då får vi ekvationen på rätt form för att lösa den med pq-formeln.

Ekvationen har lösningarna x=-5 och x=-1.

Även nu börjar vi med att multiplicera ihop parenteserna.

Vi subtraherar 5.25 från båda led för att högerledet ska bli lika med 0.

Ekvationen har lösningarna x=-4.5 och x=5.5.

Två på varandra följande jämna positiva heltal bildar produkten

224 .

Vilket är det större talet?

Om vi låter det minsta talet vara x, blir nästa jämna heltal x+2. Vi multiplicerar ihop dem.

Detta ska vara lika med 224. Det ger oss en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.

Heltalen ska vara positiva så den negativa lösningen är inte intressant. x är alltså 14. Det andra talet blir x+2=14+2=16. De sökta talen är alltså 14 och 16, varav 16 är det större.

En bonde i Kivik skördade sin rektangulära äppelodling. Det gav totalt

90720

kg frukt vilket motsvarade i genomsnitt

42

kg per träd. Kortsidan av odlingen löper längs med en väg och där får det plats

66

färre träd än längs långsidan. Hur många träd finns det längs med vägen?

Genomsnittet är 42 kg per träd och totalt skördades 90 720 kg. Om vi kallar antalet träd för t får vi 90 720/t=42 ⇔ t=2160. Vi kallar antalet träd längs med vägen för x. Då får det plats x+66 längs den andra sidan.

Antalet träd får vi genom att multiplicera x med x+66 dvs. x(x+66). Detta ska vara lika med 2160 som vi bestämde tidigare.

Denna andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln.

Eftersom x är ett antal måste det vara positivt. Därför är den negativa lösningen inte intressant. Det står 24 träd längs med vägen.

Ragnvald ska baka en kladdkaka i långpanna åt sin undulat som fyller år. Han vill dekorera kladdkakans fyra kanter med hallon som är ca

1.5

cm i diameter, men vet inte hur många som behövs. Till sin hjälp har han informationen att långsidan är

9

cm längre än kortsidan och att plåtens area är

1386

^{2}

. Uppskatta hur många hallon Ragnvald behöver till dekorering.

För att ta reda på antalet hallon som behövs måste vi först bestämma längden på kladdkakans sidor, vilka begränsas av långpannans sidlängder. Vi kallar kortsidans längd x och långsidans längd x+9.

Eftersom plåtens area är känd och vi vet att en rektangels area beräknas genom att multiplicera basen med höjden kan vi ställa upp ekvationen x* (x+9)=1386 cm^2. Genom att lösa ekvationen bestämmer vi kortsidans längd x. Till att börja med multiplicerar vi in x:et i parentesen och skriver om ekvationen så att ena ledet är lika med 0 .

Vi använder nu pq-formeln.

Ekvationen har två lösningar, men vi bortser från den negativa lösningen eftersom en sträcka inte kan vara negativ. Kortsidan x är alltså 33 cm lång. Långsidan, som är 9 cm längre, är därmed 33+9=42 cm. Antalet hallon som går åt vid dekorering bestämmer vi genom att dividera kladdkakans omkrets med hallonens diameter. Kakans omkrets är 2* 33+2* 42=150 cm så antalet hallon ges av 150/1.5=100. Ragnvald behöver alltså ungefär 100 st. hallon för att dekorera kladdkakans fyra kanter.

Lös ekvationen

4 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x = 0 .

I alla termer finns ett x. Det betyder att vi kan bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen.

Den ena roten är alltså x=0. För att hitta resten av dem behöver vi lösa den andra ekvationen. Det är en andragradsekvation så den löser vi med pq-formeln.

Nu fick vi rötterna x=-1.5 och x=2.5, och sedan tidigare vet vi också att x=0. Samtliga rötter är alltså x=0, x=-1.5 och x=2.5.

Lös ekvationen med algebraisk metod.

x^{2} - 4 x - 45 = 0

Nationella provet VT12 kurs 2b

(x + 1)^{2} = x + 1

Nationella provet VT12 kurs 2b

Vi löser ekvationen med hjälp av pq-formeln.

Lösningarna till ekvationen är alltså x=- 5 och x=9.

Vi börjar med att utveckla det kvadrerade uttrycket i vänsterledet och förenkla ekvationen så långt det går.

Genom att faktorisera ekvationen kan vi lösa ut x med hjälp av nollproduktmetoden.

Både x=0 och x=- 1 löser alltså ekvationen.

Adelina och Linda tränar brännboll. Adelina slår iväg bollen med ett slagträ och Linda tränar på att ta lyra, det vill säga fånga bollen innan den når marken.

Vid ett tillfälle kan bollens bana beskrivas med funktionen $y = - 0.10 x^{2} + 2 x + 1$ där $y$ är bollens höjd över marken i meter och $x$ är avståndet i meter längs marken från utslagsplatsen.

En kaströrelse av en baseboll som slagits.

Hur långt från utslagsplatsen befinner sig Linda om hon fångar bollen $0.80$ meter över marken? Svara med en decimal.

Nationella provet HT13 2a

Linda fångar bollen 0.8 meter över marken, dvs. när y=0.8 Genom att beräkna den x-koordinat då y=0.8 kan vi bestämma hur långt ifrån utslagsplatsen, dvs. x=0, som Linda fångar bollen.

Nu kan vi lösa ekvationen med pq-formeln.

Andragradskurvan når y=0.8 i både x=- 0.1 och x=20.1. Vi kan dock bortse från den negativa lösningen eftersom Linda fångar bollen till höger om utslagsplatsen. Från utslagsplatsen till x=20.1 är det alltså 20.1 meter.

Pq-formeln

Mathleaks

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln

$a b c$ -formeln

	3 sidor teori
	31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Pq-formeln

Härledning

Exempel

Lös andragradsekvationen med pq-formeln

Lös andragradsekvationen med $p q$ -formeln