1. Potensekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
1.
Potensekvationer
Innehållet handlar om potensekvationer inom kursen Matte 2a. Den erbjuder en lättsmält förståelse för hur man löser potensekvationer. Genom att använda olika metoder såsom kvadratrötter och potenser, lär användarna sig att lösa komplicerade potensekvationer. Sidan är en utmärkt lektionen för studenter som vill förbättra sina färdigheter inom matematik och specifikt inom området potensekvationer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Potensekvationer
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Potensekvation
- Lösa potensekvationer
Förkunskaper
Koncept
Potensekvation
Metod
Lösa potensekvationer
När man löser potensekvationer kan man använda rotuttryck. Vilken typ av rot man behöver avgörs av potensens grad. Exempelvis löser man andragradsekvationer genom att dra kvadratroten ur båda led och tredjegradsekvationer genom att dra kubikroten ur båda led. Detta eftersom
Det brukar finnas funktioner på räknaren för att skriva in både rotuttryck och potenser på bråkform.
3x3=x.
Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. Men rotuttryck kan också skrivas som potenser enligt na=a1/n. Det ger ett alternativt sätt att bestämma lösningarna till potensekvationer.
Exempel
Lös potensekvationen med rötter
Lös potensekvationen x3−1=7.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Isolera x3-termen. Vilken rot bör användas för att ta bort en tredje potens?
Lösning
För att lösa ut x måste vi först addera 1 till båda led så att x3 står ensamt i vänsterledet.
Eftersom x är upphöjt till 3 drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut x.
Ekvationen har alltså lösningen x=2.
Exempel
Lös potensekvationen med potenser
Lös potensekvationen 9x5=63. Svara exakt och med två decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["7^{1\/5}","\\sqrt[5]{7}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1.48"]}}
Ledtråd
Isolera x5-termen. Vilken potens bör användas för att ta bort den femte potensen?
Lösning
För att lösa ut x måste vi först dividera med 9 i båda led så att x5 står ensamt i vänsterledet.
Eftersom exponenten är 5 upphöjer vi båda led till 51 för att lösa ut x.
Det exakta svaret är x=71/5. Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.
Avrundat till två decimaler är lösningen alltså x≈1,48.
Potensekvationer
Uppgift 3.1
Lös potensekvationen. Avrunda till två decimaler.
100=z10
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1,58","-1,58"]}}
x−5−13=15
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0,51"]}}
3x2,1=327
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["9,34"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser potensekvationen genom att upphöja båda leden till 110 eller 0,1. Eftersom 10 är en jämn exponent får vi en positiv och negativ rot.
Alltså löser z ≈ ±1,58 ekvationen.
Vi kan lösa denna ekvation på samma sätt, trots att vi har en negativ exponent. Först måste vi dock börja med att få x^(-5) ensamt.
Lösningen till ekvationen är alltså x ≈ 0,51.
Om vi vill kan vi skriva om ekvationen så exponenten blir positiv. Vi får då en något längre lösning, men samma svar.
Även här går det att göra på samma sätt som i tidigare deluppgifter, trots att exponenten inte är ett heltal.
Lösningen till ekvationen är x ≈ 9,34.
security
report
code
Lös ekvationen och avrunda till 3 värdesiffror.
x35=56
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["11,2"]}}
y5=0,25
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"y"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0,574"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa ut x ur potensen upphöjer vi båda led till exponentens invers. Inversen till 53 är 35.
Lösningen till ekvationen blir alltså x ≈ 11,2.
Här börjar vi med att upphöja båda led till 2 för att bli av med rottecknet. Sedan löser vi ekvationen som blir kvar på vanliga sättet.
Svaret blir y ≈ 0,574.
Vi kan också skriva om rotuttrycket som en potens och sedan använda potenslagarna för att förenkla uttrycket.</translate>
security
report
code
Ett rätblock har volymen 216 ve.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt[3]{18}"]}}
security
report
code
security
report
code
En kub har lika lång höjd, bredd och längd. Om vi kallar kubens sida för x blir arean x^3 eftersom volymen är kubens tre sidor multiplicerade. Vi likställer volymuttrycket med 216 och får då ekvationen x^3=216. Genom att lösa ut x kan vi beräkna sidan.
Kubens sidor är 6 le.
Nu har rätblocket olika sidlängder. Låt oss kalla höjden för x Bredden är dubbelt så lång dvs. 2x. Längden är tre gånger längre än bredden, vilket betyder att den är 3*2x=6x. Hela rätblockets volym får vi genom att multiplicera alla sidlängder:
x* 2x * 6x.
Detta ska vara lika med 216.
Höjden x är alltså sqrt(18) le.
security
report
code
En kubs sidlängd fördubblas och volymen ökar då med 2401 cm3. Vad är den ursprungliga kubens sida?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kallar kubens ursprungliga sidlängd för x. Då blir sidan på den större kuben lika med 2x.
Den vänstra kubens volym är x* x* x och den högra är 2x* 2x* 2x. Vi vet också att den större kuben är 2 401cm^3 större, vilket betyder att om vi adderar 2 401 till den mindre kubens volym ska det vara lika med den större kubens volym. Det ger oss ekvationen
2x* 2x* 2x=x* x* x+2 401.
Vi löser nu ut x.
Den mindre kubens sida är 7cm.
security
report
code
Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av 1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.
v=0,8365⋅B23.
Vid beräkning av B avrundas värdet till heltal. Beräkna Beauforttalet B för vindhastigheten 29 m/s.
Nationella provet VT 2a/2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["11"]}}
v=0,8365⋅8(T+4)23.
Ange en formel för B uttryckt i T. Förenkla så långt som möjligt.
Nationella provet VT 2a/2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["T"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2T+8"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna Beauforttalet sätter vi in v=29 i formeln och löser ut B.
Vi behåller högerledet exakt för att undvika några avrundningsfel. För att lösa ut B höjer vi upp båda led med 2/3. Då blir exponenten i vänsterledet 1.
Beauforttalet är alltså 11.
Vi har två uttryck för vindhastigheten v och genom att sätta dem lika kan vi lösa ut B. Rotuttrycket kan vi skriva om som en potens.
Nu kan vi göra på samma sätt som i förra deluppgiften för att lösa ut B, dvs. höja upp båda led med 2/3. Då får vi B ensamt i vänsterledet och kan förenkla högerledet med potenslagarna.
security
report
code
Vilken genomsnittlig årlig procentuell förändring ger...
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"\u00d6kning med","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["34"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"Minskning med","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi känner inte till värdet, men vi kan kalla det a. Om förändringsfaktorn är x måste värdet vara ax efter ett år och a* x* x=ax^2 efter 2 år. Men efter 2 år har ju värdet ökat med 80 %, eller uttryckt som förändringsfaktor: 1,8. Därför är ax^2 lika med 1,8a.
Den årliga förändringen kan skrivas som förändringsfaktorn ≈ 1,34 vilket är samma sak som en ökning med 34 %.
Återigen känner vi inte till värdet men vi kallar det för a och förändringsfaktorn för x. Efter fyra år är värdet
a* x* x* x* x=ax^4.
a har minskat med 20 % vilket betyder att ax^4 är lika med 0,8a.
Den årliga förändringen kan skrivas som förändringsfaktorn ≈ 0,95 vilket är samma sak som en minskning med 5 %.
security
report
code
Potensekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll