Potensekvationer

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. $x^4=9.$ Exponenten anger ekvationens grad, så $x^4 = 9$ är en fjärdegradsekvation.

Metod

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man använda rotuttryck. Vilken typ av rot man behöver avgörs av potensens grad. Exempelvis löser man andragradsekvationer genom att dra kvadratroten ur båda led och tredjegradsekvationer genom att dra kubikroten ur båda led. Detta eftersom $\sqrt[3]{x^3}=x.$ Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt.

Men rotuttryck kan också skrivas som potenser enligt $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ . Det ger ett alternativt sätt att bestämma lösningarna till potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck

Det brukar finnas funktioner på räknaren för att skriva in både rotuttryck och potenser på bråkform.

Lös potensekvationen med rötter

fullscreen

Uppgift

Lös potensekvationen $x^3 - 1 = 7.$

Visa Lösning

Lösning

För att lösa ut $x$ måste vi först addera $1$ till båda led så att $x^3$ står ensamt i vänsterledet.

x^3 - 1=7

AddEqn

\text{VL}+1=\text{HL}+1

x^3=8

Eftersom $x$ är upphöjt till $3$ drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut $x.$

x^3=8

RadicalEqn

\sqrt[3]{\text{VL}}=\sqrt[3]{\text{HL}}

\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}

SimpRootFörenkla rot

x=2

Ekvationen har alltså lösningen $x=2.$

Lös potensekvationen med potenser

fullscreen

Uppgift

Lös potensekvationen $9x^5 = 63.$ Svara exakt och med två decimaler.

Visa Lösning

Lösning

För att lösa ut

x

måste vi först dividera med

9

i båda led så att

x^5

står ensamt i vänsterledet.

9x^5 = 63

DivEqn

\left.\text{VL}\middle/9\right.=\left.\text{HL}\middle/9\right.

x^5=7

Eftersom exponenten är

5

upphöjer vi båda led till

\frac{1}{5}

för att lösa ut

x.

x^5=7

RaiseEqn

\text{VL}^{1/5}=\text{HL}^{1/5}

\left(x^5\right)^{1/5}=7^{1/5}

PowPow

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

x^{5/5}= 7^{1/5}

QuotOne

\dfrac{a}{a}=1

x= 7^{1/5}

Det exakta svaret är $x= 7^{1/5}.$ Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså $x\approx1.48.$