Potensekvationer: Lösa Potensekvationer i Matte 2a

Under år $1998$ skickades $44$ miljoner sms i Sverige. Under år $2012$ skickades $16514$ miljoner sms. Anta att den årliga procentuella ökningen av antal sms per år har varit lika stor under hela tidsperioden. Beteckna den årliga förändringsfaktorn med $a .$ Teckna en ekvation med vars hjälp $a$ kan beräknas.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c

Vi ska ställa upp en ekvation som om den löses ger förändringsfaktorn för antalet skickade sms från 1998 till 2012. Vi vet att det skickades 44 miljoner sms 1998 och för att beskriva antalet som skickades ett år senare multiplicerar vi 44 miljoner med förändringsfaktorn a, som beskriver hur antalet förändras varje år. Då får vi följande uttryck. 44 000 000* a Ytterligare ett år senare, dvs. år 2000, har antalet sms ökat med lika många procent igen. Det beskrivs av uttrycket 44 000 000* a* a=44 000 000* a^2. Vi kan nu ana ett mönster: för varje år som går ökar exponenten på a med 1. Dessutom ser vi att exponenten motsvarar just det antal år som gått sedan startåret. Så hur många år efter 1998 inföll 2012? Jo, 14 år, eftersom 2012-1998=14. Det betyder att antalet sms som skickades 2012 beskrivs av 44 000 000* a^(14). Eftersom vi känner till det faktiska antalet sms som skickades detta år, 16 514 miljoner, kan vi sätta uttrycket lika med detta antal: 44 000 000* a^(14)=16 514 000 000. Nu har vi ställt upp en potensekvation som om den löses skulle ge förändringsfaktorn a.

Hjördis är rörmokare och driver ett eget företag. Hon har fler jobb än hon hinner med och behöver anställa en ny person. I sin budget för nästa år tänker hon avsätta $350000$ kronor som ska räcka till både lön och arbetsgivaravgift för den nya personen.

Arbetsgivaravgiftens storlek är beroende av den anställdas ålder och månadslön. Se tabell.

Efter anställningsintervjuer har Hjördis bestämt sig för att anställa Anton eller Niklas.

Anton som är $24$ år har begärt en månadslön på $25000$ kronor.
Niklas som är $28$ år har begärt en månadslön på $24000$ kronor.

Beräkna den totala kostnaden som Hjördis får betala för lön och arbetsgivaravgift för Anton respektive Niklas. Kan Hjördis anställa vem som helst av dem och andå klara budgeten på $350000$ kronor för nästa år?

Nationella provet HT13 2a

Hjördis företag omsätter $2000000$ kronor per år. Med en nyanställd i företaget är hennes mål att omsättningen ska fördubblas på tre år. Med hur många procent måste då omsättningen i genomsnitt öka varje år? Svara i hela procent.

Nationella provet HT13 2a

Vi beräknar kostnaderna för Anton och Niklas, en i taget.

Anton

Anton har begärt en månadslön på 25 000 kr. Eftersom det går 12 månader på ett år blir lönekostnaden varje år 25 000*12 = 300 000 kr. Men det ska betalas arbetsgivaravgift också. Eftersom Anton är 24 år hamnar han i kategorin "26 år och yngre". Det betyder att Hjördis får betala 15.49 % av lönen till staten. 15.49 % kan man skriva som 0.1549. Vi multiplicerar detta med 300 000 för att beräkna hur stor arbetsgivaravgiften blir. 300 000* 0.1549 = 46 470 kr Den totala kostnaden för Anton får vi nu genom att lägga ihop arbetsgivaravgiften med lönen. 300 000 + 46 470 = 346 470 kr

Niklas

Vi gör på samma sätt för att beräkna den totala lönekostnaden. Niklas begär en lön på 24 000 kr så årslönen blir 24 000*12 = 288 000 kr. Niklas är 28 år så han hamnar i kategorin "27 – 65 år". Det betyder att arbetsgivaravgiften i Niklas fall är 31.42 %. Det kan vi skriva som 0.3142 så vi multiplicerar detta med 288 000 för att beräkna kostnaden.

Detta lägger vi ihop med lönekostnaden för att ta reda på hur mycket Niklas kostar varje år. 288 000 + 90 490 = 378 490 kr

Jämförelse

Hjördis har en budget på 350 000 kr. Kostnaden för Anton blir 346 470 kr vilket är mindre än 350 000 kr och kostnaden för Niklas blir 378 490 kr vilket är mer än 350 000 kr. Det betyder att Hjördis kan anställa Anton, men inte Niklas.

Om Hjördis omsättning ska fördubblas ska den bli 2 000 000* 2 = 4 000 000 kr. Nu behöver vi beräkna vad 2 000 000 ska multipliceras med varje år för att få 4 000 000. Vi kallar det talet för a och det blir den årliga förändringsfaktorn. Denna multipliceras med 2 000 000 tre gånger eftersom det rör sig om 3 år. Det ger oss ekvationen 2 000 000* a* a* a=4 000 000. När man multiplicerar ihop förändringsfaktorerna får man a^3 och det ger en potensekvation som vi kan lösa genom att dra kubikroten ur båda led.

En förändringsfaktor på 1.26 motsvarar en ökning med 26 %. Omsättningen måste alltså öka med i genomsnitt 26 % varje år.

Bestäm $x .$ Svara exakt.

En blå rätvinklig triangel med basen 8x och höjden 6x.

Triangeln är rätvinklig, vilket betyder att Pythagoras sats gäller. Den brukar skrivas a^2+b^2=c^2, där a och b är kateterna och c är hypotenusan. Vi använder katetlängerna 6x och 8x samt hypotenusan 40 le.

Eftersom längder måste vara positiva kan vi utesluta den negativa roten. Det betyder att x=4, vilket ger sidlängderna 6x=6*4=24 le. och 8x=8*4=32 le.

Tina löser ekvationen

x^{3} = 27

och får lösningarna

x = \pm 9 .

Hon presenterar lösningen för Henrik som direkt börjar kritisera och säga att Tina gjort fel. Lösningen är ju endast

x = 9

säger Henrik. Vem har rätt? Motivera ditt svar.

Det första felet Tina har gjort är att hon får två reella lösningar. Drar man en jämn rot ur en ekvation får man två reella lösningar, en positiv och en negativ. Detta beror på att ett jämnt antal negativa tal multiplicerade ger en positiv produkt. Men 3 är ett udda tal så vi får endast en rot och det är därför Henrik säger att lösningen endast är x=9. Men detta är också fel. Både Tina och Henrik verkar tro att tredje roten ur 27 ger det tal som adderat med sig själv tre gånger ger 27: 9+9+9=27. Men när vi drar tredje roten ur 27 beräknar vi vilket tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger 27. Eftersom 3* 3* 3=27 är lösningen x=3.

Lös ekvationen.

x^{1 / 3} = - 3

x^{1 / 3} = 3

7 x = 2

För att lösa ekvationen vill vi ha x i ensamt. Om vi sätter 3 som exponent på båda led får vi x ensamt i vänsterledet.

Lösningen är alltså x=-27.

Vi gör på samma sätt och sätter 3 som exponent på båda led.

Samma sak igen, bara det att vi först måste skriva om rotuttrycket till potensform.

Lösningen är alltså x=128.

Lös potensekvationen utan räknare.

7^{x^{2}} = 7^{4}

8^{x^{3}} = 8^{27}

Vi har ett potensuttryck i vänsterled respektive högerled, och dessa har samma bas. För att ekvationen ska gälla måste även exponenterna vara lika. Vi kan alltså likställa dem och lösa ut x.

x=- 2 och x=2 löser ekvationen.

Vi tänker på samma sätt här.

x=3 löser ekvationen.

Lös potensekvationen utan räknare. Svara exakt.

3 x^{6} + 18 x^{5} = 36 + 3 x^{6}

2 (4 x^{4} + 3 x^{3}) - 31 = 6 x^{3} + 1

Den här typen av potensekvation, med två olika exponenter på x, har vi inte lärt oss att lösa. Men om vi subtraherar 3x^6 från båda led får vi en femtegradsekvation som vi kan lösa som vanligt.

Det exakta svaret till ekvationen är x=sqrt(2).

Även här har vi en ekvation med två olika typer av potenser. Men vi börjar med att förenkla vänsterledet för att se om något kan strykas.

Vi ser nu att vi kan förkorta bort x^3-termerna. Sedan löser vi ut x^4.

Eftersom exponenten är jämn lägger vi till en negativ rot. Ekvationens lösning är alltså x=± sqrt(4).

Lös ut $x$ i ekvationen. Svara exakt.

a^{x^{2}} = a^{10}, a \neq = 0 och a \neq = 1

5 (4 x^{6} + x^{8}) = 40 + 20 x^{6}

Vi har två potensuttryck i vänster- och högerled med lika stora baser. Om ekvationen stämmer måste exponenterna också vara lika. Vi kan alltså likställa dem och lösa ut x.

Alltså löser x=- sqrt(10) och x=sqrt(10) ekvationen. Notera att detta endast gäller om basen a är skild från noll och ett. Ifall a är noll eller ett så finns det oändligt med lösningar eftersom alla potenser med dessa baser blir noll respektive ett oavsett vad exponenten är.

Börja med att förenkla vänsterledet. Därefter kan x^6-termerna subtraheras så att vi får en ren åttondegradsekvation. Kom ihåg att vi får två lösningar då potensekvationen har jämn exponent.

Både x=- 8^(.1 /8.) och x=8^(.1 /8.) löser ekvationen.

Potensekvationer

Förkunskaper

Potensekvation

Lösa potensekvationer

Lös potensekvationen med rötter

Ledtråd

Lösning

Lös potensekvationen med potenser