{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Algebra och aritmetik

Välj kurs
Matte 2a
Algebra och aritmetik
Potenser och rotuttryck

Potenser och rotuttryck

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Potenser med positiva heltalsexponenter, t.ex. 73,7^3, beskriver upprepad multiplikation. Om exponenten istället är ett bråktal kan potensen tolkas som ett rotuttryck. Vilket rotuttryck potensen motsvarar beror på potensens bas samt vilket bråktal som står i exponenten. För att utföra beräkningar med potenser och rotuttryck är det nödvändigt att först lära sig potenslagarna.
Regel

Multiplikation och division av potenser

Regel
ab⋅ac=ab+ca^b\cdot a^c=a^{b+c}
När potenser med samma bas multipliceras kan de skrivas som en potens genom att man adderar exponenterna. Enligt regeln är t.ex. 23⋅222^3\cdot 2^2 lika med 23+2=25.2^{3+2}=2^5. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.
23⋅222^3 \cdot 2^2
Dela upp i faktorer
(2⋅2⋅2)⋅(2⋅2)(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)
Ta bort parentes
2⋅2⋅2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
Skriv som potens
252^5
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel
abac=ab−c\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}

När potenser med samma bas divideras kan de skrivas som en enda potens där exponenten i nämnaren subtraherats från exponenten i täljaren. Enligt regeln blir t.ex. divisionen av 363^6 och 343^4 lika med 36−4=323^{6-4}=3^2. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

3634\dfrac{3^6}{3^4}
Dela upp i faktorer
3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅33⋅3⋅3⋅3\dfrac{3\cdot 3\cdot 3\cdot3\cdot3\cdot3}{3\cdot3\cdot3\cdot3}
Stryk faktorer
3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅33⋅3⋅3⋅3\dfrac{3\cdot 3\cdot \cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}{\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{3}}
Förenkla kvot
3⋅33\cdot3
Skriv som potens
323^2
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och cc, men inte om a=0.a=0. Då blir uttrycket odefinierat.
Regel

Potens av potens, produkt och kvot

Regel
(ab)c=ab⋅c\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}

Om basen i en potens själv är en potens kan uttrycket skrivas som en potens där exponenterna multiplicerats. Enligt regeln är t.ex. (52)3\left(5^2\right)^3 lika med 52⋅3=56.5^{2\cdot3}=5^6. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(52)3\left(5^2\right)^3
a3=a⋅a⋅aa^3=a\cdot a\cdot a
52⋅52⋅525^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2
a2=a⋅aa^2=a\cdot a
5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅55\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5
Skriv som potens
565^{6}
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel
(ab)c=acbc(ab)^c=a^c b^c

När basen i en potens är en produkt kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på faktorerna. Enligt regeln är t.ex. (2⋅5)3\left(2\cdot 5\right)^3 samma sak som 23⋅53.2^3\cdot 5^3. Man kan motivera detta genom att skriva ut potenserna som upprepade multiplikationer.

(2⋅5)3\left(2\cdot 5\right)^3
a3=a⋅a⋅aa^3=a\cdot a\cdot a
(2⋅5)⋅(2⋅5)⋅(2⋅5)(2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5) \cdot (2\cdot 5)
Ta bort parentes
2⋅5⋅2⋅5⋅2⋅52\cdot 5 \cdot 2\cdot 5 \cdot 2\cdot 5
Omarrangera faktorer
2⋅2⋅2⋅5⋅5⋅52\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 5
a⋅a⋅a=a3a\cdot a\cdot a=a^3
23⋅532^3\cdot 5^3
Regeln gäller för alla reella tal a,a, bb och c.c.

Regel
(ab)c=acbc\left(\dfrac{a}{b}\right)^c=\dfrac{a^c}{b^c}

När basen i en potens är en kvot kan potensen skrivas om genom att sätta exponenten på både nämnaren och täljaren. Enligt regeln är t.ex. (65)4\left(\frac{6}{5}\right)^4 samma sak som 6454.\frac{6^4}{5^4}. Man kan motivera detta genom att skriva potensen som upprepad multiplikation.

(65)4\left(\dfrac{6}{5}\right)^4
Dela upp i faktorer
65⋅65⋅65⋅65\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{6}{5}
Multiplicera bråk
6⋅6⋅6⋅65⋅5⋅5⋅5\dfrac{6\cdot 6\cdot6\cdot6}{5\cdot 5\cdot5\cdot5}
Skriv som potens
6454\dfrac{6^4}{5^4}
Regeln gäller för alla reella a,a, bb och c,c, men inte om b=0.b=0.
Regel

Potens med negativ exponent

Regel
a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}

När man dividerar potenser med samma nämnare subtraherar man exponenterna. Vad händer om den resulterande exponenten blir negativ, t.ex. 5-3,5^{\text{-}3}, och har det någon innebörd? Enligt regeln är det lika med 153.\frac{1}{5^3}. Denna motiveras genom att skriva -3\text{-}3 som t.ex. 4−74-7 och använda en av potenslagarna.

5-35^{\text{-}3}
Skriv -3\text{-}3 som 4−74-7
54−75^{4-7}
ab−c=abac a^{b-c}= \dfrac{a^b}{a^c}
5457\dfrac{5^{4}}{5^{7}}
Dela upp i faktorer
5⋅5⋅5⋅55⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5\dfrac{5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}
Stryk faktorer
5⋅5⋅5⋅55⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5\dfrac{\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}}{5\cdot5\cdot5\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}\cdot\cancel{5}}
Förenkla kvot
15⋅5⋅5\dfrac{1}{5\cdot5\cdot5}
a⋅a⋅a=a3a\cdot a\cdot a=a^3
153\dfrac{1}{5^3}
En potens med negativ exponent kan ses som en upprepad multiplikation (eller en potens med en positiv exponent) i nämnaren av ett bråk med täljaren 1.
Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 16\sqrt{16} lika med 44 eftersom 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} lika med 55 eftersom 5⋅5=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

a⋅a=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.
Regel

Samband mellan rotuttryck och exponenter på bråkform

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot. I 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig självt nn gånger blir a.a. Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen 1/n1/n och nn är det heltal som anger typen av rot. Till exempel kan 273\sqrt[3]{27} skrivas som 271/327^{1/3} och 1005\sqrt[5]{100} som 1001/5.100^{1/5}.

Regel
an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. (9)2=9. \left(\sqrt{9}\right)^2=9. Ur detta kan man lösa ut 9\sqrt{9} genom att höja upp båda led med 1/21/2 och använda potenslagarna.

(9)2=9\left(\sqrt{9}\right)^2=9
VL1/2=HL1/2\text{VL}^{1/2}=\text{HL}^{1/2}
((9)2)1/2=91/2\left(\left(\sqrt{9}\right)^2\right)^{1/2}=9^{1/2}
(ab)c=ab⋅c \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}
(9)2⋅12=91/2\left(\sqrt{9}\right)^{2\cdot\frac{1}{2}}=9^{1/2}
2⋅a2=a 2 \cdot \dfrac{a}{2}= a
(9)1=91/2\left(\sqrt{9}\right)^1=9^{1/2}
a1=aa^1=a
9=91/2\sqrt{9}=9^{1/2}
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2.9^{1/2}. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2.\sqrt{a}=a^{1/2}. På liknande sätt kan man motivera att a3=a1/3,\sqrt[3]{a}=a^{1/3}, eller mer generellt an=a1/n.\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren.


Digitala verktyg

Kvadratrot och tredje roten ur

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen 5\sqrt{\phantom{5}} (2nd + x2x^2). Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja 1(3\sqrt[3]{\phantom{1}(} följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt
Digitala verktyg

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

TI-beräkning som visar en 4a

Därefter trycker man på MATH och väljer 1x,\sqrt[x]{\phantom{1}}, där xx:et står för en godtycklig rot.

TI-meny som visar MATH, med x:te roten ur valt

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

TI-beräkning som visar en 4:e roten ur 81
Uppgift

Beräkna utan räknare: 161/2−271/3+(5)2. 16^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2.

Lösning

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till 1/21/2 betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, 271/3,27^{1/3}, kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

161/2−271/3+(5)216^{1/2}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
a1/2=aa^{1/2}=\sqrt{a}
16−271/3+(5)2\sqrt{16}-27^{1/3}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
a1/n=ana^{1/n}=\sqrt[n]{a}
16−273+(5)2\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
Beräkna rot
4−3+(5)24-3+\left(\sqrt{5}\,\right)^2
(a)2=a\left ( \sqrt{a}\right )^2 = a
4−3+54-3+5
Förenkla termer
66
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

23⋅1032^3 \cdot 10^3

b

715713\dfrac{7^{15}}{7^{13}}

c

(32)2\left(3^2\right)^2

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda potens.

a

7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅77\cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7

b

410⋅42⋅44^{10}\cdot 4^2 \cdot 4

c

(6462)3\left(\dfrac{6^4}{6^{2}}\right)^3

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt det går.


a

32⋅36⋅333^2 \cdot 3^6\cdot 3^3

b

25/2322\dfrac{2^5/2^3}{2^2}

c

72⋅7579\dfrac{7^2\cdot 7^5}{7^9}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck med potenslagarna.


a

(22)3⋅22\left(2^2\right)^3\cdot 2^2

b

(74⋅3)2\left(\dfrac{7}{4\cdot 3}\right)^2

c

(2⋅3⋅4)242\dfrac{(2\cdot 3\cdot 4)^2}{4^2}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck utan räknare


a

10⋅2010\cdot 2^0

b

(10⋅2)0(10\cdot 2)^0

c

10-1+0.9110^{\text{-} 1}+0.9^1

d

10-1⋅0.9110^{\text{-} 1}\cdot 0.9^1

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv femte roten ur 17 i potensform.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 12\frac{1}{2} och som är lika med 3.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet på uttrycken utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare.

a

161216^{\frac{1}{2}}

b

271327^{\frac{1}{3}}

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Beräkna 513⋅553.5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{5}{3}}.
Nationella provet HT13 2a
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken med räknare. Svara med två decimaler.

a

93\sqrt[3]{9}

b

2154\sqrt[4]{215}

c

7⋅13⋅857 \cdot \sqrt[5]{13 \cdot 8}

d

100006+100007\sqrt[6]{10\,000} + \sqrt[7]{10\,000}

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande tal utan räknare.

a

813undefined1182undefined11\dfrac{8^{\left.13\middle/11\right.}}{8^{\left.2\middle/11\right.}}

b

(41undefined7)14−210undefined3⋅22undefined3\left(4^{\left.1\middle/7\right.}\right)^{14}-2^{\left.10\middle/3\right.}\cdot 2^{\left.2\middle/3\right.}

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På tallinjen finns sex punkter A – F.

Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen. 99052-110122.12 99^0 \quad \sqrt{5} \quad 2^{\text{-}1} \quad 10^{\frac{1}{2}} \quad 2.1^2 Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen. Lös uppgiften utan räknare.

Nationella provet VT15 2a
1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sex punkter P – U är utprickade på tallinjen nedan.

Alla tal nedan motsvarar en av de sex markerade punkterna. 22063-11612 22^0 \quad \sqrt{6} \quad 3^{\text{-} 1} \quad 16^{\frac{1}{2}} Para ihop talen med den motsvarande punkten på tallinjen utan att använda räknare.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt det går.


a

x9⋅(2x)4x^9\cdot (2x)^4

b

(-4a)2⋅(-8a)3(\text{-}4a)^2\cdot(\text{-}8a)^3

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken utan räknare.

a

64-(-2)3\dfrac{64}{\text{-}(\text{-}2)^3}

b

1(-2)-3\dfrac{1}{(\text{-}2)^{\text{-}3}}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av nedanstående potenser är störst, 16150eller2450? 16^{150} \quad \text{eller} \quad 2^{450}? Lös uppgiften utan att använda räknare.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 10-310^{\text{-}3} kan skrivas som 0.001.0.001.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens med basen 4.4.

a

1(-2)2−(-12)\dfrac{1}{(\text{-}2)^2-(\text{-}12)}

b

4x642x\dfrac{4^x}{64^{2x}}

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.

a

3+912−312⋅3123 + 9^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}

b

2−813+413⋅4232 - 8^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.


a

634614\dfrac{6^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}}

b

13-27⋅1357132713^{\text{-} \frac{2}{7}} \cdot \dfrac{13^{\frac{5}{7}}}{13^{\frac{2}{7}}}

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 13\frac{1}{3} och som är lika med 5.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens.

a

7⋅7⋅7\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}

b

53⋅53\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5}

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck: 512523. \dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{2}{3}}}.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket utan räknare. (120)-1+(118)-1−(-12)-1 \left(\dfrac{1}{20}\right)^{\text{-}1}+\left(\dfrac{1}{18}\right)^{\text{-}1}-\left(\text{-}\dfrac{1}{2}\right)^{\text{-}1}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda potens med minsta möjliga heltalsbas.


a

162+162+162+16216^2+16^2+16^2+16^2

b

9-2+9-2+9-29^{\text{-} 2}+9^{\text{-} 2}+9^{\text{-} 2}

c

11000⋅250+250+2511^{1000}\cdot 2^{50}+ 2^{50}+ 2^{51}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande uttryck som en potens med minsta möjliga heltalsbas.

a

(4⋅2⋅8⋅16)10(4\cdot 2 \cdot 8\cdot 16)^{10}

b

(93)1027\dfrac{\left(9^3\right)^{10}}{27}

c

9638+38+38\dfrac{9^6}{3^8+3^8+3^8}

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv kvoten 1000000000512 \dfrac{1\,000\,000\,000}{512} som en potens med basen 5, utan att använda din räknare, om du vet att 512 kan skrivas som en potens med bas 2.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att potensen 8a8^a är lika med 27. Bestäm värdet på potensen 42a.4^{2a}. Lös uppgiften utan räknare.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt utan räknare. Svara i potensform. 6⋅(2⋅3)23363 \dfrac{\sqrt{6} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36}}

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna nedanstående uttryck utan räknare och svara exakt. 254⋅254⋅254254+254+254 \dfrac{\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}}{\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}}

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har följande likhet: 2a=3b=6. 2^a=3^b=6. Visa att summan av aa och bb är lika stor som produkten ab.ab.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}