Utforska Polynomfunktioner: Nollställen, Polynomgrad och Tredjegradspolynom

Vi ska bestämma de

x -

värden där funktionen skär

x -

axeln, dvs. där

y

är

0 .

Det innebär att vi ska lösa ekvationen

x^{3} + 20 x^{2} + 19 x = 0 .

Algebraisk lösning

Vi börjar med att använda en av metoderna för att lösa polynomekvationer algebraiskt. Eftersom alla termer innehåller $x$ kan vi bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden.

x^{3} + 20 x^{2} + 19 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} + 20 x + 19) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 x^{2} + 20 x + 19 = 0

I det här fallet får vi ut en lösning direkt,

x = 0,

samt en andragradsekvation som löses med t.ex.

p q

-formeln.

x^{2} + 20 x + 19 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 20, q = 19$

x = - \frac{2 0}{2} \pm (\frac{2 0}{2})^{2} - 19

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 10 \pm 1 0^{2} - 19

CalcPow

Beräkna potens

x = - 10 \pm 100 - 19

SubTerm

Subtrahera term

x = - 10 \pm 81

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 10 \pm 9

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 19 x_{2} = - 1

Ekvationen har alltså lösningarna $x = 0,$ $x = - 19$ och $x = - 1 .$ Dessa är funktionens nollställen.

Grafisk kontroll

Nu använder vi metoden för att lösa polynomekvationer grafiskt för att kontrollera nollställena med räknaren. Vi börjar med att skriva in funktionsuttrycket och rita grafen. Om man inte ser hela grafen kan man behöva ändra räknarens fönsterinställningar genom att t.ex. använda ZoomFit.

Algebraiskt hittade vi tre nollställen till funktionen, $x = - 19,$ $x = - 1$ och $x = 0,$ men här ser det ut som att det bara finns två. Vi börjar dock med att bestämma det vänstra nollstället innan vi undersöker området kring origo närmare.

Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) och välja alternativet zero kan vi sedan bestämma vänstra (Left bound?) och högra gränsen (Right bound?) för området där räknaren ska leta efter nollställen.

Det vänstra nollstället är $x = - 19,$ vilket stämmer. För att undersöka området runt origo kan vi t.ex. använda ZoomBox för att zooma in där.

Nu ser vi att det egentligen var två olika nollställen. Genom att använda verktyget Zero två gånger till får vi att de två återstående nollställena är $x = - 1$ och $x = 0,$ vilket stämmer överens med det vi kom fram till algebraiskt.

Intervall	Växande/Avtagande
$x \leq - 1$	Avtagande
$- 1 \leq x \leq 2$	Växande
$2 \leq x \leq 5$	Avtagande
$x \geq 5$	Växande

Intervall

Växande/Avtagande

x \leq - 1

Avtagande

- 1 \leq x \leq 2

Växande

2 \leq x \leq 5

Avtagande

x \geq 5

Växande

Polynomfunktioner

Förkunskaper

Polynomfunktion

Andragradsfunktion

Tredjegradsfunktion

Egenskaper hos polynomfunktioner

Koncept

Koncept

Koncept

Antal nollställen till polynomfunktioner

Bestäm nollställen till tredjegradsfunktionen algebraiskt och grafiskt

Ledtråd

Lösning

Algebraisk lösning

Grafisk kontroll

Undersök polynomfunktionens graf

Ledtråd

Lösning

Polynomfunktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.